考慮裝配誤差的行星滾柱絲杠副載荷分析與研究

劉柱，范元勛

(南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

行星滾柱絲杠主要由絲杠、滾柱和螺母3部分組成，具有將旋轉運動轉化為直線運動的特點[1]。相比行星滾珠絲杠，其具有更高的承載能力及使用壽命。行星滾柱絲杠在精密傳動領域特別是航空航天領域已經得到了越來越多的關注和肯定[2-3]。

目前，國內外對于行星滾柱絲杠的理論研究已有一定基礎，理論研究主要集中在運動學分析、軸向變形、動態特性以及傳動效率等方面[4-7]。在螺紋牙載荷分布方面，楊家軍等[8]依據Hertz 彈性接觸理論，將滾柱作為整體，建立了剛度模型，得到了載荷分布與軸向剛度曲線;馬尚君等[9-10]將滾動體等效成承受剪應力的矩形單元，建立了載荷分布計算模型，并與有限元解進行對比。上述研究為行星滾柱絲杠副的載荷分布研究奠定了理論基礎，但均未考慮裝配誤差對滾柱兩側軸向分布的影響，且均假設各滾柱載荷分布相同，其對行星滾柱絲杠兩側載荷分布影響因素研究尚不充分。

本文根據行星滾柱絲杠副中螺紋牙兩側的變形協調關系，考慮裝配誤差對滾柱螺紋牙兩側產生的接觸變形，建立了各滾柱的載荷分布計算模型，得出了各滾柱的載荷分布規律，分析了裝配誤差對行星滾柱絲杠中滾柱軸向載荷的影響規律。通過控制裝配誤差，有利于改善行星滾柱絲杠均載特性。

1 裝配誤差

行星滾柱絲杠是一種將旋轉運動和直線運動相互轉化的機構。其中滾柱、內齒圈和保持架等零件整合到圓螺母上，安裝時直接將圓螺母沿著絲杠螺紋旋進就可以直接使用，如圖1所示。

圖1 行星滾柱絲杠結構

綜合行星滾柱絲杠的結構形式和傳動原理，行星滾柱絲杠在機構中的裝配方法如圖2所示。圖2中，絲杠與驅動電機相連，通過螺紋副將動力傳遞給圓螺母，圓螺母則通過螺釘聯接等方式與滑軌固連在一起作直線往復運動，軸承座和滑軌分別為絲杠和圓螺母起到定位的作用。

圖2 行星滾柱絲杠裝配方式

基于這種裝配方式，行星滾柱絲杠的裝配簡圖如圖3所示。圖3中，hs表示絲杠與軸承座配合后，其中心軸線與支撐平面的距離；hn表示與滑軌固連后，圓螺母中心軸線與支撐平面之間的距離。由于軸承座和滑軌豎直方向上尺寸誤差的存在，致使絲杠與圓螺母在安裝完成后二者的中心軸線在豎直方向上并不重合，因此hs≠hn。設t=hs-hn,當t>0時表示絲杠相對圓螺母向上偏移；t<0則表明絲杠相對圓螺母向下偏移。

圖3 行星滾柱絲杠裝配示意圖

絲杠與滾柱中心距發生變化后，滾柱不再是均勻分布在絲杠四周,如圖4所示。圖4中，設滾柱與絲杠無裝配誤差時的中心距為rsr;滾柱個數為k。OS和ON分別表示絲杠和螺母的中心點；Ojr表示第j個滾柱的旋轉中心；rjsr表示第j個滾柱與絲杠的中心距。根據三角形余弦定理可得：

圖4 裝配誤差后滾柱與絲杠接觸關系

(1)

若rjsr

圖5 與絲杠接觸的滾柱范圍

2 考慮裝配應力滾柱載荷分布

本文研究基于這樣的假設，即所有彈性變形都在彈性范圍內且不考慮絲杠軸段的彎曲變形，并且各滾柱兩側嚙合點關于絲杠對稱。裝配應力會使行星滾柱絲杠在轉動前螺紋牙就發生接觸變形，且接觸變形大小和滾柱與絲杠的中心距有關。設第j個滾柱絲杠側因為裝配應力產生的法向接觸變形為δsj,將δsj正交分解為δsj1和δsj2。其中，δsj1為滾柱螺紋牙沿OS-Ojr方向的變形，δsj2表示滾柱軸向接觸變形，β為接觸變形δsj與δsj1的夾角，則

δsj2=δsj1·tanβ

(2)

將絲杠和滾柱等效成圓柱體，半徑為各自螺紋中徑，滾柱絲杠側各螺紋牙產生的接觸變形為

δsj1=rsr-rjsr

(3)

根據赫茲接觸變形公式，第j個滾柱絲杠側各螺紋牙由于裝配誤差產生的軸向載荷Fjsa如下：

(4)

