新工科背景下應用型本科高校高等代數課程教學改革探索

摘?要：高等代數作為理科數據科學與大數據技術專業的一門數學基礎課，對培養學生的數學素養和應用能力起著至關重要的作用。在當前新工科建設的背景下，應用型本科高校的高等代數課程的教學理念、內容和教學模式亟須進行改革。結合新工科建設機制，以及大數據專業的本科生培養方案指南，從教學內容優化實現高等代數知識模塊的多元化，增加案例式教學提高高等代數課程的教學效果，挑選合適教材改革高等代數教學模式三方面提出了教學改革建議;并結合具體實例，具體闡述了高等代數課程改革的思路和方法。這些改革措施有助于全面提升學生的自主學習能力和創新能力，為培養高層次數據科學和大數據技術人才打下堅實的數學基礎。

關鍵詞：高等代數;大數據專業;案例式教學;新工科;應用型本科

2017年教育部發布了《新工科研究與實踐項目指南》以后，各高校逐步商討形成了“復旦共識”“天大行動”和“北京指南”。至此，高等教育中的新工科路徑建設已經成型。無論是新工科的“新”時代背景，還是新工科的“新”價值意蘊，其目標是培養未來多元化、創新型卓越工程人才。因此，在“新工科”大背景下，作為地方應用型本科高校，需要思考如何深度融合新的工程教育理念來支撐新工科專業建設，積極探索分類培養、因地制宜多樣化應用型理工科人才培養模式，建構“產教融合、協同育人”的新機制，全面培養多學科交叉復合型人才，培養面向未來的人才[1]。

2015年8月31日，國務院印發的《促進大數據發展行動綱要》標志著將大數據納入國家戰略層面。為了滿足社會對大數據人才的需求，教育部2016年增加了數據科學與大數據技術專業（以下簡稱“大數據專業”），畢業生學位授予門類分為工學和理學，其專業培養目標要求學生具有實踐應用能力和融合創新能力，“應用驅動”是該專業的特點[2-3]。這是教育部為落實《促進大數據發展行動綱要》而批準設立的新工科專業，完全契合了“新工科”建設的需求，即學科交叉融合、文理素養兼備、解決產業新問題與引領未來技術和產業[2，4]。截止到2020年，教育部已批準612所高校開設數據科學與大數據技術專業，大數據專業已成為國內最熱門的新增專業之一。

大數據專業的學生要求具有扎實的數學基礎和良好的數學素養;學位授予類型為理學，依托學科為數學或統計學的大數據專業均將高等代數課程設置為基礎課程;學位授予類型為工學，依托學科為計算機或統計學的大數據專業則將線性代數課程設置為基礎課程[5]。因此，無論是高等代數還是線性代數，都是大數據專業的一門重要的基礎課程，該課程的教學效果將直接影響大數據專業學生的數學素養和其他核心課程的學習，也關系到學生自身的發展。在地方應用型本科院校，為了培養大數據專業學生的探索和創新精神，增強學生的能力，應當改變以理論教學為主的傳統教學模式[6]，將數據科學思維、人工智能技術理念結合相關應用性案例融入傳統的高等代數課程教學中，培養學生對新技術、新業態、新變革等的接納思維與應變能力[3]。

1 高等代數課程教學中面臨的問題

1.1 共性問題

從學科特征上來看，高等代數的理論具有高度的抽象性、邏輯的嚴密性和方法的靈活多變性，這決定了其課程教學在教學內容設計上更偏重講解定義、定理和證明，強調理論性和邏輯推理，缺乏實踐工程示例;在教學方式上，理論性的講解意味著教師需按照課本編寫順序講解，教學方法單一，缺少混合式教學模式，學生學習被動、積極性不高。

高等教育出版社的《高等代數》是大部分任課教師選取的教材，該教材內容豐富、知識點全面[7]。但對于大一新生而言，其從初等數學的直觀性過渡到高等代數的抽象性尚未適應，思維模式沒能立即轉換到矩陣或線性空間等層面，所以具有一定的難度。因此，如何在較短時間內，讓學生形成新的數學思維模式和邏輯推理能力是高等代數教學中必須解決的問題。

