考慮等待提示策略的呼叫中心流體近似方法

于 淼，宮 俊，孔凡文

(1.沈陽建筑大學 管理學院，遼寧 沈陽 110168; 2.東北大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110819)

0 引言

隨著我國服務產業的深入發展，以呼叫中心為紐帶的客戶服務已經在各類企業運營中發揮重要作用，并且受到了越來越多企業的重視[1]。在高質量服務管理現實目標驅使下，排隊等待提示作為新的運營模式被大多數呼叫中心所應用?！拔粗牡却喈斢跓o盡的等待”，這種不可視隊列的特點極大地降低了呼叫中心過程服務的顧客滿意度[2]，而排隊等待提示正是克服了這種系統缺陷，使得呼叫中心通過語音提示的方式來改善用戶的滿意度。因此，如何充分考慮顧客行為的影響，有效地構造呼叫中心排隊系統模型，進行等待時間預測及提醒已經成為管理者與學術界關注的焦點。

目前服務系統等待提示問題研究文獻主要利用排隊分析的手段，通過準確刻畫帶顧客放棄行為的等待提示排隊系統服務流程，進行系統性能與效用的分析，從而為后續運營管理工作奠定基礎。Armony等[3]研究了帶有顧客回應的呼叫中心提示等待時間問題，并進行相應的均衡性分析。Jouini等[4]研究了帶有提示可靠性選擇的呼叫中心等待時間提示問題，詳細考慮了等待提示信息對“直接退出”與“中途放棄”兩類顧客行為的控制。Yu等[5]詳細刻畫了多種與等待提示有關的顧客滿意度指標，從而進行有效的呼叫中心能力計劃研究。Ibrahim等[6]以現實的大規模呼叫中心為背景，研究了考慮顧客回應的等待提示信息精確性問題。

除了以上排隊系統中顧客放棄行為的刻畫與分析，考慮顧客重撥行為影響的呼叫排隊系統性能研究，亦是呼叫中心排隊模型研究中的一類重要問題。由于考慮顧客重撥行為后的排隊系統復雜性，使得利用傳統的排隊理論，兼顧構造系統多行為特征及求解系統性能變得更加地困難。近年來，一類確定型流體模型得到廣泛應用，用以刻畫顧客多行為模式下高負荷呼叫排隊系統[7～9]。該方法避免了排隊模型冗長的推導過程，利用確定型的流體表達簡單且快速的獲得排隊系統的性能指標。Aguir等[10]最早通過流體近似方法構建考慮重撥行為的呼叫排隊系統，并且通過與仿真模型的對比驗證了近似的有效性。Ding等[11]利用利用流體近似方法進行帶有重撥和重聯行為的呼叫中心模型構造，并且進行了流體極限的證明。然而，目前還沒有針對帶等待提示的呼叫排隊系統，考慮顧客重撥行為影響的相關研究。

為此，利用該確定型流體方法近似帶有重撥行為的等待提示呼叫系統，豐富了文獻[4]與文獻[12]對于考慮顧客等待心理的提示等待呼叫系統，深入研究顧客提示更新行為基礎上，構建更加符合現實呼叫中心多行為要素的呼叫排隊系統，進行有效地等待時間預測以及性能分析。此外，基于離散事件調度法的仿真技術引用，有效地驗證了該流體近似模型的精確性與實效性。該流體模型的構建為呼叫中心管理者對此類呼叫系統的合理管理與決策提供了有價值的參考策略。

1 問題描述及模型建立

1.1 問題描述

以帶有等待時間提示機制的單技能多服務臺呼叫中心為背景，系統具有s個服務臺，排隊規則為先到先服務(FCFS)。假設顧客首次到達過程服從參數為λ的泊松到達過程，且顧客接受服務過程服從參數為μ的指數分布，顧客打電話時具有初始的耐心等待時間T，其服從參數為γ的指數分布。排隊服務流程如圖1所示：

