低碳經濟下三級供應鏈動態減排的微分博弈分析

姜 躍，韓水華，趙 洋

(1.福建工程學院 管理學院，福建 福州 350118; 2.廈門大學 管理學院,福建 廈門 361005)3.山東工商學院 工商管理學院 山東 煙臺264005)

0 引言

隨著能源過度消耗，氣候異常以及環境污染等問題日益突出，世界各國開始倡導低碳經濟。低碳經濟是世界經濟發展的大勢所趨，今后的競爭不是傳統勞動力的競爭，也不是石油效率的競爭，而是碳生產率的競爭[1]。我國十三五規劃提出未來五年，單位GDP能耗下降15%，單位二氧化碳排放量下降18%，并將碳排放強度削減列入“十三五”規劃約束性目標，可見發展低碳經濟已成為我國的重要國策[2]。

產品的碳排放量不僅受生產企業所采用的生產技術的影響，供應商所提供的原材料的情況以及零售商針對低碳產品的促銷都會影響最終產品的碳排放量，所以產品減排需要供應鏈上下游企業的共同合作[3]。越來越多的品牌制造商開始甄選能夠積極進行節能減排的品牌供應商，或者推動品牌供應商進行節能減排。對供應商在環保、碳減排和社會責任方面進行審核，是眾多品牌供應商為保障供應鏈的低碳水平所采取的策略。在企業的供應鏈管理中，除了關注上游供應商的原材料的碳排放情況，下游零售商針對低碳產品開展的促銷活動有利于提高低碳產品的銷量及市場認可度[4]。因此產品減排不能僅依靠制造商，還需要供應商和零售商的緊密合作[5]。

在供應鏈減排方面，Benjaafar將碳排放融入到供應鏈決策中，并分析了碳排放對供應鏈決策的影響[6]。趙道致[7]和Du[8]進一步研究了外部碳排放政策對供應鏈上下游企業決策的影響。在此基礎上姜躍研究了在碳稅政策下，供應商參與和零售商減排成本分擔是如何影響企業的減排決策的，同時分析了相關參數對企業決策的影響[9,10]。另外還有一些學者主要關注碳排放約束下的供應鏈協調與合作問題，曹細玉主要研究了在碳減排補貼與碳稅政策下，供應鏈上下游企業如何協調才能同時現在經濟和環境最優，研究結果表明供應鏈的減排量與減排技術投入正相關，碳稅與減排補貼負相關[11]。Jaber在此基礎上研究了另外一種碳排放政策，即碳排放交易政策下供應鏈應該如何進行協調與合作[12]。

另外，在實踐中，減排投資需要一定的時間才能取得降低碳排放的效果，具有滯后效應，企業今天的減排投資會影響到明天產品的碳排放情況，今年的減排投資會影響到明年產品的碳排放情況，同時企業對減排進行的投資也是持續的，這就說明了企業的減排行為是動態的，研究供應鏈動態減排問題更符合實際情況。趙道致把減排的動態性融入到供應鏈減排博弈中，以供應商和制造商組成的供應鏈作為研究對象，使用微分博弈的方法分析得出了產品碳排放量是如何隨時間的變化而變化的[13]。在此基礎上趙道致又研究了零售商針對低碳產品進行宣傳對產品動態減排量的影響[14]。還有其他部分學者在動態減排問題上也做了一些研究[15,16]。

綜上，從動態角度，將微分博弈運用到供應鏈減排中的研究相對較少，并且多數是以兩級供應鏈作為研究對象，因此本文主要以供應商、制造商和零售商組成的三級供應鏈作為研究對象，主要分析低碳經濟背景下三級供應鏈的動態減排問題，對比分析在協同狀態和非協同狀態下分析得出產品的減排量運動軌跡，同時還得到供應商、制造商和零售商的最優決策及利潤。最后，使用算例分析的方法分析了各參數對產品減排量的影響。

