基于聲線法的特殊體育館模型中聲場均勻性分析

宋恒玲

(石家莊鐵道大學，河北石家莊 510640)

0 引 言

體育館除了作為單項的體育館(或稱為專用館)外，也逐漸發展成了具有綜合性功能的大型空間場館。除了承擔體育訓練和競賽的基本功能外，還要滿足各類文娛演出及演講、會議等需求。體育館功能的擴展，必然對其室內聲環境提出了更高、更綜合的要求。在建筑形態方面，體育館也由單一的幾何形體轉變為復雜的幾何形體，設計中對曲線與曲面的運用也逐漸成熟[1]。

作為一種新的多用途大廳，對體育館音質的研究有著現實的指導意義[2-3]。根據《體育館聲學設計及測量規程》(JGJ/T131—2000)[4]，對于體育館建筑聲學設計，要求大廳應具有合適的混響時間和語言清晰度，聲場均勻分布，沒有回聲、顫動回聲、聲聚焦等聲缺陷。由于體育館空間較大，對所研究頻率范圍的聲學問題符合幾何聲學特點，所以可以通過聲線在廳堂中的傳播來研究體育館室內聲場特性，如聲聚焦、顫動回聲和聲擴散等。

特殊體育館模型最早被用于研究電磁混響室中電磁波的混沌現象[5-6]，模型由四個矩形和兩個方向不同的柱面邊界構成。混沌系統有兩種形成機理：擴散機理(比如Sinai模型中相鄰路徑與擴散體邊界元的碰撞產生分離)和去聚焦機理(相鄰路徑與聚焦邊界單元碰撞后產生聚焦，經過聚焦點之后開始發生分離，當路徑足夠長時，聚焦被分離所補償導致去聚焦效果)。體育館模型屬于后者，相鄰聲線與柱面邊界碰撞后，經過柱面焦點之后開始分離最終導致混沌行為的產生[7]。近幾年已有通過聲線混沌方法研究不同幾何空間中聲場特性的報道，如通過判定空間是否具有混沌幾何特性，并進一步探索其聲場特性[8-11]，對于此類體育館的聲場特性分析較少見于報道。體育館模型的混沌聲線分析，對理解幾何空間對聲場特性的影響有重要作用。

體育館模型的混沌特性可以通過計算聲線系統的李雅普諾夫(Lyapunov)指數來判定。李雅普諾夫指數是指無限靠近的兩條軌道隨時間演化分離或者收斂的平均指數速率，正的Lyapunov指數意味著相鄰軌道會隨著時間的演化而分離，系統表現出混沌的特性[12]，以λ1,λ2,λ3表示不同類型系統所有的Lyapunov指數，即Lyapunov指數譜。Lyapunov指數對系統的判定如表1所示。可以看到：對混沌系統而言，其Lyapunov指數為正，相鄰軌道發生分離；對收斂系統而言，從相鄰點出發的鄰近軌道和基準軌道的距離逐漸變小，最終變為一個點或極限環。研究表明，Lyapunov指數與聲場的擴散有關[13]：Lyapunov指數為正時聲線隨時間演化以指數分離，聲場趨于擴散；Lyapunov指數為0時系統的聲線運動呈現出規律性，聲場中產生顫動回聲或聚焦等聲缺陷。通過計算體育館模型的Lyapunov指數，并對比體育館模型和矩形空間聲線傳播的位置和方向遍歷性，可以對體育館模型聲場均勻性進行分析。

表1 不同符號Lyapunov指數譜的系統類型Table 1 The system types of different Lyapunov exponents

1 Lyapunov 指數計算

在三維空間中，聲線在空間內壁碰撞反射，反射遵循反射角等于入射角的反射定律，通過跟蹤聲線反射后的反射點和反射線方向，得到整個反射路徑的分布。

聲線在三維空間中反射，有三種特殊情況：

(1) 聲線在反射過程中落入角落，沒有聲線反射出來；

(2) 聲線反射垂直于壁面，沒有其他方向的聲線反射；

(3) 聲線在一個平面內反射，未經過其他平面。

對于情況(1)和(2)，聲線失去反射的連續性；在情況(3)中，聲線雖然連續反射，卻沒有經過所有的平面，丟失了其它平面的信息。圖1是聲線在三維矩形和體育館模型空間中碰撞反射的示意圖。

圖1 矩形空間(a)和體育館模型(b)中聲線的反射Fig.1 Ray motions in (a) rectangular space and(b) stadium model

通過聲線在體育館模型內壁的反射，研究混沌結構的幾何空間對聲場均勻性的影響有著重要意義。設體育館模型相對尺寸為L=5.3，W=6，H=5，矩形空間相對尺寸為L=6.8，W=6.62，H=5.1，采用Matlab 編程對聲線傳播路徑進行模擬和混沌特性判定。對于聲線系統方程未知的 Lyapunov指數計算，可以采用Wolf算法[14]。Wolf算法基于跟蹤相鄰軌道的指數分離情況，通過測得實驗數據的時間序列計算出動力學系統的最大 Lyapunov指數，采用Wolf軌道跟蹤法根據實驗數據計算EL的演變和替換程序如圖2所示。

