參數化有限元建模及模型修正

王森，史治宇

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

有限元模型修正的目的是使有限元模型能夠更為準確地描述實際結構，使之能更加正確地預測結構在各種載荷激勵下的響應[1]。模型修正技術經過30多年的發展，已經取得了很大的進步，且在工程中得到了應用。SCHEDLINSKI C[2]利用實驗測得的模態對某發動機主要部件初始有限元模型進行了修正；ZHANG Q W等[3]修正了縮比的橋梁模型。

在有限元建模過程中由于眾多的不確定性因素以及引入了多種假設，使得有限元模型必然存在誤差，從而使得有限元分析結果不可能完全真實地反映結構特性。為了盡可能減小誤差，本文提出了完全參數化建模的概念，并通過GARTEUR飛機模型的仿真算例和試驗算例驗證了完全參數化建模對模型修正的有效性[4]。

1 GARTEUR飛機模型修正算例

1.1 模型修正方法

假設結構的有限元模型總共有n個設計參數，其中前m個為待修正的參數，則設計參數可以表示為：

P=[p1,p2,…,pm,…,pn]T

(1)

對應的特征量可以表示為設計參數p的函數：

f=F(K,M)=F[fK(p),fM(p)]=f(p)

(2)

其中f可以是結構任意的特征量。模型修正問題轉化為如下優化問題[5]：

(3)

利用拉各朗日乘子法，將式(3)的極值問題轉化為如下的線性問題：

SΔp=fe(p)-fa(p0)

(4)

公式(4)便是常見的模型修正方程。

建立真實結構的有限元模型時，如果有限元模型與真實結構的誤差能夠完全由建模參數反映出來，則稱這樣的有限元模型為完全參數化模型。如果有限元模型與真實結構的誤差不能完全由建模參數反映出來，稱之為非完全參數化模型。

1.2 GARTEUR飛機模型仿真算例

1)模型介紹

GARTEUR飛機模型是具有12個成員的歐洲航空科技研究組織建立的一個典型的標準飛機模型,如圖1所示。該模型具有真實飛機高柔度、模態頻率低且密集的特點，寬2.0 m，長 1.5 m，由硬質鋁材通過螺栓連接而成。

圖1 GARTEUR飛機模型

2)完全參數化模型的修正算例

利用有限元軟件Hypermesh建立GARTEUR飛機的目標有限元模型作為試驗模型，如圖2所示。該模型共有996個節點；4 888個自由度；861個單元，包括17個梁單元，36個彈簧元，778個殼單元；4種材料屬性。圖2中1、2、3處分別采用彈簧單元和剛性單元模擬飛機模型的螺栓連接處。

圖2 GARTEUR飛機有限元模型

GARTEUR飛機模型誤差主要體現在結構連接處、鋁合金板的彈性模量和密度。在目標有限元模型的基礎上將模型結構連接處和附近部位的5個設計參數及6個材料參數進行攝動作為完全參數化初始有限元模型，用于仿真分析，如表1所示。表1、表3、表5、表7中的編號具有一致性。攝動的參數中扭轉剛度(編號1-編號5)的單位為N·mm/rad；彈性模量(編號6-編號8)的單位為 MPa；材料密度(編號9-編號11)的單位為kg/mm2。

表1 攝動參數的目標值和攝動值

選取進行攝動的11個參數進行靈敏度分析，如圖3所示。從圖3中可以看出編號為3、5、10的參數靈敏度都很低，選取這些參數可能會增大有限元模型的誤差，故最終選取除編號3、5、10之外的8個參數作為修正參數進行模型修正。

圖3 前14階頻率對11個參數的靈敏度

完全參數化模型修正結果，如表2、表3所示。

表2 模型修正結果

表3 修正參數的修正結果

由表2、表3可以看出，模型修正之后前6階修正頻率平均誤差為0.02%,最大誤差為0.09%，對應的參數修正后平均誤差為2.22%，最大誤差為4.86%。

當有限元模型為完全參數化模型時，修正后的結果非常精確，修正后的模型幾乎和真實結構一樣。

3)非完全參數化模型的修正算例

仍以前文中的目標有限元模型作為試驗模型，分別以缺失靈敏度較大的平尾繞x軸扭轉剛度和缺失靈敏度較小的垂尾繞z軸扭轉剛度以及平尾繞y軸扭轉剛度兩種情況的非完全參數化模型作為初始有限元模型，進行模型修正。

情況一：缺失平尾繞x軸扭轉剛度的非完全參數化模型的修正結果，如表4、表5所示。

表4 情況一模型修正結果

表5 情況一修正參數的修正結果

從表4、表5可以看出，修正之后前6階頻率平均誤差為0.12%，最大誤差為0.27%，對應的參數誤差平均為13%，最大誤差為80.71%。平尾材料彈性模量這一參數超出誤差范圍，與實際不符。即使修正后有限元模型能以較高的精度復現前6階模態頻率，也不能保證預測更高階的頻率，不具有實際意義。

情況二：缺失垂尾繞z軸扭轉剛度和平尾繞y軸扭轉剛度的非完全參數化模型的修正結果，如表6、表7所示。

表6 情況二模型修正結果

表7 情況二修正參數的修正結果

從表6、表7可以看出，修正之后前6階頻率平均誤差為0.23%，最大誤差為0.70%，對應的參數誤差平均為4.56%，最大誤差為7.81%。修正結果較好，修正后的有限元模型更加接近于真實結構。

如果非完全參數化模型缺失的一些參數對目標函數的靈敏度較小，那么缺少這些參數的初始有限元模型經過模型修正后仍能得到比較精確的修正有限元模型。如果這些參數對目標函數靈敏度較大，它們數值的改變會對結構的動力學特性產生很大的影響，那么缺少這些參數的初始有限元模型修正時不僅增加了迭代次數，而且修正后不會得到精確的結果，甚至產生更大的誤差。

1.3 利用GARTEUR飛機實測數據的修正

根據GARTEUR飛機振動模態試驗測試結果，對圖4所示的盡可能完全參數化的GARTEUR飛機有限元模型進行模型修正。考慮到GARTEUR飛機模型中結構連接處的剛度不容易準確模擬，選擇機翼x向扭轉剛度、平尾x向扭轉剛度、垂尾x向扭轉剛度、垂尾y向扭轉剛度作為待修正參數。經過25次迭代后，修正結果收斂，如表8所示。

圖4 盡可能完全參數化的GARTEUR有限元模型

表8 模型修正結果

由表8可以看出，作為目標值的前6階頻率平均誤差為0.18%，最大誤差為0.70%，精度非常高。

2 結語

本文給出了完全參數化建模的定義，并通過GARTEUR飛機仿真算例和試驗算例對完全參數化建模的有效性進行了驗證，得到結論如下。

1)采用完全參數化思想建立的GARTEUR飛機模型修正后能夠以較高的精度復現修正頻段內的模態頻率，并對修正頻段外的頻率準確地進行預示，驗證了完全參數化建模的有效性。

2)對于非完全參數化模型相比于完全參數化模型所缺失的是能反映結構誤差的參數，若靈敏度低，則對模型修正影響不大，修正后仍能得到較為精確的有限元模型；若靈敏度高，則可能對模型修正造成很大的影響，不僅增加了迭代次數，而且修正后不會得到精確的結果，甚至產生更大的誤差。

3)建立初始有限元模型時，只有全面且準確地定位誤差，采取正確的參數模擬，嚴格控制其取值范圍，才能得到準確的初始有限元模型并在修正后得出質量較高的修正結果。