基于非線性壓縮估計(jì)的投資組合優(yōu)化模型在A股市場(chǎng)的實(shí)證

田楚杰 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院

當(dāng)前我們所熟知的投資組合理論是以Markowitz證券組合理論為基礎(chǔ)，該理論的主要方法是建立了投資組合的二次規(guī)劃模型，同時(shí)利用效用函數(shù)理論提供了使用無(wú)差異曲線在投資組合有效集上選擇最佳投資組合的方法。Markowitz投資組合的選取在實(shí)踐中的關(guān)鍵之處在于需要估測(cè)期望收益向量以及收益率的協(xié)方差矩陣。

Merton（1980）指出，資產(chǎn)收益率均值的估計(jì)誤差對(duì)投資組合最優(yōu)權(quán)重有著更大的影響，現(xiàn)在大多研究多采用最小方差投資組合模型，其只需要估計(jì)出資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣。估計(jì)協(xié)方差矩陣的一種重要思路是使用壓縮估計(jì)量，Ledoit和Wolf（2013，2014，2017b）分別提出了協(xié)方差矩陣的線性壓縮估計(jì)量和非線性壓縮估計(jì)量，本質(zhì)是將樣本協(xié)方差矩陣的特征值進(jìn)行壓縮。Ledoit and Wolf（2017b）發(fā)現(xiàn)非線性壓縮估計(jì)量在美股市場(chǎng)的投資組合優(yōu)化中取得了極佳的樣本外表現(xiàn)，本文主要是檢驗(yàn)該方法在中國(guó)A股市場(chǎng)的表現(xiàn)。

一、模型

（一）全局最小方差投資組合模型

最小方差投資組合模型由于只需要估計(jì)資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣，且相對(duì)于均值-方差模型有著較好的表現(xiàn)，逐漸引起了許多學(xué)者的興趣。最小方差投資組合模型由優(yōu)化（1）給出：

（二）協(xié)方差矩陣的壓縮估計(jì)法

壓縮估計(jì)是一種非常重要且有效的協(xié)方差矩陣的估計(jì)方法，尤其是對(duì)高維協(xié)方差矩陣而言。Ledoit and Wolf（2004b）提出了以單位矩陣作為目標(biāo)矩陣進(jìn)行壓縮。具體來(lái)說(shuō)，線性壓縮估計(jì)量是尋找最優(yōu)的ρ1、ρ2，使得二次損失函數(shù)的期望最小，即：

該優(yōu)化問(wèn)題也可以求出顯式解：

由于總體協(xié)方差矩陣∑并無(wú)法得知，所以Ledoit and Wolf（2004b）給出了一致估計(jì)量對(duì)上式的壓縮權(quán)重進(jìn)行估計(jì)。

線性壓縮估計(jì)量對(duì)樣本的所有特征值基于相同的壓縮密度，但是當(dāng)高階效應(yīng)比較明顯時(shí)，該方法并不能有效地改善樣本協(xié)方差矩陣的誤差。所以Ledoit and Wolf（2017b）提出了非線性壓縮估計(jì)法來(lái)估計(jì)協(xié)方差矩陣，對(duì)樣本協(xié)方差矩陣的不同特征值賦予不同的壓縮密度，從而實(shí)現(xiàn)樣本協(xié)方差矩陣的非線性壓縮。

Ledoit and Wolf（2011，2012，2014a，2014b）證明了協(xié)方差矩陣的 Oracle 估計(jì)量：

綜合來(lái)說(shuō)，壓縮估計(jì)法從線性壓縮發(fā)展到非線性壓縮，其對(duì)樣本協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差有更強(qiáng)的調(diào)整。不同于線性壓縮估計(jì)對(duì)壓縮密度的等同設(shè)定，非線性壓縮估計(jì)賦予不同特征值不同的壓縮密度，在高階效應(yīng)更為明顯的時(shí)候表現(xiàn)地更優(yōu)秀。

二、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)

