基本廣義隨機數據包絡分析方法

馬生昀，馬占新，張 軍，喬劍敏

（1.內蒙古農業大學 理學院，內蒙古 呼和浩特 010018；2.內蒙古大學 經濟管理學院，內蒙古 呼和浩特 010021）

0 引言

數據包絡分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是一種用于績效評價的數據驅動工具［1～4］。依據評價參考系的不同將DEA方法可以分為傳統DEA方法［1～3］、超效率DEA方法［5］和廣義DEA方法［6］。評價某個決策單元的相對效率時，傳統DEA方法的參考系為決策單元集，超效率DEA方法的參考系為決策單元集中剔除被評價決策單元，廣義DEA方法的參考系為任意給出的參考系（稱為樣本單元集）。同時，超效率DEA方法評價不同決策單元的參考系不同，廣義DEA方法評價不同決策單元的參考系相同。傳統DEA方法相當于決策單元集作為樣本單元的廣義DEA方法。

C2R模型［1］和BC2模型［7］是最基本的傳統DEA模型，基于C2R模型和BC2模型的廣義DEA模型是最基本的廣義DEA模型［8，9］。經過多年的發展，傳統和廣義DEA方法的理論和應用研究都取得了豐碩的成果［10，11］。其中帶有隨機因素的傳統DEA方法也有了一定的研究［12～16］，文［17］初步研究了樣本單元為隨機變量，決策單元確定的基于C2R和BC2模型的基本廣義隨機DEA方法。

本文繼續討論決策單元和樣本單元均為隨機變量的基本廣義DEA方法。在第1節和第2節中，分別基于期望值模型和機會約束規劃把含有隨機樣本單元和隨機決策單元的廣義DEA有效性評價模型轉化成確定性模型進行求解。一般情況下，利用統計學方法可能無法得到隨機樣本單元和隨機決策單元的輸入輸出指標服從的具體分布；或者即使得到了每個輸入輸出指標的具體分布，但是評價模型中相應指標加權和服從的分布無法獲得。相對來說，利用統計學方法容易獲得各輸入輸出指標數學期望的估計值，所以在實際問題中基于期望值模型對隨機決策單元相對于隨機樣本單元進行廣義DEA有效性評價更容易實現。如果能夠得到每個輸入輸出指標的具體分布并計算獲得相應指標加權和服從的分布，那么可以利用機會約束規劃對決策單元進行廣義隨機DEA有效性評價，能夠體現隨機變量取值的波動情況（方差）對有效性的影響。一般情況下，加權和分布不易獲得，本文對此只做了初步討論，考慮了樣本單元和決策單元的輸入指標間相互獨立，輸出指標間相互獨立并且服從正態分布的特例。由于輸入輸出指標是隨機的，在可以求得加權和分布的前提下基于機會約束規劃的評價方法更加全面。基于兩種不同的方法進行確定性轉化，主要區別在于能否體現方差的影響，進而分別獲得的評價結果可能存在差異。

1 基于期望值模型的基本廣義隨機DEA方法

假設有n個決策單元（Decision Making Unit，DMU）和個樣本單元（Sample Unit，SU）。DMUP和SUj的輸入輸出向量分別為

各分量均為隨機變量。數學期望分別為

稱TDMU＝｛（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）｝為決策單元集。

記T（1）＝T，ET（1）＝ET，稱T為樣本生產可能集，ET為期望樣本生產可能集。

相對于ET（d）評價決策單元（xp，yp）的基于期望值模型的基本廣義隨機DEA模型（M1″）如下。

其中δ＝0或1，d稱為移動因子，d＞0。

定義1如果不存在（x，y）∈ET（d），使得E（xp）≧x，E（yp）≦y，并且E（xp）≠x或E（yp）≠y，則稱決策單元（xp，yp）相對于期望樣本前沿面的d移動有效或廣義期望DEAd有效，簡稱GEDEAd有效。反之，稱決策單元（xp，yp）為GEDEAd無效。

當d＝1時，GEDEA1有效可以記為GEDEA有效，即（xp，yp）相對于期望樣本前沿面有效。

其中δ＝0或1，d稱為移動因子，d＞0。

定義2若模型的任意最優解j＝0，1，2，…都有θ0＝1，并且則稱決策單元（xp，yp）為GEDEAd有效。反之，稱決策單元（xp，yp）為GEDEAd無效。

由文獻［17］中的引理2.3和引理2.4類似可得定理1和定理2。

定理1決策單元（xp，yp）為GEDEAd有效當且僅當（E（xp），E（yp））?ET（d）或（E（xp），E（yp））為多目標規劃（ESVP）的Pareto有效解。

