探尋函數中的隱性恒成立

馮君彥

[摘要]對恒成立問題的考查歷來屢屢見于各類考試中，因此探尋函數中的隱性恒成立具有重要意義.結合幾則典例，探尋函數中的隱性恒成立，以提高學生解決問題的能力.

[關鍵詞]函數;隱性恒成立;有意義

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）35-0035-02

對恒成立問題的考查歷來屢屢見于各類考試中，尤以不等式或等式恒成立最多，其實，還有許多沒有明顯帶有“恒成立”字眼的隱性問題，也可以挖掘出“恒成立”的內涵，用恒成立思想加以解決，特別是有關函數的問題中，如果我們細心觀察與認真分析，就能感覺它的存在，本文舉例說明，供大家參考，

一、函數在某區間上有意義

函數在某區間上有意義，該區間一定是函數的定義域的子區間，于是問題可轉化為與函數定義域有關的某不等式在這個區間上恒成立，

點評：函數的三要素中，定義域不容忽視，沒有它就無法研究函數的性質，我們通常考慮偶次根式的意義和分式的意義等，而它們的意義其實就是恒成立，比如在定義城內被開方數大于等于零恒成立，真數恒大于零恒成立，等等，

點評：對于函數的奇偶性，大家都不陌生，但往往熱衰于如何判斷，卻忽略了它定義中隱含的恒成立關系，即對定義城內的任何變量x都有f（一x）=f（x）成立.基于這個特點，才讓我們在逆向討論函數的奇偶性時，有了“用武之地”，

三、函數單調性

函數單調性的定義，體現了自變量的大小與函數

點評：函數的最值問題一向是高中數學的難點，其解法多種多樣.從某個角度看，我們也可以把它看成一種特殊的恒成立問題，就是函數值永遠比某個常數大或者小，這種思想為我們解題開辟了另一條捷徑.

五、函數的周期性

若常數T是函數f（x）的周期，則必有f（x+T）=f （x）恒成立，于是問題轉化為等式恒成立問題，由此可求得參數的值，

點評：當函數的周期不容易直接求出或求某參數的值時，可采用通過定義轉化為等式恒成立的方法，進而利用函數思想加以解決.

函數的性質是函數的“靈魂”，也是解決函數問題的“抓手”，從上文不難看出，無論是函數的定義域，還是函數的單調性、奇偶性還是周期性，都隱含著一個恒成立的不等式，或一個恒成立的等式，這是解決函數問題最好的“抓手”.

（責任編輯 陳昕）