1 問題描述與模型假設

1.1 問題描述

本文以三級供應鏈作為研究對象，研究由供應商、制造商和零售商組成的三級供應鏈的動態減排問題。隨著低碳意識的不斷深入，部分消費者需求受產品的碳排放情況的影響，而最終產品的碳排放情況不僅受制造商減排的影響，同時供應商所提供原材料的低碳化程度也會影響最終產品的碳排放，因此，為了鼓勵供應商參與減排，制造商會分擔供應商部分減排成本。同時，低碳產品的市場需求還會受到下游零售商對低碳產品的宣傳力度的影響，因此為了鼓勵零售商加大低碳產品的宣傳促銷力度，制造商會分擔零售商部分關于低碳產品宣傳促銷的成本。圖1表示供應鏈減排決策過程。

圖1 供應鏈決策過程圖

在該供應鏈動態減排過程中，制造商為領導者，主要負責最終產品的減排工作，供應商和零售商為跟隨者，分別負責原材料減排和低碳產品宣傳與促銷。決策時，制造商首先確定產品減排量、供應商減排成本和零售商低碳產品促銷成本的分擔比例，然后供應商和零售商分別確定減排努力程度和低碳產品宣傳與促銷的努力程度。

πS,πM,πR表示供應商、制造商和零售商生產和銷售單位產品所獲的利潤；ES(t)EM(t)和表示供應商和制造商在t時刻的減排努力程度；ER(t)表示零售商在t時刻針對低碳產品的宣傳與促銷的努力程度；θ(t)和σ(t)分別表示在t時刻制造商分擔的供應商減排成本比例和分擔的零售商低碳產品宣傳促銷成本比例；x(t)表示t時刻產品的減排量。

1.2 模型假設

本文假設條件如下：

(1)

(2)

(3)

(3)最終產品的減排量取決于供應商和制造商的減排努力程度，假設βS表示供應商減排努力對產品減排量的影響系數，βM表示制造商減排努力對產品減排量的影響系數，λ表示供應鏈產品減排量的自然衰退率，則產品減排量變化過程的微分方程:

(4)

同時在初始時刻，供應鏈產品的減排量x(0)=x0≥0。

(4)假設產品的市場需求取決于碳減排總量和零售商低碳宣傳的努力程度的線性組合，即:

D(x(t),ER(t))=μ+ηx(t)+δER(t)

(5)

其中μ>0為不進行減排和低碳宣傳時產品的潛在需求；η>0，δ>0分別表示產品減排量和零售商低碳宣傳對市場需求的影響系數。

(5)為了鼓勵供應商減排和零售商宣傳促銷低碳產品，制造商會分擔一部分供應商減排成本和零售商的促銷成本，即θ(t)<1和δ(t)<1。

(6)假設供應商、制造商和零售商的貼現率均為ρ(ρ>0)，目標函數均為無限時間下的利潤最大化。

(7)假設相關參數的取值符合分散決策和集中決策存在最優解的基本條件

2 模型構建及求解

2.1 非協同控制的分散決策

在非協同狀態下的供應鏈動態減排過程中，制造商為領導者，主要負責最終產品的減排工作，供應商和零售商為跟隨者，分別負責原材料減排和低碳產品宣傳與促銷，供應商、制造商和零售商的決策目標都是自身利潤的最大化，制造商首先確定產品減排量、供應商減排成本和零售商低碳產品促銷成本的分擔比例，然后供應商和零售商分別確定減排努力程度和低碳產品宣傳與促銷的努力程度。根據上文假設，供應商、制造商和零售商貼現因子均為ρ，決策目標為各自利潤在無限時區的最大化，即:

(6)

(7)

(8)

根據逆向歸納法，首先求供應商和零售商的最優決策，然后制造商根據供應商和零售商的最優決策確定自己的減排努力程度，以及分擔的供應商減排成本和零售商低碳產品促銷成本比例。