1.2 差異問題

大一新生無論是基礎知識、興趣愛好，還是學習目的、學習方法等均存在較大差異，理論教學不可能按照每個學生的狀況進行針對性教學，基礎較好的學生會缺乏學習高等代數的熱情，基礎較差的學生會產生畏難厭學情緒。大數據專業與數學類、統計學類專業相比，“新工科”特色決定了其數學課程和專業課程必須有機融合，需要高等代數知識作為數據挖掘、機器學習、最優化理論等后續核心課程的數學理論支撐模塊，注重與其他課程之間的關聯性和有效性;對學生的邏輯和計算思維提出了更高要求，以便在后續的學習中夠用能用[5，8]。

因此，鑒于大數據專業的高等代數課程教學中面臨的問題，必須打破傳統理論教學模式，從知識體系、教材選擇和教學方法上進行改革與實踐;探索混合式教學模式，進行合理的分層教學，照顧各層次學生的學習需求，激發學生的學習積極性。

2 強化高等代數和數據科學與大數據技術專業課程內容的融合

2.1 教學內容的優化

傳統高等代數教學內容主要由多項式理論和線性代數兩部分組成;其中，線性代數是重要部分。多項式理論主要講授一元多項式;線性代數部分主要包括行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數與辛空間章節。以“應用驅動”為特色的大數據專業顯然不能、也不應該照搬傳統教學內容進行高等代數課程講授，而應該在深入調研大數據專業核心課程所需的數學知識模塊的基礎上[5，8]，根據人才培養方案對高等代數課程的教學內容進行選擇、優化和補充;既要使學生掌握基本的代數思想和研究方法，學會數學的理性思維和邏輯推理能力，又能契合大數據專業人才培養方案，實現代數學和數據科學的課程融合。

借鑒其他高校試行高等代數課程改革方案[6，9]，我們對教學內容優化的具體做法包括：①多項式、λ矩陣、雙線性函數與辛空間與大數據專業的后繼課程沒有直接聯系，這三部分內容不講不會對學生的學習造成影響。②行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間這些知識點既是高等代數的重點內容，也是大數據專業后繼課程的基礎，應作為教學的重點，要求學生熟練掌握。③線性變換和歐式空間中的思想和方法與數據科學的主要方法聯系緊密，需要重點講解。但其中涉及的線性變換的值域與核、不變子空間、若爾當標準形的理論證明可略講或不講。這是因為大數據專業的學生更多是需要對這些概念的實際運用，所以對于理論證明可適當降低要求。④增加空間解析幾何以及高維空間幾何學知識，形成與數學分析、數據科學導論課程的恰當融合，彌補因缺乏幾何課程所導致的學生空間想象能力低下的缺陷，鍛煉學生數形結合和離散與連續結合的思維能力。⑤增加矩陣分析中的范數和矩陣微積分知識點，補充數據挖掘、機器學習和最優化理論等專業課的數學基礎知識，強化與后繼應用型課程的有序銜接。

2.2 案例式教學的滲透

高等代數在自然科學和社會科學的許多領域都有廣泛的應用[10]，但現行的國內教材注重代數系統本身的邏輯結果，并不介紹具體的應用性案例[6];導致學生學習興趣低下，反映課程內容枯燥、概念抽象，最終不能系統理解和掌握高等代數課程知識[11]。為了充分體現高等代數自身的價值和其在大數據專業相關核心課程中的基礎地位和融合支撐程度，必須在理論教學之外增加應用性案例教學，尤其是代數學與數據科學之間相互滲透的案例，將理論與實際相結合，使學生掌握“具體→抽象→具體”的代數學研究方法;讓學生切身體會到高等代數理論在解決實際問題中的作用，從而增強學生學習和應用代數知識解決實際問題的能力和積極性，符合“應用驅動”的專業特色。

