基于Bézier曲線的碰撞角約束多項式制導(dǎo)方法

成忠濤 李聚峰 彭高祥 劉磊 王永驥

摘 要：研究了一種基于Bézier曲線的碰撞角約束的制導(dǎo)律。通過模型轉(zhuǎn)化將制導(dǎo)指令設(shè)計的問題轉(zhuǎn)化為二次Bézier曲線形式的航跡角設(shè)計問題。首先，利用Bézier曲線的性質(zhì)設(shè)計了導(dǎo)彈速度大小不變的制導(dǎo)律;然后進一步對導(dǎo)彈速度時變的末端角度約束的制導(dǎo)律進行了研究，同時對導(dǎo)彈速度時變情形下的剩余飛行時間進行了估計;最后通過不同情況下的數(shù)值仿真，驗證了所提出的制導(dǎo)律的有效性。

關(guān)鍵詞：Bézier曲線;航跡角;碰撞角;制導(dǎo)律;剩余飛行時間

中圖分類號：TJ765.3 ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A

飛行器制導(dǎo)律的設(shè)計一直是近幾十年來研究的熱點話題。隨著導(dǎo)彈任務(wù)的多樣化和作戰(zhàn)場景的復(fù)雜化，對制導(dǎo)律提出了新的要求，如視場約束、碰撞時間控制和碰撞角控制[1-3]。其中，特定的碰撞角具有重要意義，第一，碰撞角控制制導(dǎo)律（IACG）可以引導(dǎo)導(dǎo)彈到達目標(biāo)的最薄弱點;第二，特定任務(wù)的特定碰撞角度可以使殺傷能力最大化;最后，IACG可以引導(dǎo)導(dǎo)彈繞過防御系統(tǒng)。

IACG的最早研究可以追溯到1973年，Kim將其應(yīng)用于再入飛行器[4]。他通過應(yīng)用最優(yōu)控制理論解決了碰撞角控制問題。Ryoo等針對不同的導(dǎo)彈動力學(xué)特性，提出了一種狀態(tài)反饋形式的廣義最優(yōu)制導(dǎo)律[5]。進一步在一種新的飛行時間估計方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的等速導(dǎo)彈最優(yōu)碰撞角控制制導(dǎo)律[6]。文獻[7]提出了一種新的線性最優(yōu)IACG，與傳統(tǒng)的框架不同，線性化不是在初始視線角附近進行的，而是在標(biāo)稱圓軌跡附近進行的。

Lyapunov穩(wěn)定性和滑模控制等非線性控制理論，也被應(yīng)用到IACG的設(shè)計中。文獻[8]在Lyapunov候選函數(shù)中增加了一個碰撞角誤差項，使之以特定的角度擊中目標(biāo)。文獻[9]提出了一種基于減小航向誤差角的Lyapunov候選函數(shù)的新型制導(dǎo)律，采用一種兩級IACG來全方位命中目標(biāo)。然而，在理論上，對于基于Lyapunov的制導(dǎo)律，只有當(dāng)時間接近無限時，狀態(tài)才會收斂到零。因此，其他一些研究涉及有限時間收斂IACG。文獻[10]從滑模控制理論出發(fā)，提出了一種保證視線角在有限時間內(nèi)收斂的IACG。文獻[11]提出了一種非奇異終端滑模控制（NTSMC）的有限時間內(nèi)收斂IACG，所得到的制導(dǎo)律能夠以期望碰撞角命中目標(biāo)。文獻[12]得到了另一種有限時間收斂的制導(dǎo)律，這種制導(dǎo)律是由傳統(tǒng)的NTSMC和二階滑模控制相結(jié)合得到的。

除上述方法外，還采用幾何和多項式方法推導(dǎo)了IACG。文獻[13]首次提出了多項式制導(dǎo)的方法。之后，文獻[14]提出了一種具有碰撞角和加速度約束的增廣多項式制導(dǎo)律，制導(dǎo)指令以多項式函數(shù)形式給出，系數(shù)對應(yīng)于碰撞角和加速度的約束。為了控制撞擊時間和碰撞角，文獻[15]提出了作為射程的函數(shù)的制導(dǎo)指令。文獻[16]最新研究了涉及幾何和多項式方法的自適應(yīng)制導(dǎo)律。

