六自由度滾筒洗衣機(jī)懸掛系統(tǒng)動力學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)

孟飛，劉雷，周國賢

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016; 2.南京創(chuàng)維家用電器有限公司，江蘇 南京 211200)

0 引言

滾筒洗衣機(jī)在脫水階段的振動直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量和性能。為解決振動問題，需要明確各參數(shù)對振動的影響。直驅(qū)式滾筒洗衣機(jī)主要由箱體和懸掛系統(tǒng)組成，對其懸掛系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模，可以確定各參數(shù)對振動系統(tǒng)的影響，對后續(xù)滾筒洗衣機(jī)的減振研究具有指導(dǎo)意義。

付素芳[1]利用Lagrange力學(xué)方法，先后對1/2懸掛系統(tǒng)、整體懸掛系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，揭示其動力學(xué)實(shí)質(zhì)和筒體質(zhì)心的平面運(yùn)動規(guī)律。洪仲昆[2]基于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)理論，推導(dǎo)了系統(tǒng)六自由度振動微分方程，但沒有給出具體的計(jì)算結(jié)果。范攀攀[3]利用拉格朗日方程從能量的觀點(diǎn)對滾筒洗衣機(jī)六自由度懸掛系統(tǒng)基于ADAMS軟件建立脫水工況下的動力學(xué)模型，得到筒體的振動軌跡及其在洗衣機(jī)關(guān)鍵參數(shù)變化時(shí)的靈敏度曲線。王豪等[4]考慮上配重對洗衣機(jī)懸掛系統(tǒng)振動的影響，基于ADAMS軟件對系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)建模，并進(jìn)行了多工況下的振動測量試驗(yàn)，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了參數(shù)修正。PINAR Boyraz等[5]利用牛頓第二定律建立了滾筒洗衣機(jī)的動力學(xué)方程，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性，并基于遺傳算法對洗衣機(jī)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

以往的動力學(xué)模型考慮了上配重、阻尼器和彈簧剛度對振動的影響，但所建的理論模型都是平面動力學(xué)模型，并且忽略了偏心質(zhì)量的位置對懸掛系統(tǒng)振動的影響。本文采用朗格朗日方程建立了六自由度滾筒洗衣機(jī)懸掛系統(tǒng)動力學(xué)模型，同時(shí)將偏心質(zhì)量置于內(nèi)筒最外側(cè)和最內(nèi)側(cè)兩種極限情況加以考慮，對比結(jié)果，以驗(yàn)證模型的正確性，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。

1 懸掛系統(tǒng)力學(xué)建模

滾筒洗衣機(jī)的振動主要和懸掛系統(tǒng)有關(guān)，而懸掛系統(tǒng)主要由外筒、內(nèi)筒、直驅(qū)電機(jī)、上配重、前配重、彈簧和阻尼器組成，外筒上固定有上配重和前配重，通過2個(gè)彈簧和4個(gè)阻尼器和箱體進(jìn)行相連，彈簧承擔(dān)滾筒的質(zhì)量，阻尼器起到減振的作用，上配重和前配重起到平衡偏心的作用。由于滾筒洗衣機(jī)實(shí)際結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，因此通過對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡化來建立滾筒洗衣機(jī)懸掛系統(tǒng)的力學(xué)模型，忽略那些不重要的因素。在力學(xué)模型中將上配重和前配重的質(zhì)量并入外筒的質(zhì)量中。運(yùn)用拉格朗日方程建立洗衣機(jī)六自由度的運(yùn)動微分方程[6]，考慮到偏心質(zhì)量不同位置對振動的影響，在建立微分方程時(shí)不能忽略其轉(zhuǎn)動慣量的變化。