其中C為滾柱和絲杠的接觸剛度。根據靜力平衡條件，滾柱在螺母側各螺紋牙接觸變形δNj2與δsj2相等。

螺紋牙裝配應力變形使得滾柱在絲杠和螺母兩側的嚙合點在軸向方向產生位移，且第j個滾柱嚙合點的軸向位移為δsj2。因為同一滾柱的螺紋牙接觸變形相同，所以同側相鄰嚙合點的軸向距離仍然為螺距P。滾柱兩側嚙合點變化如圖6所示。圖6中，設A、B兩點處的滾柱在絲杠和螺母兩側的嚙合點Psa、Psb和PNa、PNb為參考點，曲線Γ1和Γ2分別為滾柱在絲杠和螺母側的嚙合點變化曲線。Pjsr和PjNr分別表示第j個滾柱絲杠和螺母兩側的嚙合點。

圖6 滾柱嚙合位置變化曲線

設Pjs(i-1)和Pjs(i)為第j個滾柱與絲杠嚙合的相鄰兩個接觸點，假設絲杠在Pjs(i-1)Pjs(i)之間還有與其他z個滾柱的接觸點。因此，Pjs(i-1)Pjs(i)被分成了z+1段，設每段的軸向內力為Fj,每段的距離為△Pi,所以絲杠在Pjs(i-1)Pjs(i)的軸向變形如下：

(5)

滾柱和絲杠及螺母在電機施加軸向載荷時，以絲杠或螺母中任意相鄰螺紋牙上的嚙合點為研究對象，列出兩個嚙合點的變形協調方程：

L+δi+1+ΔLsi=L+ΔLri+δi

(6)

其中:L的長度等于螺距P；ΔLsi和ΔLri分別表示兩嚙合點間絲杠和滾柱的軸向變形。

第j個滾柱在絲杠和螺母兩側的總軸向力大小相等，得平衡方程：

Fjs=Fjr

(7)

絲杠軸向平衡方程：

(8)

如圖7所示，Faji表示第j個滾柱上與絲杠接觸的第i個螺紋牙所受的軸向載荷，曲線為絲杠螺旋線。由圖7可以得到多個滾柱的軸向變形物理方程如下：

圖7 滾柱間軸向變形關系

(9)

通過聯立式(5)-式(9)，求出存在裝配應力時電機施加載荷后每個滾柱兩側的載荷分布情況。

3 算例

3.1 算例

采用表1和表2中所列出的一組行星滾柱絲杠進行分析，滾柱個數為2，其額定承載能力為2 t。行星滾柱絲杠副中的絲杠、滾柱及螺母的材料為GCr15,彈性模量為2.12×1012，泊松比為0.29，裝配誤差t=0.5 mm。

表1 行星滾柱絲杠幾何參數

表2 滾柱在圓螺母中的位置

通過matlab可計算出每個滾柱分別在絲杠與螺母兩側的螺紋牙載荷分布情況，計算結果如圖8所示。由圖8可知，滾柱2載荷為0,即滾柱1出現空載現象；滾柱1和滾柱3應為關于y軸對稱，所以兩側的軸向載荷相等；滾柱4兩側的軸向載荷最大。

(a) 滾柱絲杠側載荷分布情況

3.2 有限元驗證

采用C3D8M實體網格對滾柱、絲杠和螺母進行劃分。將絲杠和螺母上的接觸面選擇為接觸副面，滾柱接觸面為接觸主面，因此滾柱網格劃分的單元尺寸比絲杠和螺母要小[11]。行星滾柱絲杠在Abaqus中包含的六面體網格數量為4 065 429，具有9 685 012個節點，分析模型如圖9所示。

圖9 行星滾柱絲杠有限元載荷分析模型

邊界條件設置如下：絲杠與電機相連接的端面選擇完全固定約束，滾柱和螺母僅保留軸向移動自由度。模擬負載施加載荷在螺母端，建立與螺母端面耦合約束的參考點，在參考點上施加集中力。本次有限元分析分為3步，第1個分析步實現滾柱和絲杠及螺母螺旋曲面的精確接觸；第2個分析步對絲杠施加移動距離0.5 mm,使行星滾柱絲杠副中產生裝配應力；第3個分析步中施加螺母端的軸向載荷，數值為20 kN。有限元后處理模塊求解出滾柱軸向載荷與matlab求解結果對比如圖10所示。

由圖10知，本文建立的考慮裝配應力時的滾柱載荷計算方法與有限元方法結果吻合度較好。

圖10 滾柱兩側載荷

4 結語

1)建立了考慮裝配誤差影響的行星滾柱絲杠各滾柱兩側螺紋牙載荷分布計算方法。

2)通過算例分析表明，裝配誤差的存在會造成行星滾柱絲杠中與絲杠中心距過大的滾柱出現空載現象；參與嚙合接觸的滾柱兩側軸向載荷大小與滾柱和絲杠的中心距呈負相關，中心距越大，滾柱兩側載荷越小。

3)裝配誤差對滾柱兩側載荷分布影響不可忽略，在實際安裝過程中，應提高其裝配精度，減少各滾柱兩側載荷差異。