初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中滲透數(shù)學(xué)建模思想的策略研究

◎ 鞏玉英 田承恩

核心素養(yǎng)教育視角下，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也應(yīng)因時(shí)而變、因材施教，尤其對(duì)于正處于初中階段的學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)教學(xué)中更要有意識(shí)地激發(fā)和培育學(xué)生的學(xué)習(xí)意識(shí)，因此教師在課堂教學(xué)時(shí)的側(cè)重點(diǎn)不應(yīng)只是過度關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)，而是通過對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的有效滲透和應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有效應(yīng)用建模思想，借助數(shù)學(xué)模型有效解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維意識(shí)，提高學(xué)習(xí)效能。正如著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究和運(yùn)用。”誠然，數(shù)學(xué)建模思想是貫穿于初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要學(xué)習(xí)思維和方法，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)以及用數(shù)學(xué)，這對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生由“應(yīng)試教育”轉(zhuǎn)向“素質(zhì)教育”具有重要意義。

一、以圖建模，培養(yǎng)學(xué)生審題能力

在初中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用問題較多，其中包含了很多數(shù)學(xué)信息，而題干涉及的文字也繁多，這在無形為對(duì)學(xué)生的信息篩選能力和題干信息的閱讀和理解能力增加了很多困難。對(duì)于一些相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，學(xué)生需要對(duì)相關(guān)隱含信息內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)符號(hào)或已知的數(shù)學(xué)變量，因此建立數(shù)學(xué)模型尤為重要。學(xué)生在解決這類數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)，可通過圖標(biāo)建模在圖表或圖形中獲取相關(guān)的解題數(shù)據(jù)信息，也可借助數(shù)學(xué)圖表、相關(guān)數(shù)學(xué)圖形等轉(zhuǎn)化變量之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量關(guān)系列等式。這樣一方面能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，另一方面還可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問題已知、未知數(shù)據(jù)的處理能力。

例如，在講解初中數(shù)學(xué)中的行程應(yīng)用問題時(shí)，教師可通過畫線段的方式引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形找數(shù)量關(guān)系。如甲、乙二人同時(shí)從相距18 公里的西村和東村出發(fā)，已知甲每小時(shí)行走14 公里，并在2h后可以追上乙，那么請(qǐng)問乙每小時(shí)行走多少公里？對(duì)于這類題型，先假設(shè)乙每小時(shí)行走x公里，然后可以圖建模：

圖1

根據(jù)圖1 中數(shù)學(xué)模型，即可得到等式關(guān)系：18+2x=28，x即等于6 公里。

二、類比轉(zhuǎn)化建模，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)與學(xué)生的日常生活實(shí)際聯(lián)系最為緊密，而在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教學(xué)實(shí)踐過程中，關(guān)鍵和重點(diǎn)是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，即通過分析問題和解決問題培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，使其自然而然地學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活實(shí)際相聯(lián)系。但有些初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜，無法直接建立模型，針對(duì)此類應(yīng)用問題需要引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神以及數(shù)學(xué)處理方法，通過類比轉(zhuǎn)化建模，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)解題過程中學(xué)以致用。

例如，在一元一次方程的教學(xué)過程中，有如下應(yīng)用問題：A和B每天晚上在學(xué)校的環(huán)形跑道中跑步鍛煉身體，已知該環(huán)形跑道的長(zhǎng)度為400 米，其中，A和B平均每秒鐘分別跑5m 和7.5m。有一天晚上，B對(duì)A說：“我比你速度快，這次你可以先跑25m，然后我們?cè)僖煌_始跑。”那么請(qǐng)問：1.A和B同時(shí)同向出發(fā)，兩人需要多長(zhǎng)時(shí)間才能相遇？2.在2 點(diǎn)和3 點(diǎn)之間，若時(shí)針和分針重合，此時(shí)會(huì)是什么時(shí)刻？3.在2 點(diǎn)和3 點(diǎn)之間，請(qǐng)問時(shí)針和分針若要成直角或平角，需在什么時(shí)刻？

