基于椅子鋪砌方法的織物組織設計

金 耀， 蔡騰皓， 李彩曼， 胡雅麗， 魯佳亮， 王 怡

(1. 浙江理工大學 信息學院， 浙江 杭州 310018； 2. 浙江理工大學 浙江省服裝工程技術研究中心， 浙江 杭州 310018；3. 浙江理工大學 信息化辦公室， 浙江 杭州 310018； 4. 浙江理工大學 紡織科學與工程學院(國際絲綢學院)，浙江 杭州 310018； 5. 浙大城市學院 創意與藝術設計學院， 浙江 杭州 310015)

鋪砌(tiling)是一種綜合了幾何學、組合學、群倫、拓撲、圖論等多個數學分支，研究形狀如何無重疊無空隙覆蓋平面的方法1]。同時，鋪砌又是一種古老的藝術形式，被廣泛應用于建筑、裝飾與藝術設計等領域，如中世紀伊斯蘭建筑設計特別青睞鋪砌圖案[2]。鋪砌圖案因其種類多樣且具有特殊的對稱性與美學價值，引起了不少學者的研究興趣。近年來，不乏學者借助計算機圖形技術，研究生成不同類型的鋪砌藝術圖案的方法：如基于動力系統理論生成混沌鋪砌圖案[3]，結合分形理論生成分形鋪砌圖案[4]，從圖像中提取并重構鋪砌結構[5]等。鋪砌藝術應用廣泛，但其在紡織領域應用的研究較少(雖有研究者提出將鋪砌應用于紡織品設計的構想[6-7]，但未曾實踐)，而運用鋪砌方法進行織物組織設計的研究更為罕見。

織物組織設計是紡織品設計的重要組成部分。借助計算機強大的運算能力，眾多研究者針對織物組織嘗試建立不同的數學模型并采用數字化設計手段，以提高織物組織設計的效率、豐富織物組織的變化形式。施國生等[8]運用對稱性原理設計織物組織，使組織具有對稱美感，但其整體對稱性的變化形式單調。趙良臣等[9]提出運用旋轉對稱性數學原理設計織物組織，使組織具有縐效應的美感。還有將圖像變換的思想運用于織物組織設計，得到具有不同變換特征的新組織[10]。這些方法均存在變化形式不夠豐富, 組織設計空間較小的問題。張聿等[11]將分形理論中L系統應用于織物組織設計，所設計的分形組織相較于傳統組織具有自相似性、層次嵌套的復雜結構。針對L系統設計方法的局限性，文獻[12]提出了不受基礎組織形式限制的IFS方法，擴大了設計空間。在此基礎上，張聿課題組研究了分形組織的多個變種，從不同層面探討分形組織的變化形式，設計出不同風格的織物組織，如各層基礎組織互異的分形組織[13]，同層仿射分形織物[14]，基于斜紋基本組織的回紋分形組織[15]等。最近，熊宇龍等[16]又提出了設計更為靈活的擴展分形組織模型，能夠涵蓋上述分形織物組織模型。

采用分形織物組織方法通過構造空間布局形成新組織,擴大了組織的設計空間。類似分形織物組織，本文從空間布局的角度設計織物組織,借助椅子鋪砌(chair tilings)這種具有方形結構的特殊鋪砌構圖，提出一種新型織物組織的設計方法。受益于椅子鋪砌的特點，該方法所設計的織物組織既具有分形組織的自相似性與層次嵌套的結構，又具有非周期以及多種形式的對稱性,能夠設計出一些特殊的新型織物組織，豐富了織物組織的設計手段與變化形式。

1 鋪砌的生成原理

1.1 鋪砌的定義

鋪砌是由數個鋪砌塊(tile)構成的集合,且滿足如下條件：1)每個鋪砌塊為閉集；2)鋪砌塊的并集鋪滿歐式平面；3)任何2個鋪砌塊的內部彼此無交集。該定義即表明鋪砌集合能夠無空隙且不重疊地覆蓋平面[1]。

鋪砌的一個顯著特點是對稱性,且其對稱性可呈現出各種不同的排列規則。根據鋪砌塊的布局是否具有周期性，鋪砌可分為周期鋪砌與非周期鋪砌兩類[1](如圖1所示)。由圖可看出周期鋪砌呈現整體對稱性，較為規則；而非周期鋪砌具有局部對稱性，既具有規則性又具有隨機性。