上述對IACG的研究大多是基于等速假設(shè)。事實上，導(dǎo)彈的速度會受到推力、空氣阻力及任務(wù)的進展而發(fā)生變化。因此，本研究將在導(dǎo)彈變速的情況下解決碰撞角控制問題。首先，通過問題描述將制導(dǎo)指令設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為航跡角的設(shè)計問題。然后，利用二次Bézier曲線擬合航跡角。最后，通過控制點的不同選擇來實現(xiàn)碰撞角的控制。本研究在提出勻速導(dǎo)彈制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上，進一步提出了變速導(dǎo)彈的制導(dǎo)律，并對其剩余飛行時間進行了估計。

1 問題描述

3 數(shù)值仿真分析

本節(jié)中，將通過數(shù)值仿真來驗證所提策略的有效性。在每種情況下，仿真步長均設(shè)為0.01 s。當(dāng)相對速度符號變?yōu)檎蛳鄬ψ饔镁嚯x小于0.01 m時，仿真終止。導(dǎo)彈的初始位置為（0，0），目標(biāo)位置為（8000 m，0）。初始航跡角為30°。導(dǎo)彈初始速度為270 m/s，最大加速度為15 g，減速率為0.005。通過三個算例的仿真驗證所提策略的有效性。

算例1 勻速導(dǎo)彈在相同初始條件下產(chǎn)生不同碰撞角

在此情況下，假設(shè)導(dǎo)彈的速度是恒定的，導(dǎo)彈期望碰撞角范圍是-90°到0。從期望范圍中選擇四個典型的期望碰撞角。仿真結(jié)果如圖2所示。

在圖2中，實線和另外三種虛線分別代表不同的碰撞角。由圖2d可知，所提出的制導(dǎo)律可以實現(xiàn)每個期望碰撞角。圖2a為導(dǎo)彈軌跡，圖2b為橫向加速度，由圖可知符合預(yù)定的加速度約束。圖2c中，航向誤差在終端時刻減小到零，保證了目標(biāo)的脫靶量為零。仿真結(jié)果驗證了所提制導(dǎo)律在勻速情況下是有效的。

算例2 勻速情況下不同的初始航跡角產(chǎn)生相同的碰撞角

該算例為證明在所提出的制導(dǎo)律下，不同的初始航跡角可以獲得相同的碰撞角。給出三種不同的初始航跡角，分別為30°、60°和90°。仿真結(jié)果如圖3所示。

在圖3中，實線和另外兩種虛線分別代表不同的航跡角。圖3a為導(dǎo)彈軌跡，圖3b為橫向加速度，可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈的初始航跡角較大時，在初始時刻會產(chǎn)生較大的加速度指令。由圖3c可知，所有航向角誤差均減小到零。從圖3d可知，導(dǎo)彈的初始航跡角不同，可以獲得相同的期望碰撞角。因此，仿真結(jié)果驗證了所提制導(dǎo)律在勻速情況下是有效的。

算例3 變速情況下的不同碰撞角問題

在此情況下，導(dǎo)彈速度不再被假定為常數(shù)。導(dǎo)彈的期望撞擊角范圍為-90°到90°。選擇四個典型的期望碰撞角進行仿真，結(jié)果如圖4所示。

在圖4中，實線和另外三種虛線分別代表不同的碰撞角。由圖4d可知，所提出的制導(dǎo)律可以實現(xiàn)每個期望碰撞角。圖4b為橫向加速度，由圖可知其符合預(yù)定的加速度約束。由圖4c可知，航向誤差在終端時刻減小到零，保證了目標(biāo)的脫靶量為零。因此，仿真結(jié)果驗證了該制導(dǎo)律在變速度情況下是有效的。

4 結(jié) 論

提出了一種速度不變的碰撞角約束制導(dǎo)律，并進一步提出了速度時變的碰撞角約束制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律是一條控制點待定的Bézier曲線形式的航跡角曲線。所提出的函數(shù)同時滿足航跡角的初始條件和終止條件，并通過求解積分方程確定了未知系數(shù)，同時對提出速度時變制導(dǎo)律的剩余飛行時間進行了估計。通過不同的數(shù)值仿真，驗證了所提出的制導(dǎo)律的有效性。在今后的工作中，制導(dǎo)律的設(shè)計還應(yīng)考慮切向加速度的影響。

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