本文的數(shù)據(jù)來(lái)源于CSMAR數(shù)據(jù)庫(kù)，包含了 2013 年 1 月 1 日到 2017 年 12 月 31日之間，滬深300的成分股的日收益率數(shù)據(jù)。

表1 滬深300部分股票的樣本外表現(xiàn)

為了簡(jiǎn)化計(jì)算且不失去一般性，我們假定：一個(gè)交易月由21個(gè)連續(xù)交易日組成；且每個(gè)月的月初，我們會(huì)基于前250個(gè)交易日的日收益率數(shù)據(jù)對(duì)下一交易月的持倉(cāng)進(jìn)行更新；樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間為2014年1月1日到2017年12月31日，共48個(gè)交易月，即進(jìn)行了48次投資組合的構(gòu)建與更新。

此外，為了研究高維效應(yīng)，我們的組合的大小分別設(shè)定為30、60、90、200，即從滬深300成分股分別選擇30、60、90、200只股票進(jìn)行投資。我們?cè)诮Y(jié)果中分別報(bào)告了投資組合的年化收益率（AV）、波動(dòng)率（SD）以及夏普比率（SR）。

（二）構(gòu)建最小方差投資組合

根據(jù)優(yōu)化（1）可以計(jì)算出每一個(gè)交易月的持倉(cāng)，我們將比較四種不同的投資組合在該樣本下的表現(xiàn)：

（1）EW：等權(quán)重投資組合。組合中的每個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重相同。

（2）SP：以樣本協(xié)方差矩陣作為總體協(xié)方差矩陣的估計(jì)量。

（3）LS：以線性壓縮估計(jì)量作為總體協(xié)方差矩陣的估計(jì)量。

（4）NLS：以非線性壓縮估計(jì)量作為總體協(xié)方差矩陣的估計(jì)量。

表1給出了利用滬深300中的30、60、90、200只股票構(gòu)造的全局最小方差投資組合對(duì)應(yīng)的年化波動(dòng)率。根據(jù)表1的結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較小的時(shí)候，四種投資組合的表現(xiàn)較為接近。當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量增大時(shí)，使用樣本協(xié)方差矩陣作為總體協(xié)方差矩陣的估計(jì)量會(huì)變得極其不穩(wěn)定，所產(chǎn)生的投資組合的樣本外表現(xiàn)也會(huì)變得極差。

（2）當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較小時(shí)，線性壓縮估計(jì)量和非線性壓縮估計(jì)量所產(chǎn)生的最小方差投資組合的樣本外表現(xiàn)相仿。但是當(dāng)資產(chǎn)數(shù)量較大的時(shí)候，使用非線性壓縮估計(jì)法所產(chǎn)生的最小方差投資組合將會(huì)在波動(dòng)率以及夏普率方面表現(xiàn)的顯著地更好。

三、結(jié)語(yǔ)

本文將協(xié)方差矩陣的非線性壓縮估計(jì)法應(yīng)用到最小方差投資組合模型中，并在中國(guó)A股市場(chǎng)檢驗(yàn)其樣本外的表現(xiàn)。本文使用了2014年1月1日到2017年12月31日之間滬深300的成分股的日收益率數(shù)據(jù)，并采用滾動(dòng)窗口法進(jìn)行樣本外的表現(xiàn)的評(píng)估。我們發(fā)現(xiàn)，在資產(chǎn)數(shù)目較少的時(shí)候，采用等權(quán)重投資組合，或者樣本協(xié)方差矩陣、非線性壓縮估計(jì)量所產(chǎn)生的最小方差投資組合在樣本外的表現(xiàn)差別并不是很大。但是當(dāng)高維效應(yīng)（即資產(chǎn)數(shù)目與估計(jì)協(xié)方差矩陣所用的時(shí)間維度的比值）更加明顯時(shí)，采用非線性壓縮估計(jì)量所得到的最小方差投資組合在收益率、波動(dòng)率以及夏普比率等方面都優(yōu)于其他方法所產(chǎn)生的投資組合，這說(shuō)明非線性壓縮估計(jì)方法應(yīng)用于最小方差投資組合在中國(guó)A股市場(chǎng)也有著重要的意義。