基于雙因子已實現GARCH模型的波動率預測研究

吳鑫育，侯信盟

(安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

成熟的股票市場具有引導資源流向、優化資源配置等功能，可在一定程度上提前反映出經濟的未來發展形勢。在學術界，對股票市場的研究一直都是學者們熱衷的話題，其中金融資產價格波動率在衍生產品定價、投資組合分配和風險管理等領域扮演著重要的角色。如何準確地對市場波動率進行建模和預測成為學術界主流研究方向的一個熱門分支，在此領域也不斷涌現出新的研究成果。

Engle[1]利用當時已有的日度類相關低頻數據，提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型，為波動率建模提供了一個新的思路。模型形式雖然簡單，但在實際度量波動率的過程中，往往需要滯后很多期才能達到較好的擬合效果，所帶來的直接問題就是要估計冗長的參數項。Bollerslev[2]為了更準確的描述時間序列尾部的分布特征，對ARCH模型進行了改進，提出廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型。該模型既保留了條件方差中的資產收益率信息，同時加入條件方差自回歸項。這樣一方面避免了滯后參數過多的問題，另一方面提高了模型的預測精度。在GARCH模型的基礎上，經由許多學者進行探索，又相繼衍生出GJR-GARCH[3]、FIGARCH[4]、HYGARCH[5]等眾多計量模型。以上模型在建模中使用的多是日度數據和周度數據等，這種低頻數據雖然容易獲取，但不足之處是丟失了很多日內交易的信息，無法較為準確的捕捉市場的波動情緒，最終降低了模型的預測能力[6,7]。

隨著金融市場信息采集技術的日趨成熟，高頻數據的獲取變得更加容易，利用高頻數據建模并將其應用于市場波動率預測逐漸成為一種研究趨勢。尤其是Andersen和Bollerslev[8]提出的已實現方差RV，其定義是日內高頻收益率平方之和，被大量學者接納采用，通過對現有模型不斷完善后應用于各領域的研究之中。Hansen等[9]考慮到交易時間的非連續性和市場微觀結構噪聲等因素的影響，提出了已實現的GARCH模型，在標準的GARCH模型基礎上引入已實現的方差，模型的預測能力有明顯改善，之后被廣泛關注。Tian和Hamori[10]利用已實現的GARCH模型來估計歐元——日元市場短期利率的日波動性，發現該模型從已實現的方差中提取的高頻收益信息可以更好的擬合數據并提供更準確的波動率預測。Sharma和Vipul[11]利用標準GARCH模型、僅使用日收益率改進的標準GARCH模型和已實現的GARCH模型對比預測了16只國際股票約14年的樣本數據，通過對比各模型的損失準則函數，發現已實現的GARCH模型在數據預測方面有更好的預測能力。Jiang等[12]把已實現的GARCH模型引入到對標準普爾500指數期貨收益率日波動性建模中，發現標準已實現的GARCH模型為樣本內數據提供了較好的波動性估計，為樣本外數據預測提供了實質性改進，模型表現優異。王天一等[13]利用已實現的GARCH模型對滬深300指數波動率進行了預測，通過與標準GARCH模型、EGARCH模型相比，新模型在指數分布和波動率預測方面表現最佳。基于已實現GARCH模型研究也在不斷創新：與已實現極差結合[14]、偏t分布下考慮高低頻數據的尾部風險估計[15]、引入混頻的已實現GARCH模型[16]等。

Ding和Granger[17]發現波動率反映價格變動的效果并非一成不變，在現實中，一些波動率測度了金融資產價格的大幅度變化，變動持續時間并不會很長；有的波動率則反映了價格小范圍內變化，但這種變化的持續時間可能會很長。Engle和Lee[18]建立的成分模型也捕捉到了數據所表現出的長記憶性，體現為絕對收益或者平方收益自相關函數所具有的較為平緩的雙曲線性衰退的能力(長記憶性)。成分模型被分解為兩個GARCH(1，1)相加的形式，也就是(長期)趨勢項方程和(短期)非持續項方程的加性分解。Engle和Rangel[19]、Engle等[20]論證了相比于加性分解，乘性分解則更匹配含有高斯白噪聲的數據結構。國內學者陳雙和馮成驍[21]利用GARCH族模型對國際石油價格波動性進行分析，發現油價波動性具有短期成分和長期成分之分，短期成分會收斂到零，而長期成分會緩慢收斂到穩定的波動率上。