定理2決策單元（xp，yp）為GEDEAd有效當（E（xp），E（yp））且僅當為多目標規劃（EVP）的Pareto有效解。

步1給定步長d+＞0。令k＝1。

步2應用（）計算DMUa和DMUb的有效性。若DMUa和DMUb中一個為如下。

步3若DMUa和DMUb均為有效，執行步4；若二者均為無效，執行步5。

步4令k＝k+1，執行步2。

步5給定步長d+＝d+-d0＞0，其中d0＞0，執行步2。

步6若DMUa為有效，DMUb為無效，則DMUa?DMUb；反之，DMUb?DMUa。停止。

2 基于機會約束規劃的基本廣義隨機DEA方法

利用機會約束規劃進行評價可以體現方差（離散程度）對于DEA有效性的影響。假設模型中含隨機因素的約束條件滿足置信水平1-α，評價決策單元（xp，yp）的基于機會約束規劃的基本廣義隨機DEA模型（）如下。

其中δ＝0或1，d稱為移動因子，d＞0，0≦α≦1。

定理3若θ*為模型的最優值，則θ*＝minθ≦1。

證明顯然是模型的可行解，所以minθ≦θ0＝1。

令Xi（α），Yk（α）分別表示Xi，Yk的上α分位點，即P｛Xi≧Xi（α）｝＝α，P｛Yk≧Yk（α）｝＝α，i＝1，2，…，m，k＝1，2，…，s。

定義3如果模型的任意最優解＝0，1，2，…，都有i＝1，2，…，m，k＝1，2，…，s，則稱決策單元（xp，yp）相對于機會約束樣本前沿面的d移動為1-α有效或廣義機會約束DEAd有效，記作1-αGCDEAd有效。否則，稱決策單元（xp，yp）為1-αGCDEAd無效。

考慮一種特殊情形，假設兩種單元的輸入之間獨立，兩種單元的輸出之間獨立，并且所有輸入輸出指標均服從正態分布。假設，其中i＝1，2，…，m，k＝1，2，…，s，p＝1，2，…，n，j＝1，2，…

對任意i＝1，2，…，m，因為xip（θ-λ0）-，所以1-α等價于

當兩種單元的輸入之間獨立，兩種單元的輸出之間獨立，并且所有輸入輸出指標均服從正態分布，模型等價于模型

當兩種單元的輸入之間獨立，兩種單元的輸出之間獨立，并且所有輸入輸出指標均服從正態分布時，與評價決策單元廣義期望DEA有效性類似，可以通過（M5″）利用調整移動因子d，相對于樣本單元對各決策單元的廣義機會約束DEA有效性進行排序。

3 算例

假設有5個樣本單元和4個決策單元，均為雙輸入雙輸出，兩種單元的輸入之間獨立，兩種單元的輸出之間獨立，具體指標數據在表1和表2中給出。

表1 樣本單元輸入輸出指標的分布

表2 決策單元輸入輸出指標的分布

表3 GEDEA有效性與GCDEA有效性

由表3可知，DMU2為GEDEA1無效，DMU1，DMU3，DMU4均為GEDE A1有效。GEDEA1有效決策單元可以依據期望樣本前沿面的d移動進一步區分。令步長d+＝0.1。當d′＝1.1時，DMU1和DMU3均為GEDEA1.1有效，DMU4為GEDEA1.1無效。當＝1.2時，DMU1和DMU3均為GEDEA1.2有效。當＝1.3時，DMU1為GEDEA1.3有效，DMU3為GEDEA1.3無效。綜上，4個決策單元的GEDEA有效性排序為DMU1?DMU3?DMU4?DMU2。

從表3同樣可知，DMU1和DMU3為0.95GCD EA1有效，DMU2與DMU4為0.95GCDEA1無效。基于機會約束樣本前沿面的d移動可以對決策單元的有效性進一步區分。令步長d+＝0.1。對0.95GCDEA1有效決策單元，當d′＝1.1時，DMU1為0.95GCDEA1.1無效，DMU3為0.95GCDEA1.1有效。所以二者的有效性排序為DMU3?DMU1。對0.95GCDEA1無效決策單元，當d1＝1-d+＝0.9時，DMU4為0.95GCDEA0.9有效，DMU2為0.95 GCDEA0.9無效，所以二者的有效性排序為DMU4?DMU2。綜上，4個決策單元的GCDEA有效性排序為DMU3?DMU1?DMU4?DMU2。

通過算例看到，基于期望值模型和機會約束規劃對廣義隨機DEA有效性進行確定性轉化得到的評價結果可能不盡相同。對單個決策單元進行評價，比如DMU4為GEDEA1有效，但非0.95GCDEA1有效。從4個決策單元利用移動因子排序看，DMU1和DMU3的兩種廣義隨機DEA有效性排序結果不同。這說明樣本單元和決策單元的輸入輸出指標的隨機性會對決策單元的有效性產生影響，基于期望值模型不能體現方差的影響，基于機會約束規劃可以體現方差的影響。

4 結束語

本文初步討論了兩種單元均隨機的基本廣義DEA方法，給出了基于期望值和機會約束評價的基本廣義隨機DEA模型，GEDEA有效和GCDEA有效的概念，GEDEA有效與相應對目標規劃Pareto有效的關系以及利用期望樣本前沿面和機會約束樣本前沿面d移動的決策單元有效性排序方法。