圖2 采用Wolf軌道跟蹤法根據實驗數據計算EL的演變和替換程序Fig.2 The evolution and replacement procedure using Wolf algorithm to estimate EL from experimental data

Wolf算法分為5個步驟：(1)t0時刻在軌道初始點附近尋找最近的一個鄰近點，用L(t0)表示初始點和鄰近點之間的距離；(2)在t1時刻這兩個點分別在基準軌道和相鄰軌道上的距離演化為L'(t1)，計算這兩個點在t1時刻的距離L'(t1)與初始時刻的距離L(t0)的比值；(3)在t1時刻尋找滿足盡可能在相鄰軌道方向上，即θ角最小新的鄰近點，得到L(t1)；(4)在時刻t2重復第(2)步；(5)對上面的過程重復M次并計算指數比。從而得到Lyapunov指數的計算公式為

式中：?t=tk?tk?1，M為重復次數。L'(tk)和L(tk?1)代表歐拉距離。

在 Wolf算法中，取聲線反射路徑上與壁面碰撞的反射點作為計算數據，以反射路徑為基準軌道，在相空間中構建鄰近軌道，計算隨時間演化鄰近軌道和基準軌道的分離指數，從而判斷基準軌道是分離還是收斂。

通過計算，矩形空間Lyapunov指數為0。體育館模型中聲線系統Lyapunov指數列于表2。表2中組1和組2模型的形狀有所改變，組1和組2中每個模型的形狀相同，尺寸以倍數增加。

表2 幾何形狀不同體育館模型中聲線系統Lyapunov指數Table 2 Lyapunov exponents of ray systems in stadium model with various geometries

可以看到，當幾何形狀確定時(模型1, 2, 3, 4)，長、寬、高比一定，Lyapunov指數相同；當幾何形狀改變時(如模型1和模型5，長、寬不變，高度改變)，Lyapunov指數改變，因此可以得出，建筑空間幾何形狀決定著其中聲線系統的 Lyapunov指數值。從表2中還可以看到，體育館模型的Lyapunov指數都大于 0，其聲線系統具有混沌特性。因此，體育館模型是一個有兩個正的 Lyapunov指數(EL)的超混沌結構。體育館模型中聲線發生分離，而矩形空間中聲線收斂。

2 矩形空間和體育館模型中聲線位置和方向遍歷性

計算 Lyapunov指數時，通過時間序列考察三維矩形和體育館空間中聲線位置和方向的遍歷性。選取其中一個維度(z方向)來進行分析，時間序列分布如圖3所示。

從圖3可以看出，在矩形空間中聲線系統的時間序列分布顯示出規律性，而體育館模型中聲線系統的時間序列有著不規則的分布。計算中選擇z方向，顯而易見，其余方向(x、y方向)聲線系統的時間序列分布也有同樣的規律。對于體育館模型中，由于存在兩個正的 Lyapunov指數，其聲線系統具有混沌特性；對于矩形空間，聲線系統的Lyapunov指數為 0，聲線系統具有規則特性。雖然聲線系統時間序列分布特性不同，但在兩個空間中聲線最終充滿整個空間，即聲線反射有位置遍歷性。

圖3 三維矩形空間(a)和體育場模型空間(b)聲線路徑上等長度間隔100數據點的z值分布Fig.3 Distributions of z-values taken from 100 equally spaced points on the ray propagation paths for (a) rectangular space and (b) stadium model

再看兩個空間中聲線傳播的方向分布特性。以向量表示聲線的傳播方向，避免上述三種特殊反射情形，通過追蹤聲線反射路徑，可以得到，在3D矩形空間中，當聲線的初始方向向量為(a,b,c)時，可以得到8種可能的傳播方向(a,b,c)，(a,?b,?c)，(a,?b,c)，(a,b,?c)，(?a,?b,?c)，(?a,?b,c)，(?a,b,?c)和(?a,b,?c)；在體育館模型空間中，用向量空間中一個點(*)表示聲線的一個方向向量。體育館模型中聲線反射 10 000次的方向向量在向量空間中x-y，y-z平面上的投影，如圖4所示。

可以看出，體育館模型空間中聲線的反射可能來自空間中不同的方向，即聲線具有方向遍歷性。由于混沌空間中聲線傳播在反射過程中趨于分離，具有初值敏感性，聲線行為趨于擴散[13,15]。將聲線模型運用到實際聲場中，矩形空間中聲線雖然有位置遍歷性卻沒有方向遍歷性，在某一方向來回反射容易產生聲缺陷，導致顫動回聲的產生。相反，體育館模型中聲線不但具有位置遍歷性，還有方向遍歷性。聲線反射可能來自數個不同的方向，在某一方向上集中的情況會減少。相對于形狀規則的矩形空間，體育館空間中聲線的反射由于指數分離而擴散。體育館空間中由于聲線傳播有著位置和方向的遍歷性，從而能夠得到更為均勻的聲場。

