珠子繞空心圓環的動力學過程研究

藍應蓮 楊柳 李文博 高婧 吳世寶

摘 要：本文對“珠子動力學”問題進行探究，建立了小球運動過程理論模型，基于點的合成運動、動量矩守恒和動能定理，推導速度和加速度的變化規律，并結合數值模擬分析相關參數對速度和加速度變化趨勢的影響。數值分析結果表明，圓環的半徑對小球運動的速度影響較大，對加速度影響較小;小球的直徑對小球運動的速度和加速度幾乎沒有影響。

關鍵詞：點的合成運動;動量矩守恒;動能定理;數值模擬

中圖分類號：O313.7 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2021）12-0005-05

動力學問題一直以來都是理論力學問題的一個重要分支，在許多工程領域都有非常廣泛的應用，這其中也包含許多經典的動力學問題，“珠子動力學”[1]便是其中之一。所謂“珠子動力學”，指的是讓一個圓環繞著垂直于其直徑的軸旋轉，在圓環內放置一個小球，當圓環旋轉時，探究圓環內小球的相關動力學參數與相關因素的影響。這一現象的核心在于讓圓環繞著垂直于直徑的軸旋轉，并研究此過程中圓環內小球的運動可能受哪些因素影響[2]。本文對“珠子動力學”所闡述的現象進行了理論分析和數值模擬。

1 理論模型

1.1 模型假設

通過對“珠子動力學”背景的分析，對圓環的形狀、圓環在空間中的放置方式和旋轉方式、小球的動力學過程有如下解釋：

（1）關于圓環的形狀。假定涉及的圓環是指具有一定大小內徑和壁厚的空心圓管，該圓管的內徑與要放置進去的小球的外徑大小相同，且可以使小球在圓環中自由地運動。

（2）關于圓環在空間中的放置方式和旋轉方式。假定涉及的圓環均放置在豎直平面內，且圓環繞著豎直軸進行逆時針旋轉。

（3）關于小球的動力學過程。由于小球在圓環內部的運動過程屬于多個階段運動，較為復雜，在研究時可以先選擇其中較為典型的運動過程進行研究。因而，假定小球在初始時刻放置在圓環最高點，受到微小擾動后向圓環最低點運動，只研究小球從圓環最高點運動到最低點這一動力學過程中的相關問題。

（4）關于小球的動力學參數。動力學問題主要反映在物體的速度和加速度變化規律中，因而主要研究小球在上述動力學過程中速度和加速度的變化規律。

1.2 模型建立

如圖1所示，將某個半徑為R的光滑圓環放置在豎直平面內，且可以繞著豎直軸旋轉。在初始時刻，某個直徑為d的鋼球位于圓環的最高點，此時圓環正在繞著豎直轉軸逆時針旋轉，其角速度為ω。在其后某一時刻，位于最高點的鋼球受到微小的擾動而離開最高點，開始向圓環的最低點運動。此時鋼球球心與圓環圓心的連線與豎直轉軸之間的夾角為θ，圓環繞豎直轉軸逆時針旋轉的角速度為ω1。

接下來對鋼球在向下運動過程中某一時刻的速度進行分析。取鋼球為動點，運動系統與圓環固定相連，則由運動的合成，得

va=ve+vr ?（1）

其中，va是絕對速度，也是鋼球相對于靜參考系運動的速度，其大小和方向都未知;ve是牽連速度，是圓環上與鋼球重合的那一點相對于靜參考系的運動速度。顯然，圓環上與鋼球重合那一點此時正在繞著點O1做逆時針方向的定軸轉動，其大小為

式（18）就是鋼球從圓環最高點向最低點運動過程中加速度的變化規律。由式（16）和式（18）可知，影響鋼球從圓環最高點向最低點運動過程中速度和加速度變化趨勢的因素為鋼球的質量m、圓環的半徑R以及圓環對豎直軸的轉動慣量J。進一步分析可知，鋼球質量m的變化主要是依靠鋼球直徑d的變化來實現的，而不論是改變鋼球的直徑d還是圓環的半徑R，最終都會引起圓環對豎直軸的轉動慣量J的變化[3]，所以，影響鋼球從圓環最高點向最低點運動過程中速度和加速度變化趨勢的主要因素為鋼球的直徑d和圓環的半徑R。

2 數值模擬

2.1 速度和加速度的變化規律

由上述理論模型，得到了鋼球從圓環最高點向最低點運動過程中速度和加速度隨鋼球球心與圓環圓心的連線和豎直轉軸之間的夾角θ的函數關系式。由于θ也是隨時間t變化的函數，所示鋼球的速度和加速度隨夾角θ變化的函數關系式也可以看作是隨時間t變化的函數關系式[4]。因而，通過繪制鋼球的速度和加速度隨夾角θ的變化圖像，可以大致觀察出鋼球在從圓環最高點向最低點運動過程中其速度和加速度的變化趨勢。

在進行數值模擬時，首先對系統的基本條件進行了規定。所模擬的系統的基本情況如表1所示。

由表1可知，圓環是塑料材質，其密度為1.2×103kg/m3，其半徑為100mm，壁厚為2mm，其管道內徑和鋼球的直徑均為20mm。由于圓環的形狀較為復雜，其轉動慣量J不便于利用積分法進行計算，因而選擇在CATIA軟件中按表1所示的尺寸繪制該圓環的三維數模，并在CATIA軟件中利用其測量模塊測得其繞豎直軸轉動時的轉動慣量[5]。在CATIA軟件中繪制的三維數模和測量模塊如圖2所示。

