基于聲線法的特殊體育館模型中聲場均勻性分析

宋恒玲

(石家莊鐵道大學(xué)，河北石家莊 510640)

0 引 言

體育館除了作為單項的體育館(或稱為專用館)外，也逐漸發(fā)展成了具有綜合性功能的大型空間場館。除了承擔(dān)體育訓(xùn)練和競賽的基本功能外，還要滿足各類文娛演出及演講、會議等需求。體育館功能的擴(kuò)展，必然對其室內(nèi)聲環(huán)境提出了更高、更綜合的要求。在建筑形態(tài)方面，體育館也由單一的幾何形體轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的幾何形體，設(shè)計中對曲線與曲面的運用也逐漸成熟[1]。

作為一種新的多用途大廳，對體育館音質(zhì)的研究有著現(xiàn)實的指導(dǎo)意義[2-3]。根據(jù)《體育館聲學(xué)設(shè)計及測量規(guī)程》(JGJ/T131—2000)[4]，對于體育館建筑聲學(xué)設(shè)計，要求大廳應(yīng)具有合適的混響時間和語言清晰度，聲場均勻分布，沒有回聲、顫動回聲、聲聚焦等聲缺陷。由于體育館空間較大，對所研究頻率范圍的聲學(xué)問題符合幾何聲學(xué)特點，所以可以通過聲線在廳堂中的傳播來研究體育館室內(nèi)聲場特性，如聲聚焦、顫動回聲和聲擴(kuò)散等。

特殊體育館模型最早被用于研究電磁混響室中電磁波的混沌現(xiàn)象[5-6]，模型由四個矩形和兩個方向不同的柱面邊界構(gòu)成?；煦缦到y(tǒng)有兩種形成機理：擴(kuò)散機理(比如Sinai模型中相鄰路徑與擴(kuò)散體邊界元的碰撞產(chǎn)生分離)和去聚焦機理(相鄰路徑與聚焦邊界單元碰撞后產(chǎn)生聚焦，經(jīng)過聚焦點之后開始發(fā)生分離，當(dāng)路徑足夠長時，聚焦被分離所補償導(dǎo)致去聚焦效果)。體育館模型屬于后者，相鄰聲線與柱面邊界碰撞后，經(jīng)過柱面焦點之后開始分離最終導(dǎo)致混沌行為的產(chǎn)生[7]。近幾年已有通過聲線混沌方法研究不同幾何空間中聲場特性的報道，如通過判定空間是否具有混沌幾何特性，并進(jìn)一步探索其聲場特性[8-11]，對于此類體育館的聲場特性分析較少見于報道。體育館模型的混沌聲線分析，對理解幾何空間對聲場特性的影響有重要作用。

體育館模型的混沌特性可以通過計算聲線系統(tǒng)的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)來判定。李雅普諾夫指數(shù)是指無限靠近的兩條軌道隨時間演化分離或者收斂的平均指數(shù)速率，正的Lyapunov指數(shù)意味著相鄰軌道會隨著時間的演化而分離，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌的特性[12]，以λ1,λ2,λ3表示不同類型系統(tǒng)所有的Lyapunov指數(shù)，即Lyapunov指數(shù)譜。Lyapunov指數(shù)對系統(tǒng)的判定如表1所示。可以看到：對混沌系統(tǒng)而言，其Lyapunov指數(shù)為正，相鄰軌道發(fā)生分離；對收斂系統(tǒng)而言，從相鄰點出發(fā)的鄰近軌道和基準(zhǔn)軌道的距離逐漸變小，最終變?yōu)橐粋€點或極限環(huán)。研究表明，Lyapunov指數(shù)與聲場的擴(kuò)散有關(guān)[13]：Lyapunov指數(shù)為正時聲線隨時間演化以指數(shù)分離，聲場趨于擴(kuò)散；Lyapunov指數(shù)為0時系統(tǒng)的聲線運動呈現(xiàn)出規(guī)律性，聲場中產(chǎn)生顫動回聲或聚焦等聲缺陷。通過計算體育館模型的Lyapunov指數(shù)，并對比體育館模型和矩形空間聲線傳播的位置和方向遍歷性，可以對體育館模型聲場均勻性進(jìn)行分析。

表1 不同符號Lyapunov指數(shù)譜的系統(tǒng)類型Table 1 The system types of different Lyapunov exponents