圖1 周期與非周期鋪砌圖例Fig.1 Examples of periodic (a) and aperiodic (b) tilings

1.2 椅子鋪砌及生成原理

椅子鋪砌是一種只由一種鋪砌塊生成的非周期鋪砌，因其鋪砌塊形如“椅子”而得名。椅子鋪砌的鋪砌塊可看作3個正方形構成的凹形六邊形。其鋪砌塊及鋪砌結構見圖2。由圖可見，對鋪砌塊進行各種層次化幾何變換，可得到復雜的鋪砌結構。

圖2 椅子鋪砌的鋪砌塊及鋪砌結構Fig.2 Tiles (a) and tling structure (b) of chair tilings

為生成椅子鋪砌結構，本文采用基于擴充—再分過程的替換法并利用四叉樹構建chair鋪砌的層次結構[3,6]。具體過程為：對于當前四叉樹已生成的葉子節點，將其節點所在的鋪砌塊等比放大2倍，設置該節點的4個子節點的仿射變換，將該區域分割成4個與該鋪砌塊全等的區域，設置4個子區域的方向，使其右上角和左下角的鋪砌塊方向保持不變，左上角的鋪砌塊為原鋪砌塊順時針旋轉90°形成，而右下角的鋪砌塊為原鋪砌塊逆時針旋轉90°形成。運用上述方法構建一棵完全四叉樹，其葉子節點所在層即為該層級的椅子鋪砌結構。

2 椅子鋪砌織物組織設計

椅子鋪砌的結構具有類似分形的自相似性與層次嵌套性。所不同的是其鋪砌塊的分布滿足一定規則的局部對稱性，如平移對稱、旋轉對稱、鏡面對稱等并以相互嵌套的形式鋪滿平面，表現出亂中有序的規律。同時，椅子鋪砌具有方塊形狀的天然特點，其結構適用于織物組織設計，所設計的組織稱為椅子鋪砌組織。

2.1 椅子鋪砌組織的設計方法

椅子鋪砌組織設計方法利用椅子鋪砌的空間布局結構構造新組織。類似于分形組織采用“組織替換組織點”的思想。本文首先運用椅子鋪砌方法生成織物組織的空間結構，然后以鋪砌塊為單位的組織單元(稱為“鋪砌塊組織”)按照一定規則對空間結構進行“鋪砌”，從而形成椅子鋪砌組織。具體講，椅子鋪砌組織的設計方法如下。

1)構造鋪砌結構：根據1.2節所描述的椅子鋪砌生成原理，構造給定層次數的鋪砌結構，其中空缺的右上角結構默認由鋪砌的左下角結構復制得到。由此形成的鋪砌結構見圖3(a)。

圖3 椅子鋪砌組織的生成過程Fig.3 Procedure of generating chair-tiling weaves.(a) Tiling structure; (b) Tile weave; (c) Tiling weave

2)設計鋪砌塊組織：確定組織循環數，并在鋪砌塊中設計鋪砌塊組織，見圖3(b)。

3)生成鋪砌組織：將鋪砌塊組織運用椅子鋪砌的對稱變換規則替換原鋪砌塊，生成最終的鋪砌組織。由圖3(a)與(b)生成的鋪砌組織見圖3(c)。

2.2 椅子鋪砌組織的變化形式

本文所提出的椅子鋪砌組織設計方法可從多個不同角度對織物組織進行變化創新，以增加組織設計的自由度，擴大組織設計的空間。具體講，主要的變化形式有如下幾種。

1)鋪砌層次數n的變化。即改變椅子鋪砌的層次數。不同的層次數將形成不同的鋪砌結構。隨著層次數的增加，其結構也將變得越為復雜。

2)鋪砌結構S的變化。鋪砌結構可通過改變鋪砌(見圖2(b))的右上角結構進行變化。其右上角的結構可采用不同的結構進行嵌套，如可對鋪砌的左下角結構通過施加不同的旋轉變換{R90°,R180°,R270°}得到不同的整體鋪砌結構。將3種不同旋轉對應的變換1、變換2與變換3分別施加于圖2(b)，可獲得圖4所示結果。

圖4 不同變換下得到的右上角鋪砌結構Fig.4 Tiling structures of upper right corner under different transformations. (a) Transformation 1; (b) Transformation 2; (c) Transformation 3

