參數(shù)化有限元建模及模型修正

王森，史治宇

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

有限元模型修正的目的是使有限元模型能夠更為準(zhǔn)確地描述實(shí)際結(jié)構(gòu)，使之能更加正確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在各種載荷激勵(lì)下的響應(yīng)[1]。模型修正技術(shù)經(jīng)過30多年的發(fā)展，已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，且在工程中得到了應(yīng)用。SCHEDLINSKI C[2]利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的模態(tài)對(duì)某發(fā)動(dòng)機(jī)主要部件初始有限元模型進(jìn)行了修正；ZHANG Q W等[3]修正了縮比的橋梁模型。

在有限元建模過程中由于眾多的不確定性因素以及引入了多種假設(shè)，使得有限元模型必然存在誤差，從而使得有限元分析結(jié)果不可能完全真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)特性。為了盡可能減小誤差，本文提出了完全參數(shù)化建模的概念，并通過GARTEUR飛機(jī)模型的仿真算例和試驗(yàn)算例驗(yàn)證了完全參數(shù)化建模對(duì)模型修正的有效性[4]。

1 GARTEUR飛機(jī)模型修正算例

1.1 模型修正方法

假設(shè)結(jié)構(gòu)的有限元模型總共有n個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，其中前m個(gè)為待修正的參數(shù)，則設(shè)計(jì)參數(shù)可以表示為：

P=[p1,p2,…,pm,…,pn]T

(1)

對(duì)應(yīng)的特征量可以表示為設(shè)計(jì)參數(shù)p的函數(shù)：

f=F(K,M)=F[fK(p),fM(p)]=f(p)

(2)

其中f可以是結(jié)構(gòu)任意的特征量。模型修正問題轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題[5]：

(3)

利用拉各朗日乘子法，將式(3)的極值問題轉(zhuǎn)化為如下的線性問題：

SΔp=fe(p)-fa(p0)

(4)

公式(4)便是常見的模型修正方程。

建立真實(shí)結(jié)構(gòu)的有限元模型時(shí)，如果有限元模型與真實(shí)結(jié)構(gòu)的誤差能夠完全由建模參數(shù)反映出來，則稱這樣的有限元模型為完全參數(shù)化模型。如果有限元模型與真實(shí)結(jié)構(gòu)的誤差不能完全由建模參數(shù)反映出來，稱之為非完全參數(shù)化模型。

1.2 GARTEUR飛機(jī)模型仿真算例

1)模型介紹

GARTEUR飛機(jī)模型是具有12個(gè)成員的歐洲航空科技研究組織建立的一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)飛機(jī)模型,如圖1所示。該模型具有真實(shí)飛機(jī)高柔度、模態(tài)頻率低且密集的特點(diǎn)，寬2.0 m，長(zhǎng) 1.5 m，由硬質(zhì)鋁材通過螺栓連接而成。

圖1 GARTEUR飛機(jī)模型

2)完全參數(shù)化模型的修正算例

利用有限元軟件Hypermesh建立GARTEUR飛機(jī)的目標(biāo)有限元模型作為試驗(yàn)?zāi)Ｐ停鐖D2所示。該模型共有996個(gè)節(jié)點(diǎn)；4 888個(gè)自由度；861個(gè)單元，包括17個(gè)梁?jiǎn)卧?6個(gè)彈簧元，778個(gè)殼單元；4種材料屬性。圖2中1、2、3處分別采用彈簧單元和剛性單元模擬飛機(jī)模型的螺栓連接處。

圖2 GARTEUR飛機(jī)有限元模型

GARTEUR飛機(jī)模型誤差主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)連接處、鋁合金板的彈性模量和密度。在目標(biāo)有限元模型的基礎(chǔ)上將模型結(jié)構(gòu)連接處和附近部位的5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)及6個(gè)材料參數(shù)進(jìn)行攝動(dòng)作為完全參數(shù)化初始有限元模型，用于仿真分析，如表1所示。表1、表3、表5、表7中的編號(hào)具有一致性。攝動(dòng)的參數(shù)中扭轉(zhuǎn)剛度(編號(hào)1-編號(hào)5)的單位為N·mm/rad；彈性模量(編號(hào)6-編號(hào)8)的單位為 MPa；材料密度(編號(hào)9-編號(hào)11)的單位為kg/mm2。

表1 攝動(dòng)參數(shù)的目標(biāo)值和攝動(dòng)值

選取進(jìn)行攝動(dòng)的11個(gè)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，如圖3所示。從圖3中可以看出編號(hào)為3、5、10的參數(shù)靈敏度都很低，選取這些參數(shù)可能會(huì)增大有限元模型的誤差，故最終選取除編號(hào)3、5、10之外的8個(gè)參數(shù)作為修正參數(shù)進(jìn)行模型修正。

圖3 前14階頻率對(duì)11個(gè)參數(shù)的靈敏度

完全參數(shù)化模型修正結(jié)果，如表2、表3所示。

表2 模型修正結(jié)果

表3 修正參數(shù)的修正結(jié)果

由表2、表3可以看出，模型修正之后前6階修正頻率平均誤差為0.02%,最大誤差為0.09%，對(duì)應(yīng)的參數(shù)修正后平均誤差為2.22%，最大誤差為4.86%。