1.1 坐標(biāo)系建立及轉(zhuǎn)換矩陣

靜平衡位置時(shí)，懸掛系統(tǒng)的簡化動力學(xué)模型如圖1所示。圖1中O-xyz坐標(biāo)系為懸掛系統(tǒng)的定坐標(biāo)系：原點(diǎn)O為兩個(gè)彈簧所在平面與內(nèi)筒軸線交點(diǎn),Ox坐標(biāo)軸與內(nèi)筒軸線重合，正向指向箱體前端；Oy坐標(biāo)軸垂直于內(nèi)筒軸線，指向箱體右端；Oz坐標(biāo)軸垂直于地面，豎直向上。同時(shí)定義滾筒懸掛系統(tǒng)中的動坐標(biāo)系O1-uvw，其原點(diǎn)O1固結(jié)于彈簧所在平面與內(nèi)筒軸線交點(diǎn)上，并且其坐標(biāo)軸與定坐標(biāo)系一致。靜平衡時(shí)，滾筒總成相對于箱體靜止，定、動坐標(biāo)系重合；懸掛系統(tǒng)運(yùn)動時(shí)，定義剛體運(yùn)動的廣義坐標(biāo)為滾筒總成原點(diǎn)沿Ox、Oy、Oz3個(gè)坐標(biāo)軸方向平移X、Y、Z及剛體分別相對于定坐標(biāo)軸Ox、Oy、Oz的轉(zhuǎn)角α、β、γ。坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)為f(x,y,z)。

圖1 力學(xué)模型簡化示意圖

1.2 動力學(xué)方程

應(yīng)用拉格朗日方程建立振動微分方程：

(1)

懸掛系統(tǒng)中，取系統(tǒng)靜平衡位置時(shí)為0勢能面，彈簧剛度為k，阻尼器的線性阻尼系數(shù)是c。所以勢能S和耗散能D可表示為：

(2)

(3)

懸掛系統(tǒng)動能包括外筒、內(nèi)筒和偏心質(zhì)量動能。m為質(zhì)量，J為轉(zhuǎn)動慣量，內(nèi)筒相對外筒的旋轉(zhuǎn)速度ω產(chǎn)生的角速度分量為ωx，ωy，ωz。外筒動能Tw和內(nèi)筒動能Tn可表示為：

(4)

(5)

(6)

綜上所述，懸掛系統(tǒng)總動能T為：T=Tw+Tn+Tp

(7)

系統(tǒng)的振動是由電機(jī)轉(zhuǎn)子驅(qū)動內(nèi)筒和偏心質(zhì)量轉(zhuǎn)動引起的強(qiáng)迫振動。系統(tǒng)中并沒有除了阻尼以外的其他非保守力，所以系統(tǒng)的廣義力為0。將上述計(jì)算所得系統(tǒng)能量關(guān)于廣義坐標(biāo)的表達(dá)式依次帶入拉格朗日方程式，整理得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中A=1+γ2+β2。以上振動微分方程是耦合的，且矩陣中包含較多的結(jié)構(gòu)參數(shù)，求解困難。為此，本文采用Runge-Kutta法求得該懸掛系統(tǒng)振動微分方程的數(shù)值解。由于試驗(yàn)中測得的是加速度傳感器質(zhì)心的水平和垂向振動位移信號，與懸掛系統(tǒng)的質(zhì)心位置不同，因此在懸掛系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中需要用自由度x、y、z和α、β、γ表示出該測量點(diǎn)的水平和垂向振動位移，已知傳感器質(zhì)心在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xc，yc，zc),仿真的水平位移為Yce，垂直位移為Zce，即:

Yce=xcγ-zcα+y

(14)

Zce=-xcβ+ycα+z

(15)

2 洗衣機(jī)振動測量試驗(yàn)

查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知，洗衣機(jī)筒體的軸向振動與水平振動、垂向振動相比小得多，可以忽略不計(jì)[7]。把洗衣機(jī)滾筒看作剛體，可以用滾筒質(zhì)心在懸掛平面中的振幅變化直觀地反映懸掛系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)。由于試驗(yàn)可行性的原因，選取洗衣機(jī)外筒正上方一點(diǎn)作為測量點(diǎn)，以該點(diǎn)的振動響應(yīng)表征洗衣機(jī)懸掛系統(tǒng)的振動響應(yīng)。試驗(yàn)儀器為某品牌Skyworth F1221TDI滾筒洗衣機(jī)、CT 1020LC加速度傳感器、CT 5201恒流適配器、MCC1608G數(shù)據(jù)采集卡、筆記本電腦、數(shù)據(jù)傳輸線和電源線若干。

