獨立檢驗的基本思想及其初步應用教學設計

何根芳

一、學習目標

（一）通過學生觀看“吸煙與患肺癌關系”視頻，引導學生思考如何論證自己所得到直觀判斷的正確性，發展學生的直觀想象及邏輯推理核心素養。

（二）引導學生積累收集、整理數據經驗，掌握利用2×2列聯表及條形等高圖對樣本數據結果做出判斷的方法，總結分析統計數據的方法與經驗，發展學生數據分析核心素養。

（三）引導學生探討所作結論是否有誤判可能，通過探討所作結論可靠性問題，培養學生質疑能力，進而類比反證法思想，通過設問、追問，以相互獨立事件之間的概率關系去引導學生用頻率估計概率，借助已有知識獨立事件概率公式去得出“吸煙與患癌無關”的數量關系，發展學生的數學建模及數學運算核心素養。

（四）通過小組對小概率事件進行分析，引導學生明確設定規則做出判斷一般思路，理解獨立性檢驗的基本思想和一般步驟，發展學生的數學抽象及邏輯推理核心素養。

二、教學重點與難點

重點： 獨立檢驗的基本思想，K2的含義及獨立檢驗步驟。

難點： 隨機事件相關性判斷可靠性分析，利用獨立性檢驗解決實際問題。

三、教材分析，學情分析

學生已經學完了必修3中的統計知識，對于樣本數據分析處理積累了初步經驗。在選修2-3前面章節中學習了隨機事件發生的概率及事件的獨立性的概念，在選修2-2中學習了反證法的基本思想，同時對于小概率事件幾乎不可能發生有一定的理解。

通過上一節對相關關系的學習，學生明白兩個變量之間可能存在相關關系，但是對于如何利用頻率估計概率，從而借助獨立事件概率公式建立相關關系等價關系式缺乏相關活動經驗。因此本節課通過層層設問，引導學生以舊知識為工具，突破理解獨立性檢驗基本思想。

四、教學過程

環節一 創設情境，激發興趣

情境：學生觀看吸煙與患肺癌關系視頻。

【問題】我們都聽說過吸煙更容易患肺癌，可是有老煙民說有人煙不離手還長壽，有人不抽煙還得肺癌，你準備用什么來反駁他這句話呢？

關鍵點1：生活常識（情感判斷）

關鍵點2：用數據說話（理性分析）

關鍵點2：數據獲得方式（抽樣調查）

關鍵點3：樣本信息應該有幾類分類？

吸煙、不吸煙、患癌、不患癌（分類變量）

關鍵點4：調查結果如何呈現

設計意圖：增強學生數據意識，引出2×2列聯表及條形等高圖概念，發展學生直觀想象、數據分析核心素養。

環節二 問題驅動，探究概念

【問題】得到2×2列聯表的數據之后，同學們能不能根據這個數據得出吸煙與患肺癌是否有關呢？

關鍵點1：比例不同（直觀感受）

關鍵點2：吸煙患肺癌概率比不吸煙患肺癌概率高（用樣本頻率估計概率）

設計意圖：通過對表格的分析，引導學生熟悉2×2列聯表特征，鞏固用頻率估計概率做出判斷的基本思想，發展學生的數據分析核心素養。

【問題】除了用表格分析數據的結果，還可以用什么方式來展現呢？

關鍵點1：等高（統一標準，方便比對）

關鍵點2：

頻率估計概率

設計意圖：引導學生通過回憶初中所學統計知識，學會利用圖表直觀判斷得出結論，發展學生的直觀想象核心素養

【問題】我們說直接判斷吸煙與患肺癌有關好不好判斷？在數學中，我們有一個思想是正難則反，判斷有關比較困難那我們可以考慮什么？你為什么會認為判斷無關容易一些呢？能不能利用2×2列聯表數據建立兩個事件無關關系式？

關鍵點1：做出假設H0：吸煙與患肺癌沒有關系

關鍵點2：無關與已有知識事件獨立相呼應

關鍵點3：

相互獨立概率公式： P（AB）= P（A）·P（B）

關鍵點4：頻率估計概率。

設計意圖：引導學生回顧所學知識，借助獨立事件作為工具去探究新知識，在探究過程中，進一步讓學生感受用頻率估計概率的思想，培養學生的數據意識，引導學生通過數據建立數學模型做出理性判斷，發展學生的數據分析，數學運算，數學建模核心素養