當(dāng)有限元模型為完全參數(shù)化模型時(shí)，修正后的結(jié)果非常精確，修正后的模型幾乎和真實(shí)結(jié)構(gòu)一樣。

3)非完全參數(shù)化模型的修正算例

仍以前文中的目標(biāo)有限元模型作為試驗(yàn)?zāi)Ｐ停謩e以缺失靈敏度較大的平尾繞x軸扭轉(zhuǎn)剛度和缺失靈敏度較小的垂尾繞z軸扭轉(zhuǎn)剛度以及平尾繞y軸扭轉(zhuǎn)剛度兩種情況的非完全參數(shù)化模型作為初始有限元模型，進(jìn)行模型修正。

情況一：缺失平尾繞x軸扭轉(zhuǎn)剛度的非完全參數(shù)化模型的修正結(jié)果，如表4、表5所示。

表4 情況一模型修正結(jié)果

表5 情況一修正參數(shù)的修正結(jié)果

從表4、表5可以看出，修正之后前6階頻率平均誤差為0.12%，最大誤差為0.27%，對(duì)應(yīng)的參數(shù)誤差平均為13%，最大誤差為80.71%。平尾材料彈性模量這一參數(shù)超出誤差范圍，與實(shí)際不符。即使修正后有限元模型能以較高的精度復(fù)現(xiàn)前6階模態(tài)頻率，也不能保證預(yù)測(cè)更高階的頻率，不具有實(shí)際意義。

情況二：缺失垂尾繞z軸扭轉(zhuǎn)剛度和平尾繞y軸扭轉(zhuǎn)剛度的非完全參數(shù)化模型的修正結(jié)果，如表6、表7所示。

表6 情況二模型修正結(jié)果

表7 情況二修正參數(shù)的修正結(jié)果

從表6、表7可以看出，修正之后前6階頻率平均誤差為0.23%，最大誤差為0.70%，對(duì)應(yīng)的參數(shù)誤差平均為4.56%，最大誤差為7.81%。修正結(jié)果較好，修正后的有限元模型更加接近于真實(shí)結(jié)構(gòu)。

如果非完全參數(shù)化模型缺失的一些參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的靈敏度較小，那么缺少這些參數(shù)的初始有限元模型經(jīng)過模型修正后仍能得到比較精確的修正有限元模型。如果這些參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)靈敏度較大，它們數(shù)值的改變會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生很大的影響，那么缺少這些參數(shù)的初始有限元模型修正時(shí)不僅增加了迭代次數(shù)，而且修正后不會(huì)得到精確的結(jié)果，甚至產(chǎn)生更大的誤差。

1.3 利用GARTEUR飛機(jī)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的修正

根據(jù)GARTEUR飛機(jī)振動(dòng)模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，對(duì)圖4所示的盡可能完全參數(shù)化的GARTEUR飛機(jī)有限元模型進(jìn)行模型修正。考慮到GARTEUR飛機(jī)模型中結(jié)構(gòu)連接處的剛度不容易準(zhǔn)確模擬，選擇機(jī)翼x向扭轉(zhuǎn)剛度、平尾x向扭轉(zhuǎn)剛度、垂尾x向扭轉(zhuǎn)剛度、垂尾y向扭轉(zhuǎn)剛度作為待修正參數(shù)。經(jīng)過25次迭代后，修正結(jié)果收斂，如表8所示。

圖4 盡可能完全參數(shù)化的GARTEUR有限元模型

表8 模型修正結(jié)果

由表8可以看出，作為目標(biāo)值的前6階頻率平均誤差為0.18%，最大誤差為0.70%，精度非常高。

2 結(jié)語(yǔ)

本文給出了完全參數(shù)化建模的定義，并通過GARTEUR飛機(jī)仿真算例和試驗(yàn)算例對(duì)完全參數(shù)化建模的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，得到結(jié)論如下。

1)采用完全參數(shù)化思想建立的GARTEUR飛機(jī)模型修正后能夠以較高的精度復(fù)現(xiàn)修正頻段內(nèi)的模態(tài)頻率，并對(duì)修正頻段外的頻率準(zhǔn)確地進(jìn)行預(yù)示，驗(yàn)證了完全參數(shù)化建模的有效性。

2)對(duì)于非完全參數(shù)化模型相比于完全參數(shù)化模型所缺失的是能反映結(jié)構(gòu)誤差的參數(shù)，若靈敏度低，則對(duì)模型修正影響不大，修正后仍能得到較為精確的有限元模型；若靈敏度高，則可能對(duì)模型修正造成很大的影響，不僅增加了迭代次數(shù)，而且修正后不會(huì)得到精確的結(jié)果，甚至產(chǎn)生更大的誤差。

3)建立初始有限元模型時(shí)，只有全面且準(zhǔn)確地定位誤差，采取正確的參數(shù)模擬，嚴(yán)格控制其取值范圍，才能得到準(zhǔn)確的初始有限元模型并在修正后得出質(zhì)量較高的修正結(jié)果。