根據最優控制的解法，在t時刻，供應商的利潤最優化問題為:

(9)

則t時刻供應商的最優減排量問題轉化為：

(10)

滿足的如下HJB方程:

(11)

易知ρVS(x)ES″<0，所以存在關于ES的最大值，且最大值在偏導數等于0處取得，通過對HJB方程的右端求偏導數，可以得到：

(12)

公式(12)表示供應商的反應函數，分析公式(12)可以得出如下結論。

結論1供應商的減排努力程度與制造商所分擔的減排成本系數正相關，與自身的減排難度系數負相關。

結論1說明了制造商可以通過增加減排成本分擔系數來提高供應商減排的積極性，進而提升供應商減排努力程度，降低原材料的碳排放量，同時供應商減排難度越大，供應商的減排成本就越高，因此供應商的減排努力程度就越低。

在t時刻，零售商的利潤最優化問題為:

(13)

t時刻零售商最優低碳產品促銷問題轉化為:

(14)

滿足的如下HJB方程:

(15)

易知ρVR(x)ER″，所以存在關于ER的最大值，且最大值在偏導數等于0處取得，通過對HJB方程的右端求偏導數，可以得到:

(16)

公式(16)表示零售商的反應函數，分析公式(16)可以得出如下結論。

結論2零售商低碳產品促銷努力程度與其單位產品利潤正相關，與零售商促銷成本系數負相關，與制造商能夠幫助零售商分擔的低碳產品促銷成本正相關。

結論2說明了制造商可以通過增加減排成本分擔系數來提高制造商針對低碳產品促銷的積極性，提高促銷努力程度，進而提高低碳產品銷量，同時零售商銷售單位產品利潤越高，零售商就越希望能夠提高產品的銷量，因而促銷努力程度就越高，另一方面零售商促銷的成本系數越大，零售商的促銷成本就越高，因此零售商的促銷努力程度就越低。

在t時刻，制造商的最優決策問題為:

(17)

則原問題可以轉化為：

(18)

根據HJB方程可知：

(19)

上式(19)分別對EM，θ和σ求偏導數，并令偏導數等于0，可以得到(EM,θ,σ)如下:

(20)

將公式(20)入到(11)(15)和(19)中，并進行整理，可得：

(21)

(22)

(23)

根據(21)～(23)推測微分方程的特點，推測關于x的線性最優值函數是HJB方程的解，

VS(x)=a1x+b1,VR(x)

=a2x+b2,VM(x)=a3x+b3

(24)

將公式(24)代入到公式(21)-(23)中，并進行整理，把等式兩邊的同類項進行比較，并進行求解可得:

(25)

將公式(25)代入到(12)(16)和(20)中，可以得到供應商、零售商和制造商的最優策略為:

(26)

將公式(26)代入到公式(4)所表示的狀態轉移方程中，可以得到:

(27)

(28)

其中C表示常數。由于初始供應鏈產品的減排量x(t)=x(0)=x0≥0，可以求得x(t)的特解，則可以求得供應鏈產品減排量的運動曲線。

(29)

命題1在非協同狀態下，供應商、制造商和零售商組成的三級供應鏈減排決策中：

(2)供應鏈系統達到最優減排量時的各供應商、制造商和零售商的均衡策略為:

(3)供應商、制造商和零售商的最優利潤為:

命題1得出了在非協同狀態下，由供應商、制造商和零售商組成的三級供應鏈動態減排中，制造商所生產的產品的最優減排量是如何隨著時間的變化而變化的，供應商和制造商的最優減排努力程度和零售商對低碳產品進行促銷的努力程度，以及制造商分擔的供應商減排成本和零售商促銷成本最優比例。命題1表明隨著時間的變化，供應商、制造商和零售商要不斷調整其最優決策，進而產品的減排量也會由于供應商、制造商和零售商最優決策的變化而不斷變化。由命題1可得如下推論：

