淺析教學實踐中引入伴隨矩陣的原因

摘?要：伴隨矩陣是線性代數課程矩陣理論教學中的一個關鍵點，在教學實踐過程中許多學生迷惑于伴隨矩陣的眾多性質，而忽略對伴隨矩陣出現的原因及其作用的探究，抓不住學習的重點。本文從教學實踐出發，分析了矩陣理論中引入伴隨矩陣的原因，指出伴隨矩陣的主要作用是由其基本性質可得到方陣可逆的三個充分必要條件，從而使得可逆矩陣的判定可以從方陣的行列式、方陣的秩的角度來考慮，且判別方法更加簡單便捷。本文利用伴隨矩陣的性質對可逆矩陣的三個充分必要條件進行了詳細論證，并舉例說明利用伴隨矩陣來求一個具體方陣的逆矩陣的可行性不高，指出在矩陣論中求逆矩陣的主要方法是初等變換法。

關鍵詞：可逆矩陣;伴隨矩陣;行列式

中圖分類號：O151.2?文獻標識碼：A

Abstract：Adjoint matrix is a key point in the teaching of the matrix theory in linear algebra.Many students are puzzled by the properties of adjoint matrix so that they lose sight of the reason of introducing adjoint matrix and the application of adjoint matrix.This manuscript analyses the reason of introducing the adjoint matrix in the theory of matrix.As a result，it points out that the key role of the adjoint matrix is that it brings out three sufficient prerequisites of the invertible matrix.Therefore，people can say whether a matrix is invertible from its determinant or its rank，which are easier and simpler than from the definition of the invertible matrix.This paper also gives the proof of the three sufficient prerequisites of the invertible matrix.And it points out it is impracticable to get the inverse of a matrix by its adjoint matrix.Therefore，the elementary transformations are used to get the inverse matrix.

Keywords：invertible matrix;adjoint matrix;determinant

伴隨矩陣是線性代數教學中的一個難點，這是因為伴隨矩陣具有多個比較常用又容易記錯用錯的性質。正是因為其性質比較多，初學的學生很容易陷入這些性質的證明與相關習題中，從而忽略了對引入伴隨矩陣的原因和它的主要作用的探討。可逆矩陣是線性代數矩陣理論中的重要內容，在教學實踐中伴隨矩陣的首次出現和可逆矩陣緊密相連，伴隨矩陣對可逆矩陣理論的學習起著重要作用。本文主要討論了伴隨矩陣在可逆矩陣理論中的作用，基于教學實踐指出在線性代數中其所起的主要作用是用來推導矩陣可逆的三個充分必要條件。這個觀點對于初學者學習矩陣理論有一定的意義，可使初學者分清主次，認識到伴隨矩陣的引入是起一個輔助作用，而學習的主要對象是可逆矩陣。

一、可逆矩陣的定義

定義1：n階方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B使得：

AB=BA=E（1）

其中E是n階單位矩陣。此時，記B=A-1，稱之為A的逆矩陣。

分析1：在可逆矩陣的定義中，若要證明某方陣A是可逆的，需要證明兩件事情：

（1）AB=BA?（2）AB=E或BA=E

分析2：用定義1直接求一個具體方陣的逆矩陣很困難。這是因為如果沒有其他附加條件，單純用該定義求A的逆矩陣需要用n階矩陣代進（1）式來一個一個嘗試，對于高階矩陣，這種可行性不大。

有沒有判斷一個具體方陣A可逆的更為簡單便捷的辦法？有沒有可以直接求出A的逆矩陣的方法？為了解決以上兩個問題，矩陣理論的教學中引入了一個新的工具，這就是伴隨矩陣。

二、伴隨矩陣的概念與基本性質

由方陣行列式的性質，可以得到如下所述的伴隨矩陣的基本性質[1-4]。

分析3：觀察伴隨矩陣的基本性質（2）式，首先可以看到（2）式把方陣A、A的伴隨矩陣A*以及A的行列式聯結在一起;其次（2）式與可逆矩陣的定義式（1）非常相似，容易看到如果|A|≠0，那么（2）式就可以變為：

從而由可逆矩陣的定義（1）式可知A可逆，且：

分析4：引入伴隨矩陣的最主要的原因就是得到定理1的結果，也就是說，引入伴隨矩陣的目的是為了得到判斷方陣是否可逆的充分必要條件。對于一個具體的方陣來說，這個判斷方法非常有效，因為無論是求其行列式或者是求其秩都具有很強的可操作性。

也可由定理1得到A可逆。

從上例可以明顯看出用行列式或秩來判斷一個具體矩陣是否可逆非常有效且簡單，那么對于非具體的方陣，有沒有比用可逆矩陣的定義更簡單的辦法來判斷其是否可逆？下面的推論3給出了答案。

四、由第三部分的結論證明：方陣A可逆存在矩陣B滿足AB=E或BA=E

分析5：由定理1，可以得到另外一個判斷方陣A可逆的簡單方法，即下面的推論3。利用該結論判斷一個矩陣是否可逆比可逆矩陣的定義要簡單，在具體應用中，常用該結論來判斷一個非具體的方陣是否可逆。

五、補充分析

在定理1中，由伴隨矩陣的基本性質，可以得到在方陣A可逆的情況下，A的逆矩陣可以由伴隨矩陣表示為：

這確實是求逆矩陣的一個方法，例如我們可以由此得到一些簡單矩陣的逆矩陣。

由上面的例子可以看到，在利用伴隨矩陣求一個具體矩陣的逆矩陣時，不僅需要求該矩陣的行列式，還需要求出m2個代數余子式，即使對于上例這個比較簡單的矩陣，求其伴隨矩陣的計算量就比較大且過程煩瑣，因此用伴隨矩陣求逆矩陣并不是一個理想的方法。

綜上所述，在線性代數教學中引入伴隨矩陣的主要原因是為了得到矩陣可逆的三個充分必要條件，即

存在矩陣B使得AB=E或BA=E

在矩陣可逆時，其逆矩陣可以由其行列式和伴隨矩陣共同表示，這一結果在求一個具體可逆矩陣的逆矩陣時計算量較大，可行性不高。也正是因為如此，在矩陣理論中，求一個具體的可逆矩陣的逆矩陣采用的是更有可行性的初等變換法[1-4]。

參考文獻：

[1]王萼芳，石生明修訂.北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]張賢科，許甫華.高等代數學[M].北京：清華大學出版社，2006.

[4]陽慶節，等.高等代數簡明教程[M].北京：中國人民大學出版社，2010.

[5]游興中，徐雪楓，顏小強，趙堅.伴隨矩陣的兩個性質[J].湘南學院學報，2014，35（5）.

[6]張麗麗.伴隨矩陣的若干性質及其在解題中的應用[J].佳木斯大學學報，2015，33（5）.

[7]張平平.伴隨矩陣的性質及其應用[J].教育教學論壇，2015，36.

[8]莊科俊.伴隨矩陣的性質在行列式計算中的應用[J].榆林學院學報，2017，27（6）.

基金項目：國家自然科學基金項目：多復變中與群作用相關問題的研究（項目號：11671399）

作者簡介：張會平，女，漢族，河南洛陽人，博士，副教授，研究方向：基礎數學與高等數學教育研究。