本次試驗(yàn)用橡膠塊代替實(shí)際衣物進(jìn)行試驗(yàn)測量，取600 g橡膠塊，將工況分為2種，分別為偏心質(zhì)量600 g靠近外側(cè)和偏心質(zhì)量600 g靠近內(nèi)側(cè)。2個(gè)傳感器分別測量該點(diǎn)的水平加速度信號和垂向加速度信號。滾筒洗衣機(jī)的轉(zhuǎn)速區(qū)間為120 r/min～1 200 r/min，間隔取30 r/min,每種工況測量37組不同轉(zhuǎn)速下的振幅，保存信號數(shù)據(jù)。將保存下來的信號數(shù)據(jù)在MATLAB中進(jìn)行相關(guān)處理，進(jìn)行整理得到測量點(diǎn)的振動轉(zhuǎn)速振幅曲線，偏心質(zhì)量600 g靠近外側(cè)的曲線如圖2所示，偏心質(zhì)量600 g靠近內(nèi)側(cè)的曲線如圖3所示。

圖2 偏心質(zhì)量外側(cè)600 g時(shí)轉(zhuǎn)速振幅曲線

圖3 偏心質(zhì)量內(nèi)側(cè)600 g時(shí)轉(zhuǎn)速振幅曲線

對比圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，在偏心質(zhì)量位置發(fā)生改變的情況下，滾筒的振幅也隨之變化，特別是垂直振幅變化較大。這是由于懸掛系統(tǒng)本身并不是完全對稱的，當(dāng)偏心質(zhì)量的位置變化時(shí)，離質(zhì)心的位置隨之變化，這就導(dǎo)致了偏心質(zhì)量位置的變化對振幅的影響。

將仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，可得到圖4和圖5。

圖4 偏心質(zhì)量外側(cè)600 g仿真試驗(yàn)結(jié)果對比

圖5 偏心質(zhì)量內(nèi)側(cè)600 g仿真試驗(yàn)結(jié)果對比

由圖4、圖5可以看出仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)相似的規(guī)律性，同時(shí)存在較大的數(shù)值誤差。這可能是由于數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了較大的簡化，而且此前的數(shù)學(xué)模型中，將衣物抽象為偏心質(zhì)點(diǎn)，以內(nèi)筒內(nèi)側(cè)半徑為該質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半徑，而在試驗(yàn)測量時(shí)用的是等質(zhì)量的橡膠塊作為偏心質(zhì)量，其實(shí)際質(zhì)心可能和仿真模型中的偏心質(zhì)點(diǎn)的位置有一定的差異。結(jié)合上述的動力學(xué)模型仿真和試驗(yàn)結(jié)果可知當(dāng)偏心質(zhì)量靠近外側(cè)時(shí)振動更明顯，此時(shí)不論是水平方向還是垂直方向的振動量都較大，這可能是由于距離質(zhì)心距離較遠(yuǎn)造成的。同時(shí)還能發(fā)現(xiàn)水平方向的振動較垂直方向的振動更加明顯，這可能與彈簧和阻尼器安裝角度有關(guān)，其余垂直方向的夾角較小，在運(yùn)動時(shí)其提供的水平力和回復(fù)力較小，使?jié)L筒在水平方向的振幅較大。同時(shí)在垂直方向，重力的作用使?jié)L筒能較快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

動力學(xué)模型和試驗(yàn)結(jié)果表明了在考慮減振時(shí)，更需要考慮偏心質(zhì)量靠近外側(cè)的極限情況，且仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果說明當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到200～400 r/min時(shí)，筒體的水平和垂直振幅達(dá)到最大，可能是此頻率下發(fā)生了共振造成的。在洗衣機(jī)的設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)著重考慮此頻率段的減震以及減少轉(zhuǎn)速在此區(qū)間停留的時(shí)間。

3 結(jié)語

本文使用拉格朗日方程建立了滾筒洗衣機(jī)懸掛系統(tǒng)的六自由度數(shù)學(xué)模型。通過數(shù)學(xué)仿真和試驗(yàn)測量得出洗衣機(jī)筒體上一點(diǎn)對脫水振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以此表征整個(gè)懸掛系統(tǒng)的振動。通過對比得到滾筒洗衣機(jī)在整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)的振幅變化趨勢以及分析了造成二者出現(xiàn)差異的原因。同時(shí)明確了滾筒洗衣機(jī)在哪種工況和轉(zhuǎn)速區(qū)間會出現(xiàn)最大振動響應(yīng)，為后續(xù)的仿真和試驗(yàn)提供了方向，可以指導(dǎo)滾筒洗衣機(jī)的減振研究。