例如，學習行列式時，引入柯西使用行列式計算多面體體積的公式，讓學生了解行列式在幾何學中的應用;通過實例介紹行列式在解析幾何中的應用歷史，能揭示新知識引入的必要性，從而激發學生掌握新的數學工具的興趣。學習線性方程組時，引入劍橋食譜中的營養元素配比問題以及城市道路網絡交通流問題，使學生體會線性方程組在社會科學中的應用;這種實例來源于日常飲食和交通，十分貼近生活，易使學生產生興趣，且學生能從中感受到代數學與營養學、交通科學的緊密聯系。學習矩陣代數運算時，介紹現代飛機的設計問題，讓學生了解求解大規模線性方程組的時間消耗是驚人的，從而自然地引出分塊矩陣和矩陣分解的使用效果，可以節約大量的時間成本;這種實例直接來源于現代科學技術應用，凸顯了代數學與高新技術學科之間的關聯，能有效激發學生的科學情懷和學習動機。通過在教學中引入應用性案例，不僅有助于鍛煉學生的抽象思維能力，熟練掌握代數方法;而且可以有效培養學生的數學建模能力，提高學生解決實際問題的能力。

2.3 教材的選擇

基于上述要求，我們選擇了美國線性代數課程現代化領導人、世界頂尖教育家戴維·C.雷（David C.Lay）教授主編的《線性代數及其應用》（原書第5版，中譯本[10]）作為教材（以下簡稱“教材”）。教材正文有8章，分別是線性方程組、矩陣代數、行列式、向量空間、特征值與特征向量、正交性和最小二乘法、對稱矩陣和二次型、向量空間的幾何學。結合教學內容優化要求，需要補充空間解析幾何、范數、矩陣微積分3個教學章節。教材的前7章涵蓋了n上的線性代數概念和內容，并拓展至部分矩陣分析的內容（如LU分解、奇異值分解等）。在第8章向量空間的幾何學授課前需講授空間解析幾何知識。這兩章關于幾何學知識的教學，一方面可將代數對象幾何直觀化，使學生深入理解幾何意義，例如二次型與二次曲線的對應關系;另一方面則可為后續機器學習等課程鋪墊，例如超平面在支持向量機算法中的使用。范數章節的教學是為數據科學中常用的各種距離概念提供了統一的數學工具范式的衡量。最后矩陣微積分知識點的介紹則是為最優化理論、機器學習等課程提供數學工具以及夯實數學基礎知識。

教材廣泛選取了線性代數在工程學、計算機科學、物理學、生物學、經濟學和統計學等眾多領域的應用問題[10]，很好地體現了線性代數教學改革的世界潮流和方向，一直是國內高等代數和線性代數現行教材改革借鑒的范本[11，12]，也被國內部分高校試行課程教學改革時選用[13]。教材的一大特色是處處滲透數據科學和智能計算思維。最小二乘法、線性回歸模型、主成分分析方法的應用性案例極大拓展了學生使用代數方法實現數據分析的思路;教材中出現的算法總結體現出現代計算機科學算法思想，同時也會涉及算法比較和優化，這些都和智能計算思維密切相關。

3 結論

高等代數課程教學改革關系到大數據專業人才培養質量高低的基礎環節，應該依照“新工科”建設要求和地方應用型本科高校實際需要，對高等代數的教學內容、教學方法和教學模式進行改革。雖然限于篇幅，本文未對具體的教學模式和教學方法改革進行進一步闡述，但是線上線下混合式、分層教學模式以及結合Python/R開源軟件進行數學實驗的理論+實踐教學方法已使得絕大部分學生對高等代數課程感興趣、喜愛，學習積極性高漲，起到了教學相長的目的;最終為大數據專業學生發現自我、發展自我和實現自我奠定了堅實的數學基礎。

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基金項目：教育部協同育人項目（201901051023）;湖州師范學院教育教學改革研究項目成果，編號JGJX1926;湖州師范學院校級科研項目成果，編號2018XJKJ49

*通訊作者：宋濤，博士，講師，研究方向：交通科學和交通大數據分析。