由圖2可知，在繪制該圓環的三維數模時，選擇在yz平面繪制了圓環的截面草圖，并利用旋轉體功能生成了該圓環的三維數模[6]。此外，由圖2右側的對話框可知，題目中的豎直軸相當于CATIA軟件中的x軸或y軸，在修改材料的密度[5]后，CATIA軟件將自動計算出該數模對3個坐標軸的轉動慣量，只需要該數模對x軸或y軸的轉動慣量即可。

在獲得圓環的轉動慣量后，利用Python語言編程，對鋼球從圓環最高點向最低點運動過程中其速度和加速度的變化圖像進行了數值模擬，其結果分別如圖2和圖3所示。

由圖2和圖3可知，鋼球從圓環最高點向最低點運動的過程中，其速度逐漸增加，并在θ=π時達到最大值;但加速度先是從0開始增加到最大值隨后再次減小為0，并在θ=π/2時取得最大值。因而，鋼球從圓環最高點向最低點的運動是一個加速度先增大后減小的加速運動。

2.2 圓環半徑對速度和加速度變化趨勢的影響

在模擬圓環半徑對鋼球的速度和加速度變化趨勢的影響時，首先需要獲得在鋼球直徑不變的情況下，不同半徑的圓環對應的轉動慣量。隨后，將編寫好的Python程序中的半徑和轉動慣量修改為要探究的半徑及其對應的轉動慣量[7]，就可以得到不同的圓環半徑對應的鋼球速度和加速度變化圖像。

在計算不同半徑的圓環對應的轉動慣量時，利用了CATIA軟件進行設計，在保證鋼球直徑為20mm的情況下，獲得了幾種不同半徑的圓環對應的轉動慣量，如表2所示。

由表2可知，隨著圓環半徑的增加，圓環的轉動慣量也有較為明顯的增加。按表2所示的數據對Python程序進行修改，運行程序后模擬出的不同半徑下鋼球的速度和加速度變化圖像分別如圖5和圖6所示。

由圖4可知，隨著圓環半徑的增加，鋼球在通過圓環同一位置時的速度都處于增加的趨勢，且鋼球的最大速度的增加幅度最大，說明圓環的半徑對鋼球運動速度的變化趨勢有較大的影響，且隨著圓環半徑的增大，鋼球在通過圓環同一位置時的速度均增大。由圖5可知，隨著圓環半徑的增加，鋼球的加速度變化圖像的變化非常小，說明圓環半徑的變化不會使得鋼球運動過程中加速度的趨勢發生顯著的變化。

為判斷鋼球的最大速度和圓環的半徑是否存在定量關系，利用圖6所示的數據，繪制了鋼球的最大速度v隨R1/2的變化圖像，并進行了直線擬合，如圖6所示。

由圖6可知，鋼球的最大速度v和R1/2呈現出較高的正比關系，且該直線的斜率為6.26099，這個數值恰好與2g1/2相等，說明鋼球的最大速度和圓環半徑R的1/2次方成正比。

2.3 鋼球直徑速度和加速度變化趨勢的影響

在模擬鋼球直徑對鋼球的速度和加速度變化趨勢的影響時，首先需要獲得在圓環半徑不變的情況下，不同鋼球直徑的圓環對應的轉動慣量[8]。隨后，將編寫好的Python程序中的鋼球直徑和轉動慣量修改為要探究的球徑及其對應的轉動慣量，就可以得到不同的鋼球直徑對應的鋼球速度和加速度變化圖像。

在計算不同鋼球直徑的圓環對應的轉動慣量時，再次利用了CATIA軟件進行設計，在保證圓環半徑為100mm的情況下，獲得了幾種不同鋼球直徑的圓環對應的轉動慣量，如表3所示。

由表3可知，隨著鋼球直徑的增加，圓環的轉動慣量的增加幅度并不明顯。按表3所示的數據對Python程序進行修改，運行程序后模擬出的不同鋼球直徑下鋼球的速度和加速度變化圖像分別如圖7和圖8所示。

由圖7和圖8可知，隨著鋼球直徑的增加，鋼球的速度和加速度變化圖像的變化幅度非常小，說明鋼球直徑的變化不會使得鋼球運動過程中的速度和加速度的變化趨勢發生顯著的變化。

3 結論

在對“珠子動力學”進行充分分析的基礎上，推導了鋼球從圓環最高點運動到最低點的過程中，鋼球的速度和加速度的變化規律。并利用Python語言編程進行了數值模擬，得到了相關因素對鋼球運動過程中速度和加速度變化趨勢的影響。

鋼球從圓環最高點運動到最低點的過程中，其速度逐漸增加，在最低點處達到速度最大值;其加速度先增加后減小，在1/4圓環處達到加速度最大值;圓環的半徑對鋼球運動速度的變化有較大的影響，且隨著圓環半徑的增大，鋼球通過圓環同一位置時的速度相應增大，且鋼球運動到最低點時的速度與圓環半徑的1/2次方成正比;圓環的半徑對鋼球運動加速度的變化趨勢影響較小;鋼球的直徑對鋼球運動速度和加速度的變化趨勢影響較小。在后續的研究中，將繼續設計實驗，利用相關實驗數據進一步證明觀點的準確性。

參考文獻：

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