推論1制造商是否承擔部分供應商的減排成本需要滿足一定條件，當2βMπM>πS時，制造商才會承擔部分供應商的減排成本，否則制造商不會分擔供應商的減排費用，反而還會向供應商收取一定費用。制造商是否承擔部分零售商低碳產品促銷成本需要一定條件，當2πM>πR時，制造商才會承擔部分零售商低碳產品促銷成本，否則制造商不會分擔零售商低碳產品促銷費用，反而還會向零售商收取一定費用。

推論2隨著供應商、制造商和零售商單位產品所獲得的利潤的不斷上升，減排努力程度與低碳產品促銷努力程度不斷增強；隨著貼現率、減排量的自然衰退率以及供應商、制造商的減排成本系數和零售商的促銷成本系數的上升，減排努力程度與低碳產品促銷努力程度不斷減弱；隨著消費者對減排量的敏感度和對促銷敏感度的不斷增加，減排努力程度與低碳產品促銷努力程度不斷增強。

推論2說明了如果消費者對減排量的敏感度和對促銷敏感度較強，供應商、制造商和零售商進行減排和低碳產品促銷的積極性較高，會增加產品減排和低碳產品促銷方面的投入，進而獲得較高利潤。如果供應商和制造商的減排成本系數和零售商促銷成本系數較高，此時供應鏈減排與促銷成本相對較高，則減排和促銷的積極性就會受到一定影響，因此需要政府進行一定干預，例如政府可以對供應商和制造商減排以及零售商的促銷提供一定的補貼。

2.2 協同控制的集中決策

在協同狀態下，供應鏈集中決策，決策變量為供應鏈各企業的減排努力程度。根據假設每個企業具有相同的貼現率ρ(ρ>0)，在集中決策下，供應鏈系統以貼現率ρ進行貼現后，決策目標為供應鏈總利潤在無限時區的最大化，即:

πMD(x(t),ER(t))+πRD(x(t),ER(t))-

(30)

根據最優控制的解法，在t時刻，整條供應鏈供應商的利潤最優化問題為:

(31)

則t時刻供應鏈系統的最優減排量問題可以轉化為:

(32)

滿足如下HJB方程:

(33)

(34)

將公式(34)代入到(33)整理可得:

(35)

根據(35)推測微分方程的特點，推測關于x的線性最優值函數是HJB方程的解，設

(36)

將公式(36)代入到公式(35)中，可得

(37)

求解可得:

(38)

(39)

將公式(39)代入到(34)中，可以得到供應商、零售商和制造商的最優策略為:

(40)

將公式(40)代入到公式(4)所表示的狀態轉移方程中，可以得到

(41)

由于初始供應鏈產品的減排量x(t)=x0≥0，可以求得x(t)的特解，則可以求得供應鏈產品減排量的運動曲線:

(42)

同時把公式(42)代入到(32)和(36)中，可以得到供應鏈的最優利潤為:

(43)

由此分析可得命題2。

命題2在協同狀態下，供應商、制造商和零售商組成的三級供應鏈減排決策中：

(2)供應鏈系統達到最優減排量時的各供應商、制造商和零售商的均衡策略為:

(3)供應鏈的總利潤為:

其中，

2.3 協同狀態與非協同狀態比較分析

本節主要對比分析協同前后制造商的減排努力程度以及協同前后供應鏈系統的利潤變化情況，求得:

命題3說明，制造商在協同狀態下會比非協同狀態下在減排方面投入更多努力，并且在協同狀態下能夠實現供應鏈系統的帕累托最優，這就意味著供應鏈在協同狀態下進行決策不僅能夠提高供應鏈系統的利潤，還能夠降低產品的碳排放量，同時實現經濟與環境的最佳狀態。