基于已有學者的研究基礎，文章嘗試構造(方差)雙因子已實現GARCH(T-RGARCH)模型。第一，將模型中條件方差乘性分解為短期波動和長期波動兩部分，通過構造符合自身數量結構特征的方差方程分別計算，并假定短期成分長期來看收斂于零值，而長期波動成分則收斂于穩定的波動率上。第二，在指標選取方面，雖然RV計算方法簡單，一直被認為是積分波動率(IV)的一致估計量，應用普遍。但RV自身也存在不足之處，一方面在較高的數據采集頻率下，仍舊無法剔除市場噪聲的干擾；另一方面，即使采用5分鐘高頻數據，RV也只是收集了時間段內兩頭的數據，忽略了該時間段內價格波動的峰值和谷值的情緒信息，這同樣會造成信息丟失的問題。Barndorff-Nielsen等[22]提出了已實現的核波動(Realized Kernel Volatility, RK)并驗證了RK比RV有更高的估計精度。王春峰等[23]從估計結果的穩定性考慮，驗證了RK方法優于RV。鑒于此，本文實證部分將利用RV、RK兩個變量來考察模型表現。第三，在分解后的短期方程和長期方程中均加入杠桿函數，來捕捉數據的非對稱性的特點。本文選取了上證綜合指數和日經指數為研究對象，利用相關高頻數據進行模型參數估計和預測效果評價，比較雙因子已實現GARCH模型和標準已實現GARCH模型的擬合效果。

1 模型介紹

1.1 已實現的GARCH模型

Hansen等引入了一個新的框架結構——已實現的GARCH模型，將收益率和波動率的已實現測度作為內生變量納入標準的GARCH模型中，可對收益率和資產波動率交互關系進行更便捷的建模。已實現的GARCH(p,q)表述如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

已實現的GARCH模型應用了ARMA結構，具有模型結構穩定、參數易于估計、對波動率和已實現測度可實現多步預測等優勢。但模型也有不足，隨著日內高頻數據在計量金融時間序列的廣泛應用，追蹤波動率動態變化的長期記憶性，細化分解方差結構，捕捉更精確的噪聲新息也成為模型演進的方向之一。同標準的GARCH模型一樣，已實現的GARCH在此方面并沒有足夠的改進，因此我們嘗試在模型的這一方面進行改進，提出新模型。

1.2 雙因子已實現的GARCH模型

基于已實現的GARCH模型，對雙因子已實現的GARCH模型描述如下:

(5)

ht=ltst

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

loglt=ω+β1loglt-1+γ1(τ(zt-1)+ut-1)

(11)

logst=β2logst-1+γ2(τ(zt-1)+ut-1)

(12)

雙因子已實現的GARCH模型參數可以通過極大似然法估計得出。模型對數似然函數可以寫為:

LogL(r,x;Θ)

(13)

其中，變量Θ是模型中的參數向量組。由此，雙因子已實現的GARCH模型中的參數估計可通過下式實現:

(14)

2 實證研究

2.1 數據搜集與整理

通過Wind資訊終端數據庫和Oxford-ManInstitute of Quantitative Finance數據庫，本文搜集了上證綜合指數(SSEC)和日經指數(N225)日收盤價和5分鐘高頻交易價格作為研究樣本。在運算中設定第t個交易日的收盤價取對數后記為pt,當日收益率記為rt=(pt-pt-1)。共搜集上證綜指自2000年1月4日到2019年3月22日共計4639個交易日的相關數據，日經指數采自2000年2月2日到2019年3月22日共計4680個交易日的相關數據。