圖1 帶等待時間提示、直接退出、中途放棄，重撥的呼叫中心服務流程

令等待隊列中的顧客數目為n。任意一個顧客到達時，如果系統中仍存在空閑服務人員，該顧客可以立即得到服務無需等待。否則，當n>0時，該顧客需要面臨直接退出選擇：“直接退出1”，為不接受任何等待的“極端不耐煩顧客”，選擇退出的比率為α0，且放棄之后該部分顧客后續可能選擇重撥，假設重撥服從參數為δ的指數分布，選擇重撥比例為p；“直接退出2”，剩余顧客的行為選擇根據等待時間的信息提示，當系統提示時間大于初始耐心時間，顧客選擇“直接退出2”，pb(n)表示該部分退出概率，且pb(n)為系統通過近似提示時間可調節的概率。需要注意的是，假設“直接退出2”的顧客也將具有同樣的比例p進行重撥，并且重撥過程同樣服從參數為δ的指數分布。沒有進行退出選擇的顧客將接受提示信息進入隊列進行等待?，F實表明，選擇進入隊列的顧客將根據提示時間更新其初始耐心，令T′為更新后耐心時間，且近似服從參數為γ′的指數分布。如果更新耐心時間的顧客在等待之后，等待時間仍大于新耐心值而選擇放棄則稱為“中途放棄”行為。同樣地假設中途放棄顧客以比例p進行重撥，重撥過程同樣服從參數為δ的指數分布。

由于重撥行為的產生，使得系統總的被觀測到達可以分為首次到達和重撥到達，令λ0表示被觀測顧客到達率，假設兩次到達過程相互獨立。此外，令ρ為排隊系統負荷(ρ=λ/sμ)。

1.2 等待時間提示策略

針對給定的呼叫中心排隊場景，進行顧客等待時間的預測與提示策略設定。

定義1虛擬等待時間(Virtual waiting time)[13]:假設被提示等待信息的特定顧客有無窮大耐心時，近似得到隊列中每位顧客的等待時間。

提示給顧客的等待時間根據虛擬等待時間D近似而得。其中，最終的實際等待時間與虛擬等待時間的偏差在于是否考慮的顧客耐心閾值，如果顧客在有限耐心時間內的等待時間則為實際等待時間，記作W，即顧客實際等待時間是虛擬等待時間與自身耐心時間比較后得到的結果，因此，

W=min{D,T′}

(1)

當系統的等待隊列中的顧客數為n時，對于新到達的顧客，所近似的顧客虛擬等待時間為Dn和提示給顧客的等待時間為dn。此時，對于提示信息產生“直接退出2”概率pb(n)，由于顧客初始耐心的指數分布特性以及提示時間dn，可得：

pb(n)=P(T

(2)

不失一般性，當隊列中具有個顧客n時，通過排隊分析近似出顧客的虛擬等待時間Dn，并且按照某種提示策略確定近似的虛擬等待時間為Dn和提示等待時間dn之間的關聯。具體地，由上文假設可知，留在隊列的顧客耐心時間由初始的T變為T′，且γ′為“進入等待隊列顧客”的中途放棄率。Dn作為更新后的耐心閾值γ′影響下的變量，表示當隊列具有n個人等待時，新進入顧客欲獲得服務之前需要等待的時間，不考慮輸入過程，該顧客等待過程是純滅的隨機過程，如圖2所示。Dn是從狀態s+n+1到達吸收態s的等待時間，并且Dn的分布是參數為sμ，sμ+2γ′，…，sμ+nγ′的n+1個獨立同指數分布的卷積，服從“亞指數分布”。

圖2 系統純滅過程示意圖

令gn(t)表示變量Dn的概率密度函數，Gn(t)為Dn的累計分布函數，E(Dn)為Dn的期望值，因此有:

(3)

(4)

系統設定的提示策略：提示等待時間dn近似為虛擬等待時間Dn的平均值，即當一個顧客到達系統后，系統所公布的時間為前面n個等待顧客的平均等待時間，因此每位新到達顧客獲得的提示時間隨著隊列的位置不同而變化:

dn=E(Dn)

(5)

因此，提示信息影響下的“直接退出2”概率可以改寫成，

pb(n)=P(T

(6)

此外，在不同的呼叫系統中可能采取不同的提示策略，可以利用等待提示時間dn大于虛擬等待時間Dn的概率進行控制調節，即提示可靠性調節模型[14]：

β=P(Dn

(7)

該模型通過對β的整體控制用以完成對系統整體的提示時間策略，從而達到不同程度的緩解系統擁擠的目的。本文為了突出重撥行為的變化，設定的提示策略為平均等待時間，因此無需具體設置可靠性β的變化。給定提示策略后，接下來需要進行γ′的近似求解。

(8)