環節三 知識生成，卡方檢驗

【問題】得到關系式ad≈bc后，我們可以怎么判斷吸煙與患肺癌關系的強弱呢？樣本容量的不同會導致|ad-bc|的不同，那么這時又該如何比較相關關系的強弱呢？

關鍵點1：對ad-bc的探討;

關鍵點2：為什么帶絕對值;（之差可能為負數，直接比較大小不合適）

關鍵點3：|ad-bc|的大小表示什么？（越大，吸煙與患肺癌關系越強，越小，吸煙與患肺癌關系越弱）

關鍵點4：統一評判標準

設計意圖：引導學生去分析所得結論的意義，并進一步思考如何用統一標準去評價相關關系的強弱，引出統計量卡方的概念。

【問題】早在1990年英國的統計學家K. Pearson就提出了通過構造隨機變量

關鍵點1：分母的合理性，除以總數消除樣本容量的影響，2×2分類變量，各個維度有區別

關鍵點2：n為樣本容量，樣本容量越大統計數與相應總體參數越接近

關鍵點3：（ad-bc）2考慮分母是4次，所以分子要統一，不用絕對值而是用平方

設計意圖：通過學生分析卡方的成因，探討公式中每個變量的合理性，發展學生邏輯推理，數學建模的核心素養。

【問題】統計學家經過研究后發現，在H0成立條件下，P（K2≥6.635）≈0.01，你是怎么理解這句話的？

關鍵點1：在H0成立條件下，K2觀測值超過6.635概率非常小，是一個小概率事件

關鍵點2：小概率事件通常不會發生，因此有理由判斷H0假設不成立

關鍵點3：做出這種判斷會犯錯，犯錯誤概率不會超過0.01。

設計意圖：引出獨立性檢驗原理：在假設H0下，如果出現一個與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率。

【問題】同學們通過計算，可以得到K2的觀測值是多少？（k≈56.632），由此你可以得出什么結論呢？如果計算的觀測值比臨界值要小，你又能得出什么結論呢？

關鍵點1：k>6.635，可認為吸煙與患肺癌有關

關鍵點2：做出這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不超過0.01;

關鍵點3：前面結論是基于小概率事件通常不會發生做出的，所以觀測值小于臨界值時，只能說明得不出吸煙與患肺癌有關。

【問題】怎樣判斷K2的觀測值是大還是小呢？做出誤判的概率有多大呢？

關鍵點1：確定一個正數k0，當k≥k0就認為觀測值大，否則認為觀測值小;

關鍵點2：需要觀測值大于臨界值所對應的概率

關鍵點3：誤判概率不超過 P（K2≥k0）

關鍵點4：臨界值表。由于不同樣本中K2的觀測值不同，我們統一將實際問題中K2的觀測值用k表示。在H0成立的情況下，有如下結果：

設計意圖：通過對臨界值的探討，引導學生進一步感受臨界值的必要性和意義，體會數值所代表的意義，得出獨立性檢驗的基本方法和步驟。

【問題】你能總結一下獨立性檢驗的基本步驟嗎？

關鍵點1：明確研究問題，分類變量;

關鍵點2：根據實際問題確定犯錯誤概率上界k0;

關鍵點3;利用公式的觀測值;

關鍵點4：若k≥k0，就判定“兩個變量有關”，且做出此判定的犯錯概率不超過 P（K2≥k0）;否則，則說明樣本數據中沒有發現足夠證據證明兩個變量有關（或者說不能在犯錯誤概率不超過 P（K2≥k0）前提下得出兩個變量有關）。

環節四 總結

【問題】通過這節課，你有哪些收獲？

設計意圖：學生總結反思，從而明確獨立檢驗方法和步驟以及假設檢驗原理;引導學生進一步強化數據意識，通過本節課形成的數學經驗，進一步思考數學知識的工具性作用，認識到統計方法對于我們生活中做決策的指導意義。

【本文系廣州市教育科學規劃課題2019年度課題“建構深度教學，在問題引領下發展學生核心素養的課堂教學研究”（課題編號：201912014）研究成果】

【參考文獻】

[1] 章建躍. 為什么說“三維目標”已經“過時”[J]. 中小學數學：高中版，2021（Z1）：124-125.

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