表1給出了SSEC日收益率rt、已實現方差RVt和已實現核波動RKt及其對數形式的相關描述性統計。從表1中可以看出，指數的日收益率rt均值接近于0，(無條件)偏度小于0，即圖像分布呈現左偏特性，(無條件)峰度大于3，圖像表現為尖峰厚尾的特征，Jarque-Bera統計量顯著，拒絕正態分布假定。已實現方差RVt，偏度、峰度均為正值，且Jarque-Bera統計量顯著，也拒絕了正態分布的假定。但經對數處理后的log(RVt)的偏度接近于0、峰度接近于3，Jarque-Bera統計量在數值上已經絕對降低。已實現核波動RKt的數據分布特征與RVt相似，Jarque-Bera統計量數值仍舊很大，拒絕正態分布的假定。經對數處理后，Jarque-Bera統計量明顯下降。表2給出了日經指數日收益率rt、已實現方差RVt和已實現核波動RKt的描述性統計。其分布特征與上證綜指相似。具體數值如下表所示：

表1 SSEC日收益率rt、已實現方差RVt及其對數值、已實現核波動RKt及其對數值的描述性統計

表2 N225日收益率rt、已實現方差RVt及其對數值、已實現核波動RKt及其對數值的描述性統計

2.2 參數估計結果與模型比較

將收集到的數據進行整理后，選取上證綜指2000年1月4日到2014年12月31日、日經指數2000年2月2日到2014年12月31日相關數據，作為樣本內數據組，用于估計模型的相關參數。運用極大似然估計的方法對標準GARCH模型、已實現GARCH模型和雙因子已實現GARCH模型的各項參數進行估計。通過Matlab進行編程計算最終可得到各模型參數估計的結果及其各自對應的標準誤差、對數似然值(log-lik)、赤池信息準則值(AIC)和貝葉斯信息準則值(BIC)。表3、表4列出了上述各數值，具體如下:

表3 參數估計結果(RVt)

橫向第一組數據代表了長期方差的信號趨勢，第二組數據主要考察指數的杠桿效應，第三組數據捕捉了短期方差的走勢。通過分析表3、表4的估計結果可以看出，已實現的GARCH模型的長期方差持續性系數(β+γ)、雙因子已實現的GARCH模型的長期方差持續性系數(β)的估計值都非常接近于1，這說明指數SSEC和N225具有很明顯的波動率持續性特征。四個杠桿方程中的系數τ1、τ2的估計值均十分顯著，而且τ1的估計值均小于零，τ2的估計結果均大于0，這說明指數SSEC和N225的長期、短期波動率具有明顯的非對稱性(杠桿效應)。相比于N225的估計結果，SSEC的雙因子已實現GARCH的模型中的(長期)方差方程中持續性系數β1明顯大于短期方差方程的持續性系數β2，說明本模型對SSEC的估計效果更好。

判斷模型擬合效果的依據是對數似然函數值(Log-lik)、赤池信息準則(AIC)和貝葉斯信息準則(BIC)。具體來說，對數似然函數值越大，赤池信息準則(AIC)和貝葉斯信息準則(BIC)數值越小，說明模型擬合效果越好。兩指數在已實現GARCH的模型和雙因子已實現的GARCH的方差似然值(Log-lik1)比GARCH模型表現要好，說明兩模型較原始的GARCH模型有改進。SSEC中雙因子已實現GARCH的模型的的Log-lik1、Log-lik2比已實現的GARCH模型有明顯的提升，再比較AIC、BIC的值，兩值在數值是也呈現變小的趨勢。綜上分析可以判定，在SSEC參數估計中，雙因子已實現的GARCH模型的估計效果要明顯好于已實現的GARCH模型和GARCH模型。

表4 參數估計結果(RKt)

通過對比N225指數的各項數值，可以發現相同的結論。分別將RVt、RKt視為代理變量，雙因子GARCH模型的極大似然估計值要比前兩個模型都要大。同樣的，改進的模型中AIC、BIC的數值比已實現GARCH模型的值要小。這進一步說明，新模型在N225指數參數估計方面也確有改進。