定義4隊列中途放棄條件概率rθ(n)：表示當等待隊列存在n個顧客時，顧客在接受等待信息提示后，留在隊列最后選擇中途放棄的條件概率，可表示為:

rθ(n)=P(T′dn)

(9)

同時，由于T′的耐心系數權重表達，中途放棄概率可以寫成：

rθ(n)=P(θtk+(1-θ)dndn)

(10)

進一步計算，得到

(11)

結合Dn的分布條件表達，rθ(n)可表達為

(12)

通過提示策略可以確定提示給每位顧客的等待時間表達式，然而當考慮顧客重撥行為時，此系統無法簡單直接地獲取穩態概率及性能指標。因此，接下來采用一類確定型流體近似方法，構造考慮顧客重撥影響的等待時間提示排隊模型，并且求解相應的性能指標。

1.3 基于流體方法的提示排隊模型近似

基于以上的等待時間提示策略，考慮顧客重撥影響因素，將以上隨機模型進行簡化近似處理，過程如下：

第一，利用連續型流體方法對考慮等待提示的排隊模型進行近似，具體地，通過連續型狀態空間表示相關隨機排隊模型，針對以上的排隊分析可知，該系統可分為現實空間及虛擬的重撥軌道空間，因此該排隊模型可利用二維空間模型表達。令向量(x1(t),x2(t))表示連續型狀態空間的狀態變量，x1(t)表示t(t≥0)時刻現實空間中系統的顧客數量，即正在服務的顧客與排隊隊列中的顧客數之和，x2(t)表示t(t≥0)時刻在虛擬的重撥軌道空間中顧客數量。結合首次到達與重撥到達，系統總觀測到達率λ0為

λ0(t)=λ(t)+δx2(t)

(13)

第二，利用行為分析表示該連續性空間流量變化，現實空間流量x1(t)的變化取決于顧客四類行為因素： “直接退出1”和“直接退出2”，中途放棄及獲取服務。首先，直接退出的行為因素包括極端不耐煩顧客及等待提示導致的退出顧客，減去直接退出的顧客，x1(t)的實際進入流量為(1-α0)(1-pb(x1(t)-s))λ0(t)，其中，α0表示t(t≥0)時刻現實空間中根據極端不耐煩顧客的概率，也就是系統顧客數為x1(t)時的“直接退出1”概率；pb(x1(t)-s)表示t(t≥0)時刻現實空間中根據等待提示放棄的概率，即當系統顧客數x1(t)為時的“直接退出2”概率。

中途放棄行為導致的x1(t)的流出率，利用式(12)的中途放棄條件概率的計算方法，可得當t(t≥0)時刻系統顧客數為x1(t)時，中途放棄的條件概率為rθ(x1(t)-s)，此時中途放棄行為導致的流出量x1(t)為(1-α0)(1-pb(x1(t)-s))rθ(x1(t)-s)λ0(t)。值得注意的是，還可以根據顧客更新耐心時為指數分布的假設，表達另一種中途放棄行為導致的x1(t)流出量為γ′max(x1(t)-s,0)，因此可得：

γ′max(x1(t)-s,0)

=(1-α0)(1-pbx1(t)-s))rθ(x1(t)-s)λ0(t)

(14)

獲得服務行為導致的x1(t)的流出率，可以寫作μmax(x1(t),s)。

第三，考慮穩態條件下，系統的狀態空間表達。首先，現實空間緩沖區中顧客數x1(t)的總變化率如下：

γ′max(x1(t)-s,0)-μmax(x1(t),s)

(15)

在虛擬軌道空間上，顧客數x2(t)的增加來源于直接退出和中途放棄兩類行為，該軌道空間流量的減少來源于重撥行為的發生，因此有

γ′max(x1(t)-s,0))-δx2(t)

(16)

當排隊系統達穩定狀態時，滿足條件

(17)

因此，可得穩態下兩個狀態變量趨于常數

(18)

當系統低負荷的場景下ρ≤1時，虛擬軌道空間上的顧客流量數x2(t)穩定狀態時水平為0，此時流體近似方法提供的系統重撥率信息誤差較大。因此，重點考察超負荷ρ>1場景時系統狀態的變化過程，此時系統穩態條件下滿足x1≥s，并且max(x1-s,0)=x1-s與min(x1,s)=s。由以上條件可以構造以(γ′,x1,x2)為向量解的方程組，