1 Lyapunov 指數(shù)計算

在三維空間中，聲線在空間內(nèi)壁碰撞反射，反射遵循反射角等于入射角的反射定律，通過跟蹤聲線反射后的反射點和反射線方向，得到整個反射路徑的分布。

聲線在三維空間中反射，有三種特殊情況：

(1) 聲線在反射過程中落入角落，沒有聲線反射出來；

(2) 聲線反射垂直于壁面，沒有其他方向的聲線反射；

(3) 聲線在一個平面內(nèi)反射，未經(jīng)過其他平面。

對于情況(1)和(2)，聲線失去反射的連續(xù)性；在情況(3)中，聲線雖然連續(xù)反射，卻沒有經(jīng)過所有的平面，丟失了其它平面的信息。圖1是聲線在三維矩形和體育館模型空間中碰撞反射的示意圖。

圖1 矩形空間(a)和體育館模型(b)中聲線的反射Fig.1 Ray motions in (a) rectangular space and(b) stadium model

通過聲線在體育館模型內(nèi)壁的反射，研究混沌結(jié)構(gòu)的幾何空間對聲場均勻性的影響有著重要意義。設(shè)體育館模型相對尺寸為L=5.3，W=6，H=5，矩形空間相對尺寸為L=6.8，W=6.62，H=5.1，采用Matlab 編程對聲線傳播路徑進(jìn)行模擬和混沌特性判定。對于聲線系統(tǒng)方程未知的 Lyapunov指數(shù)計算，可以采用Wolf算法[14]。Wolf算法基于跟蹤相鄰軌道的指數(shù)分離情況，通過測得實驗數(shù)據(jù)的時間序列計算出動力學(xué)系統(tǒng)的最大 Lyapunov指數(shù)，采用Wolf軌道跟蹤法根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算EL的演變和替換程序如圖2所示。

圖2 采用Wolf軌道跟蹤法根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算EL的演變和替換程序Fig.2 The evolution and replacement procedure using Wolf algorithm to estimate EL from experimental data

Wolf算法分為5個步驟：(1)t0時刻在軌道初始點附近尋找最近的一個鄰近點，用L(t0)表示初始點和鄰近點之間的距離；(2)在t1時刻這兩個點分別在基準(zhǔn)軌道和相鄰軌道上的距離演化為L'(t1)，計算這兩個點在t1時刻的距離L'(t1)與初始時刻的距離L(t0)的比值；(3)在t1時刻尋找滿足盡可能在相鄰軌道方向上，即θ角最小新的鄰近點，得到L(t1)；(4)在時刻t2重復(fù)第(2)步；(5)對上面的過程重復(fù)M次并計算指數(shù)比。從而得到Lyapunov指數(shù)的計算公式為

式中：?t=tk?tk?1，M為重復(fù)次數(shù)。L'(tk)和L(tk?1)代表歐拉距離。

在 Wolf算法中，取聲線反射路徑上與壁面碰撞的反射點作為計算數(shù)據(jù)，以反射路徑為基準(zhǔn)軌道，在相空間中構(gòu)建鄰近軌道，計算隨時間演化鄰近軌道和基準(zhǔn)軌道的分離指數(shù)，從而判斷基準(zhǔn)軌道是分離還是收斂。

通過計算，矩形空間Lyapunov指數(shù)為0。體育館模型中聲線系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)列于表2。表2中組1和組2模型的形狀有所改變，組1和組2中每個模型的形狀相同，尺寸以倍數(shù)增加。

表2 幾何形狀不同體育館模型中聲線系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)Table 2 Lyapunov exponents of ray systems in stadium model with various geometries

可以看到，當(dāng)幾何形狀確定時(模型1, 2, 3, 4)，長、寬、高比一定，Lyapunov指數(shù)相同；當(dāng)幾何形狀改變時(如模型1和模型5，長、寬不變，高度改變)，Lyapunov指數(shù)改變，因此可以得出，建筑空間幾何形狀決定著其中聲線系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)值。從表2中還可以看到，體育館模型的Lyapunov指數(shù)都大于 0，其聲線系統(tǒng)具有混沌特性。因此，體育館模型是一個有兩個正的 Lyapunov指數(shù)(EL)的超混沌結(jié)構(gòu)。體育館模型中聲線發(fā)生分離，而矩形空間中聲線收斂。

2 矩形空間和體育館模型中聲線位置和方向遍歷性

計算 Lyapunov指數(shù)時，通過時間序列考察三維矩形和體育館空間中聲線位置和方向的遍歷性。選取其中一個維度(z方向)來進(jìn)行分析，時間序列分布如圖3所示。