3)鋪砌塊組織W的變化。設置不同鋪砌塊組織將帶來風格迥異的椅子鋪砌組織結構，也是實現椅子鋪砌組織變化的主要手段。用戶既可將整個鋪砌塊作為整體并直接在其內部設計組織，亦可只輸入1個組織循環以及1個同循環數的置換群組織，并利用該組織循環在該群作用下得到的軌道組織[17]進行排列組合變化出多個組織生成鋪砌塊組織。

3 仿真實驗與討論

本文運用C++語言實現上述椅子鋪砌組織設計方法并對生成織物組織圖進行可視化仿真。

3.1 不同鋪砌層次數的織物組織

本文嘗試對同一種鋪砌塊組織，采用不同的鋪砌層次數生成椅子鋪砌組織。圖5示出層次數n分別為2,3,4時得到的椅子鋪砌組織。可見，當層次數較小時，所生成的組織相對簡單；而當層次數增加時，生成的組織逐漸變得復雜，并且形成具有小花型的外觀效果。

圖5 不同鋪砌層次數得到的椅子鋪砌組織Fig.5 Chair-tiling weaves with different tiling layers

3.2 不同鋪砌結構的織物組織

本文通過對椅子鋪砌的右上角結構進行變化，得到不同的椅子鋪砌結構，形成不同的椅子鋪砌組織。圖6示出采用不同鋪砌結構設計的鋪砌組織(n=3)，即椅子鋪砌右上角結構未經變化以及分別對左下角結構施加變換1(90°旋轉)、變換2(180°旋轉)、變換3(270°旋轉)變換得到的織物組織圖。由圖可見，局部鋪砌結構的變化引起了整體組織外觀效果的變化；當旋轉角度為180°時，所設計的織物組織呈現出中心對稱的效果，而當旋轉角度為其他值時，則出現亂而有序的非周期對稱外觀效果。

圖6 采用不同鋪砌結構設計的鋪砌組織(n=3)Fig.6 Chair-tiling weaves with different tiling structures.(a) Without transformation; (b) Transformation 1;(c) Transformation 2; (d) Transformation 3

3.3 不同鋪砌塊組織的織物組織

通過設計不同的鋪砌塊組織還可獲得更多的椅子鋪砌組織。圖7示出采用鋪砌塊組織設計的鋪砌組織(n=3)。由圖可見，不同的鋪砌塊組織所生成的椅子鋪砌組織外觀效果差異較大，風格也不同。特別地，當鋪砌塊組織本身具有對稱性時，所生成的鋪砌組織將呈現具有整體對稱性的規則花型效果,如圖7(a)、(b)所示。

圖7 采用不同鋪砌塊組織設計的鋪砌組織(n=3)Fig.7 Chair-tiling weaves with different tiling structures.(a) Tiling weave 1; (b) Tiling weave 2; (c) Tiling weave 3

為控制所生成織物組織的組織點分布，利用椅子鋪砌組織鋪砌塊相互咬合嵌套的特點，可從如下幾方面設計具有一定特點的鋪砌塊組織：欲生成帶有大塊組織點的織物組織，可在鋪砌塊的角點處設計大塊組織點，使其在角點處拼接時形成更大的組織點；欲生成具有回紋外觀的織物組織，可參考回紋分形組織設計方法[15]，設計斜紋狀的鋪砌組織，等等。圖8示出采用特殊鋪砌塊組織設計的鋪砌組織(n=3)。由圖可見，上述方法生成的椅子鋪砌組織可分別呈現大塊組織點與回形結構，符合預期。

圖8 采用特殊鋪砌塊組織設計的鋪砌組織(n=3)Fig.8 Chair-tiling weaves with special tiling structures.(a) Weave with large weave points; (b) Fret weave

4 結束語

本文將鋪砌的思想引入織物組織設計，從組織空間布局的角度，提出了一種基于椅子鋪砌的織物組織設計方法。該方法通過構造鋪砌結構、設計鋪砌塊組織與生成鋪砌組織3個步驟實現組織設計。可通過改變鋪砌層次數、鋪砌結構類型以及鋪砌塊組織等實現椅子鋪砌組織的變化，擴大了設計空間，獲得豐富的新型織物組織。由該方法所生成的織物組織不僅具有自相似性、層次嵌套等分形織物組織的特點，而且因其具有椅子鋪砌結構，使其呈現出亂中有序的非周期對稱性特點,組織結構復雜，具有一定的防偽功能。

椅子鋪砌僅是眾多鋪砌結構的一種，不同的鋪砌規律將開拓出不同的織物組織設計空間。如何引入更多類型的鋪砌結構進行織物組織設計可成為未來研發新產品的一個方向。