(19)

對應地，式(19)中“直接退出2”概率pb(x1-s)與“中途放棄”條件概率rθ(x1-s)分別通過式(2)與式(12)的未知量γ′進行計算，并利用式(13)獲取被觀測到達率λ0。由此，該排隊系統的性能指標可以根據求解式(19)中三維向量(γ′,x1,x2)獲得。

1.4 基于流體方法的呼叫排隊模型求解

針對流體近似方法建立的呼叫排隊模型，設計一類蒙特卡洛計算方法[15]求解式(19)中向量解(γ′,x1,x2)，從而獲取系統的相應性能指標。具體地，f為表示式(19)的方程組函數，y為解向量。算法的主要步驟如下：

步驟1參數初始化i=0，令最大搜索步數為N，步長向量h，并且初始解為y0，其中h=(h1,h2,h3)，y0=(y00,y01,y03)T。并計算

F(0)=f(y0)

(20)

步驟2更新i=i+1。如果，則h=h/2，i=0。

步驟3生成正態分布的隨機向量y1，其中，y1～N(y0,Σ)，Σ=diag(h1,h2,h3)。并且計算

F(1)=f(y1+h)

(21)

步驟4如果F(1)≥F(0)，則轉回步驟2；否則進入步驟5。

步驟5如果|F(1)|≤ε，則y1是式(20)的解；否則，令y0=y1，然后返回步驟2。

由此可以利用(γ′,x1,x2)，求解穩態條件下基于流體近似方法的呼叫排隊模型所有性能指標。具體地，選取顧客直接退出的概率PB，顧客中途放棄的概率PR，顧客獲得服務的概率PS，同時包含考慮重撥行為因素下，直接退出和中途放棄后共同生成的穩態重撥率Tr，

PB=α0+(1-α0)pb(x1-s),
PR=(1-α0)(1-pb(x1-s))rθ(x1-s),
PS=1-PR-PB,Tr=δx2

(22)

2 近似模型驗證及結果分析

通過分別與傳統的解析方法與仿真方法兩種不同的構造方法對比，共同驗證等待提示排隊系統中流體近似方法的有效性與精確性。首先，針對等待提示機制影響下的排隊模型，不考慮顧客重撥行為前提下，通過流體近似方法與傳統的馬爾科夫方法兩類方法的對比分析，驗證流體方法對此類高負荷排隊系統近似的有效性；其次，針對1.3節中的考慮等待提示機制及顧客重撥的排隊模型，由于該模型的高度復雜性，目前沒有解析方法的相關成果研究，僅能進行流體近似方法與仿真方法建立的排隊提示模型對比，從而驗證復雜排隊系統的近似有效性。其中，流體近似模型與解析模型采用Matlab實現，仿真模型采用C++實現，在Microsoft Visual Studio 2018 開發環境下運行。所有數值實驗在Intel(R)，Core(TM)i7-520M CPU，2.9GHz，4.00GB內存的計算機上進行。

2.1 基于馬爾科夫方法的等待提示模型驗證分析

參照文獻[4]提出的考慮等待提示的排隊模型，該模型利用馬爾可夫近似的方法進行等待提示時間預測，并且求解相應的系統性能。首先針對無重撥行為的等待提示排隊系統，對比文獻[4]的解析方法進行驗證分析。同樣地，通過流體近似方法構造該等待提示系統，排隊系統狀態變量僅含t(t≥0)時刻現實空間中顧客數量x1(t)，由于無重撥行為，此時顧客首次到達率λ即為被觀測到達率。參照式(19)構造方法，可得以(γ′,x1)為向量解的系統方程：

(23)

同樣地通過蒙特卡洛算法求解式(23)，可以獲得無顧客重撥的等待提示系統的性能指標PB與PR。接下來，在該無重撥的等待提示排隊模型中，利用流體近似方法與馬爾可夫近似方法[4]求解的直接退出概率PB及中途放棄概率PR比較，進而驗證流體方法對該排隊系統近似的有效性。為了驗證近似方法的性能指標差值，定義顧客直接退出及中途放棄兩類行為相對誤差值，例如顧客直接退出概率的相對誤差值為|PB(流體)-PB(隨機)|/PB(隨機)。選取系統參數μ=1，γ=0.8，θ=0.1，α0=0.05，以下無特殊說明則相關參數設置不變。