此類數(shù)學(xué)應(yīng)用題考查的是學(xué)生對(duì)一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)學(xué)變式關(guān)系的應(yīng)用，而在初中數(shù)學(xué)中，這兩種基本問題可以實(shí)現(xiàn)類比轉(zhuǎn)化，只要引導(dǎo)學(xué)生建立如下圖所示的數(shù)學(xué)模型，即可讓學(xué)生更加直觀地找出題目中所隱含的數(shù)學(xué)等量關(guān)系，也可直接將鐘表中的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為生活中的追擊問題，這種解題思路難度適中，更加貼近學(xué)生的日常生活實(shí)際，通過建模解題可增強(qiáng)學(xué)生的自信心，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)思維意識(shí)，使其在解題中由被動(dòng)變主動(dòng)，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

圖2

三、針對(duì)“最近發(fā)展區(qū)”建模，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

近年來，在新課改背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)更加強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，尤其是初中數(shù)學(xué)，其知識(shí)點(diǎn)多、內(nèi)容繁雜，學(xué)生理解起來相對(duì)比較困難。以初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)為例，教師通過數(shù)學(xué)建模，即可通過解題方法創(chuàng)新，針對(duì)“最近發(fā)展區(qū)”建模，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新解題意識(shí)。

比如，某工廠有22 名工人生產(chǎn)螺母和螺釘，其中每個(gè)工人每天平均可以生產(chǎn)2000 個(gè)螺母和1200 個(gè)螺釘，已知1 螺釘可配2 螺母，為了使螺釘和螺母正好完全配套，請(qǐng)問該工廠每天至少應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘和螺母？

很顯然，此類問題也屬于應(yīng)用型數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)題干內(nèi)容來源于學(xué)生的日常實(shí)際，所以在解決這類數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師要打破常規(guī)，不能盲從課本知識(shí)，尋找學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)學(xué)生興趣建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生列表格、畫示意圖等對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問題關(guān)系進(jìn)行表征，根據(jù)不同類型的應(yīng)用題，建立不同的數(shù)學(xué)模型。在此題中，可讓學(xué)生假設(shè)該工廠每天生產(chǎn)螺釘至少需要x人，由此可根據(jù)上述已知題意列出如下表格模型。

通過上述圖表建模方法，可啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生多去深入思考與題目?jī)?nèi)容相關(guān)的概念、條件或結(jié)論等，以圖表建模優(yōu)化數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解題策略。

對(duì)于初中學(xué)生而言，在自主探究與實(shí)踐中能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在體驗(yàn)中加深對(duì)知識(shí)的印象，從而獲得學(xué)習(xí)的成就感。尤其是在初中數(shù)學(xué)教材中，應(yīng)用問題包含數(shù)學(xué)信息文字繁多，無形中會(huì)對(duì)學(xué)生閱讀和理解能力產(chǎn)生影響。但毋庸置疑，數(shù)學(xué)是一門與學(xué)生日常生活聯(lián)系最為緊密的基礎(chǔ)學(xué)科，其更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)邏輯思維。而數(shù)學(xué)建模思想是一種有效的解題策略，建模的本質(zhì)與核心在于引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題技巧，通過不同方式建立合適的數(shù)學(xué)模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生的想象力、觀察力和創(chuàng)新創(chuàng)造能力，塑造學(xué)生的核心素養(yǎng)。因此，在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)中，教師的根本任務(wù)就是要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的建模思維能力，通過分析、解決問題引導(dǎo)學(xué)生善于“用數(shù)學(xué)”，并自然而然地學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題。只有積極改變策略，踐行新課改教育指導(dǎo)精神，更加注重對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，才能指導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模和解題方法創(chuàng)新培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新解題意識(shí)。

通過以上案例分析及論述可以看出，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不是一蹴而就，應(yīng)在平時(shí)點(diǎn)點(diǎn)滴滴的學(xué)習(xí)中進(jìn)行長(zhǎng)期的滲透和積累。因此，在教學(xué)實(shí)踐過程中，教師要善于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)技能進(jìn)行培養(yǎng)，積極轉(zhuǎn)變教學(xué)方法和思路，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，多從生活實(shí)際出發(fā)，多觀察和總結(jié)身邊的數(shù)學(xué)，將實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題相結(jié)合，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要從多角度入手，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型分析問題與思考問題，借助數(shù)學(xué)模型將具體問題簡(jiǎn)單化，真正提高解題能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，促進(jìn)學(xué)生多方面數(shù)學(xué)能力的提升，使學(xué)生可以學(xué)習(xí)和運(yùn)用有用的數(shù)學(xué)知識(shí)，產(chǎn)生巨大效益，并使學(xué)生終身受益。