2.3 樣本外預測

中國股市2015年到2016年經歷了斷崖式下跌，短期內震蕩劇烈，由5300余點快速下跌至3000多點，同期日經指數也經歷了一次大規模的倒V形波動，由近15000點上漲至21000點左右后下跌至16000余點。本文在選取樣本外預測時間段時，充分考慮了這一現實情況。選取2014年11月至2016年6月上證綜指和日經指數的連續數據作為高波動期樣本，合計300個。考慮到近期兩股市波動相比之前均較柔和，另外選取截至2019年3月22日前(含)連續的400個數據作為低波動期樣本進行預測，檢驗模型的預測效果。

樣本外預測采用滾動時間窗方法。具體做法是在估計樣本中每增加一個新的觀測值時，刪除相應樣本中的第一個觀測值并重新估計模型，如此不斷重復這個過程，直到添加完兩樣本最后一個樣本外日期所對應的數據。通過這種方法，可以獲得條件方差的預測值ht，將預測的條件方差與相對應已實現方差RV(RK)進行比較，來評價模型樣本外的預測效果。通常選用的損失函數指標有均方根誤差(MSE)、平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)和擬似然函數(QLIKE)。

(15)

(16)

(17)

(18)

其中L為SSEC和N225的樣本外數據長度(個數)，m為估計波動率所采用的模型(已實現的GARCH模型和雙因子已實現的GARCH模型兩種)。評判標準是各損失函數對應的結果，其數值越小，模型的改進效果越好。

表5 上證綜指樣本外評價

表6 日經指數樣本外評價

表5、表6給出了兩種模型的評價指標數值。從上表可以看出，無論是SSEC還是N225，在采樣區間內，雙因子已實現GARCH模型的預測效果都明顯好于已實現的GARCH模型，也就是說雙因子已實現GARCH模型對兩樣本數據有更好的預測效果。

2.4 DM檢驗

(19)

表7 上證綜指、日經指數在不同時期的DM檢驗結果

通過查閱標準正態分布分位數表，可知道1%、5%、10%的顯著性水平分別對應分位數為2.57、1.96、1.64。在高波動期，當被解釋變量選RK時，上證綜指的新模型預測有一定改進，但在5%的置信水平下，改進效果并不明顯。除此之外兩種指數7種情況的DM統計值均大于1.96，說明在5%的顯著性水平下，新模型的預測效果改進還是明顯的。

3 結束語

金融系統的穩健運營對投資者和監管者來說都是至關重要的。個體投資者作為金融市場的重要參與者，掌握充足的金融市場知識，洞悉市場行情，建立合理、高效的投資方案，合理預測金融市場風險，對于保障自身資金安全，獲取可觀收益都是非常重要的。對于市場監管者而言，維護金融市場正常的金融秩序，一方面可以增加投資者對國內市場改革的信心，增強市場資金的流動性，進一步活躍市場情緒；另一方面，可以促進實體經濟健康發展，為企業擴大融資規模、不斷進行市場化改革進程提供堅實的保障。風險的一個衡量標準就是資產價格的波動率，因此，更加準確的預測波動率，無論是對市場監管者還是參與者而言，都是從源頭保障資金安全的一個重要舉措。

本文提出的雙因子已實現的GARCH模型是對Hansen等提出已實現的GARCH模型進行方差分解的改進。原模型的僅通過方差方程建立了方差與已實現波動率測度的聯系，在捕捉波動率長、短期記憶方面并沒有加以區分。本模型則考慮了長、短期波動率方差的交互影響，分別構造長期方差方程和短期方差方程，刻畫已實現方差對長期、短期方差施加的不同影響。通過對上證綜合指數和日經指數的實證研究我們可以看到，在已實現的GARCH模型中加了相互獨立的雙因子方程，模型可以更好的捕捉波動率的長記憶性，通過對比RV、RK兩個代理變量的損失準則函數，發現改進后的模型不僅保留了原有模型的靈活性，而且在波動率預測方面有一定的提高。這對研究波動率預測、期貨、期權的資產定價和風險管理都有一定的理論貢獻。