3 算例分析

為了進一步分析相關參數對產品減排量變化曲線的影響，本節使用算例分析分方法來分析產品減排的變化情況。根據前文假設，以及對參數的要求，算例相關參數取值如下:kS=22;kM=18;kR=12;μ=1000;η=2;δ=3;βS=2;βM=3;λ=1;πS=4;πM=6;πR=5;ρ=0.8;x0=0。

首先，將參數代入相關命題，利用Matlab可以得出產品的減排量是如何隨著時間的變化而變化的，如圖2所示。

分析圖2可以發現，在協同狀態下產品的減排量高于非協同狀態，可見供應鏈協同決策更利于產品減排，同時還可以發現不論在協同狀態還是非協同狀態下，隨著時間的變化，產品的減排量逐步上升，但是上升的速度越來越慢，并且逐步趨于穩定，這就說明了產品的減排量如果受到外部環境的影響會發生一定程度的變化，但是隨著時間的發展，產品的減排量可以逐步返回均衡狀態。

圖2 減排量變化曲線

下面繼續分析相關參數變化對減排量的影響，由于篇幅限制，本文僅分析供應商與制造商減排努力程度對減排量影響系數βS和βM，碳排放量對市場需求的影響系數η，供應鏈產品減排量的自然衰退率λ對減排量的影響，如圖3～6所示，其它參數類似，不再贅述。

圖3 βS對減排量的影響

圖4 βM對減排量的影響

從圖3、圖4和圖5可以看出，隨著供應商與制造商減排努力程度對減排量影響系數βS和βM的不斷增大，產品的減排量逐步增加，這主要是因為供應商與制造商減排努力程度對減排量影響系數βS和βM越大，供應商和制造商為減排而付出的努力越容易實現減排目標，因而長期減排效果越顯著。隨著碳排放量對市場需求的影響系數η的增加，產品減排量逐步增加，這表明碳排放量對市場需求的影響系數η越大，消費者越傾向購買低碳產品，此時長期減排效果越顯著。

圖5 η對減排量的影響

圖6 λ對減排量的影響

圖6表示供應鏈產品減排量的自然衰退率λ對減排量的影響，從圖6可以看出，隨著λ的增加，產品減排量不斷下降。這表明當企業產品減排量的自然衰退率λ越大，企業減排成本越高，因此長期減排效果越差。

4 結論

本文考慮到碳減排的連續性，引入時間因素，從動態角度將微分博弈的方法應用到三級供應鏈的減排決策中，構建了由一個供應商、一個制造商和一個零售商組成三級供應鏈的動態減排模型，通過對比三級供應鏈在協同狀態和非協同狀態下的減排量及供應鏈系統利潤，尋找實現供應鏈實現減排量最大時各企業的最優決策模式，通過求解所構建的模型，并進行分析，可以得到以下結論：

(1)協同狀態下產品減排量及供應鏈系統利潤均高于非協同狀態，這就說明了供應鏈協同決策能夠幫助供應鏈同時實現經濟與環境最優，達到帕累托最優狀態。

(2)隨著時間的變化，產品的減排量逐步上升，但是上升的速度越來越慢，并且逐步趨于穩定，這就說明了產品的減排量如果受到外部環境的影響會發生一定程度的變化，但是隨著時間的發展，產品的減排量可以逐步返回均衡狀態。

(3)供應商與制造商減排努力程度對減排量影響系數βS和βM，以及碳排放量對市場需求的影響系數η越大，長期減排效果越顯著；企業產品減排量的自然衰退率λ越大，長期減排效果越差，本文所得結論可以為供應商、制造商和零售商的決策提供理論依據。

由于本文重在研究三級供應鏈動態減排問題，因此沒有考慮到外部環境政策對三級供應鏈動態減排及供應商、制造商和零售商最優決策的影響，因此在考慮外部環境政策時的三級供應鏈動態減排問題將是進一步研究課題。另外，在研究三級供應鏈動態減排問題時考慮多個供應商、制造商和零售商也將是未來的研究方向。