圖4 體育場模型中聲線方向向量在(a) x-y平面和(b) y-z平面上的投影分布Fig.4 Projection distributions of the directional vectors on (a)the x-y plane and (b) the y-z plane in stadium model

3 ODEON仿真

采用仿真軟件ODEON分別對矩形空間和體育館空間聲場均勻性進行計算仿真，對聲場進行網格劃分，比較網格處聲壓級，考察聲場均勻性[16]。仿真中設置聲源為無指向性，壁面材質為Odeon軟件材料庫中提供的編號102的光滑混凝土，其吸聲系數如表3所示。在軟件中設置聲線數為1 000，脈沖響應為1 000 ms，不考慮空氣的影響，分別計算P1、P2處的聲源激發的多個網格平面聲壓級。

表3 壁面材質吸聲系數Table 3 Absorption coefficient of wall material 102

4 結果與討論

對體育館模型的兩個柱面之間矩形空間和 3D矩形空間采用彩色網格計算多個維度平面并做整體對比。仿真計算了中心頻率 125～4 000 Hz時平面網格的聲壓級。圖5為3D矩形空間聲場分布，圖6為體育館的聲場分布。由于篇幅原因，只展示了500、1 000、4 000 Hz聲壓級分布圖。

圖5 不同位置聲源激發下(a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz, (c) 4 000 Hz時3D矩形空間聲場分布Fig.5 Sound field distributions at (a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz and (c) 4 000 Hz in 3D rectangular space under the excitations of the sources at different positions

圖6 不同位置聲源激發下(a) 500 Hz，(b) 1000 Hz，(c) 4 000 Hz時體育館模型聲場分布Fig.6 Sound field distributions at (a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz and(c) 4 000 Hz in stadium model under the excitations of the sources at different positions

對比圖5和圖6，可以看到對于不同中心頻率，聲源附近有著較高的聲壓級。在遠離聲源處，體育館的聲壓級差異小于矩形空間，即體育館聲場均勻性均好于矩形空間。當聲源位置不同時，可以得到同樣的結論。

體育館模型中聲線行為基于去聚焦機理：聲線經過柱面焦點后分離的長期行為抵消了柱面對聲線的聚焦作用。去聚焦機理解釋了體育館模型在遠離焦點的矩形位置，比3D矩形空間有更好的聲場均勻性。從聲線模型可以看出，體育館空間中聲線的位置和方向具有遍歷性，聲場中聲能分布更為均勻。為方便計算，通過設置剛性光滑反射壁面得到較長的聲線傳播路徑，由于 Lyapunov指數描述幾何空間中聲線的動力學行為是聲線運動的趨勢，需要注意的是，在足夠短的聲音路徑情況下，體育館模型的圓弧結構會產生聚焦。模型中多次反射是為了準確計算Lyapunov指數，由于Lyapunov指數計算是針對空間幾何特性的定性描述，是聲線經過多個壁面反射后發散的指數平均值，當 Lyapunov指數大于0時，混沌模型中聲線系統具有混沌特性，早期聲線反射經過焦點后有發散的趨勢。因此，結論對圓弧結構以外的矩形空間的觀眾席是適用的，對于圓弧結構以內的空間，聲音會產生聚焦。

附錄A中以Sinai空間為例，對基于去擴散機理的混沌空間中聲線傳播特性進行了探討，進一步闡述混沌結構對空間中聲場均勻性的作用。

5 結 論

通過對特殊體育館空間中聲線傳播路徑的研究，得出這類幾何形狀體育館模型聲線系統具有混沌特性，聲線傳播有著位置和方向的遍歷性。由于聲線運動的混沌特性，體育館空間中聲線路徑趨于發散，聲場分布更加均勻。通過聲學軟件Odeon對體育館和矩形空間聲場仿真，得到相對于矩形空間，這類幾何形狀體育館空間有著更好的聲場均勻性。研究是對采用聲線混沌法研究聲場特性作用的補充，也為建筑聲學里探索聲場擴散與空間幾何構型的關系提供了啟發。

附錄A

Sinai空間也是一個具有兩個正Lyapunov指數的超混沌結構，聲線系統的混沌行為基于擴散機理，圖 A1為 Sinai空間中聲線傳播特性。圖 A2和圖A3同樣給出了Sinai空間中聲線傳播位置和方向遍歷性信息。

Sinai空間中聲線傳播位置信息如圖A2所示。

圖A1 擴散的Sinai空間聲線反射Fig.A1 Ray motions in the Sinai spaces based on dispersion

圖A2 Sinai空間聲線路徑上等長度間隔100數據點的z值分布Fig.A2 Distributions of z-values taken from 100 equally spaced points on the ray propagation paths in the Sinai space

Sinai空間中聲線傳播方向信息如圖A3所示。

圖A3 Sinai空間中聲線方向向量在x-y平面(a)和y-z平面(b)上的投影分布Fig.A3 The angular distribution of the directional vectors projected onto the x-y plane (a) and the circular distribution of the directional vectors projected onto the y-z plane (b) in the Sinai space