首先，固定系統的人力資源配置水平s=20，如表1所示，通過顧客首次到達率λ的變化從而變換系統負荷ρ的值，分別獲取兩類方法的放棄行為指標的相對誤差結果。隨著ρ逐漸增大，流體近似方法的相對誤差值大幅降低，說明流體方法的精度隨著系統負荷增加而增加，直至趨于解析方法的結果，符合對流體近似方法的變化原理預期。此外，直接退出的近似效果明顯好于中途放棄的近似效果，原因可能是由于兩類方法的“中途放棄”行為均需要中途放棄率γ′的雙層近似，兩部分近似疊加而從而導致兩類方法的不精確性，誤差值增加。

表1 無重撥行為的等待提示系統的性能比較s=20

其次，固定ρ=150%，如表2所示，考察人力資源配置水平s不斷增加下，系統規模增大導致流體方法的近似精度變化。當s逐漸增大，兩類方法的性能指標誤差值逐漸降低，說明在該場景下流體近似方法的精度隨著s的增加而增加。與表1的對比下，s變化導致的誤差變化幅度明顯小于系統負荷產生的作用幅度，綜合兩表說明系統負荷是影響流體方法近似效果的關鍵因素，并且大規模呼叫中心同時系統負荷較大時，流體方法具有較好的近似效果。

表2 無重撥行為的等待提示系統的性能比較ρ=1.5

2.2 基于仿真方法的近似排隊模型驗證分析

考慮顧客重撥行為時，由于傳統的隨機方法[4]無法進行近似求解系統性能，利用仿真方法構建等待提示排隊模型，用以對照1.3節所提出的流體近似方法模型下的系統指標，從而驗證確定型流體方法的近似質量。具體地，流體方法利用蒙特卡洛算法求解式(19)，從而獲得模型的相關性能。仿真模型采用的是離散事件仿真技術[16]，即利用事件的變化描述系統狀態隨時間的推進。該仿真模型為穩態仿真，利用重復刪除法，仿真結果采用500次重復仿真所取均值。

首先，考察兩種方法下，重撥率的相對誤差結果。如表3所示，選取p=0.5與δ=0.5，固定系統的人力資源配置水平s=20，通過顧客首次到達率λ的變化從而變換系統負荷ρ的值，從而觀察流體方法與仿真模型兩類方法獲取的Tr誤差結果。與傳統馬爾科夫方法對比結論相同，當ρ=100%時，流體近似方法誤差較大，誤差率達到100%，而隨著系統負荷增加，流體方法的近似精度逐漸提高直至趨于精確的結果，符合1.3節中的假設分析。

表3 考慮重撥行為的仿真方法與流體方法性能比較s=20

其次，選取p=0.5，當重撥返回時間分布率δ=0.2，δ=0.5，δ=0.8三種情況時，流體方法的近似相對誤差變化規律。如圖3所示，隨著ρ逐漸增大，不同重撥返回時間分布率下的重撥率Tr相對誤差值全部降低，直到趨近0，說明流體方法的精度隨著系統負荷增加而增加，與之前的對比變化趨勢相同。并且隨著重撥返回時間分布率的值越大，近似精度相對更高。因此，增加考慮重撥行為的背景下，通過與仿真方法的對比分析，驗證了流體方法對復雜系統近似應用的有效性。

圖3 確定型流體近似方法的顧客重撥率相對誤差值

3 結論

本研究通過一類確定型的流體近似方法，克服排隊系統復雜的背景建模要素，針對等待信息提示的呼叫中心的服務系統，從排隊心理學角度出發，考慮等待過程中的顧客耐心變化，以及顧客放棄與重撥行為的特點，突破性地對該模式下的呼叫系統進行構造及分析，并提出了基于蒙特卡洛法的模型求解算法。通過流體模型與兩類模型的比較分析，包括“傳統馬爾科夫”的解析模型與“離散事件技術”的仿真模型，得出如下結論：無論是否考慮顧客重撥行為的等待提示排隊系統，對于大規模呼叫中心同時系統負荷較大時，流體近似方法的性能誤差值較小，即該結果表明流體方法近似效果較好。總之，研究結果顯示流體方法的模型表達可以快速且有效地獲得等待提示影響下排隊系統性能，對于考慮等待時間提示的呼叫系統運營具有重要指導作用。