從圖3可以看出，在矩形空間中聲線系統(tǒng)的時間序列分布顯示出規(guī)律性，而體育館模型中聲線系統(tǒng)的時間序列有著不規(guī)則的分布。計算中選擇z方向，顯而易見，其余方向(x、y方向)聲線系統(tǒng)的時間序列分布也有同樣的規(guī)律。對于體育館模型中，由于存在兩個正的 Lyapunov指數(shù)，其聲線系統(tǒng)具有混沌特性；對于矩形空間，聲線系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為 0，聲線系統(tǒng)具有規(guī)則特性。雖然聲線系統(tǒng)時間序列分布特性不同，但在兩個空間中聲線最終充滿整個空間，即聲線反射有位置遍歷性。

圖3 三維矩形空間(a)和體育場模型空間(b)聲線路徑上等長度間隔100數(shù)據(jù)點的z值分布Fig.3 Distributions of z-values taken from 100 equally spaced points on the ray propagation paths for (a) rectangular space and (b) stadium model

再看兩個空間中聲線傳播的方向分布特性。以向量表示聲線的傳播方向，避免上述三種特殊反射情形，通過追蹤聲線反射路徑，可以得到，在3D矩形空間中，當(dāng)聲線的初始方向向量為(a,b,c)時，可以得到8種可能的傳播方向(a,b,c)，(a,?b,?c)，(a,?b,c)，(a,b,?c)，(?a,?b,?c)，(?a,?b,c)，(?a,b,?c)和(?a,b,?c)；在體育館模型空間中，用向量空間中一個點(*)表示聲線的一個方向向量。體育館模型中聲線反射 10 000次的方向向量在向量空間中x-y，y-z平面上的投影，如圖4所示。

可以看出，體育館模型空間中聲線的反射可能來自空間中不同的方向，即聲線具有方向遍歷性。由于混沌空間中聲線傳播在反射過程中趨于分離，具有初值敏感性，聲線行為趨于擴(kuò)散[13,15]。將聲線模型運用到實際聲場中，矩形空間中聲線雖然有位置遍歷性卻沒有方向遍歷性，在某一方向來回反射容易產(chǎn)生聲缺陷，導(dǎo)致顫動回聲的產(chǎn)生。相反，體育館模型中聲線不但具有位置遍歷性，還有方向遍歷性。聲線反射可能來自數(shù)個不同的方向，在某一方向上集中的情況會減少。相對于形狀規(guī)則的矩形空間，體育館空間中聲線的反射由于指數(shù)分離而擴(kuò)散。體育館空間中由于聲線傳播有著位置和方向的遍歷性，從而能夠得到更為均勻的聲場。

圖4 體育場模型中聲線方向向量在(a) x-y平面和(b) y-z平面上的投影分布Fig.4 Projection distributions of the directional vectors on (a)the x-y plane and (b) the y-z plane in stadium model

3 ODEON仿真

采用仿真軟件ODEON分別對矩形空間和體育館空間聲場均勻性進(jìn)行計算仿真，對聲場進(jìn)行網(wǎng)格劃分，比較網(wǎng)格處聲壓級，考察聲場均勻性[16]。仿真中設(shè)置聲源為無指向性，壁面材質(zhì)為Odeon軟件材料庫中提供的編號102的光滑混凝土，其吸聲系數(shù)如表3所示。在軟件中設(shè)置聲線數(shù)為1 000，脈沖響應(yīng)為1 000 ms，不考慮空氣的影響，分別計算P1、P2處的聲源激發(fā)的多個網(wǎng)格平面聲壓級。

表3 壁面材質(zhì)吸聲系數(shù)Table 3 Absorption coefficient of wall material 102

4 結(jié)果與討論

對體育館模型的兩個柱面之間矩形空間和 3D矩形空間采用彩色網(wǎng)格計算多個維度平面并做整體對比。仿真計算了中心頻率 125～4 000 Hz時平面網(wǎng)格的聲壓級。圖5為3D矩形空間聲場分布，圖6為體育館的聲場分布。由于篇幅原因，只展示了500、1 000、4 000 Hz聲壓級分布圖。

圖5 不同位置聲源激發(fā)下(a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz, (c) 4 000 Hz時3D矩形空間聲場分布Fig.5 Sound field distributions at (a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz and (c) 4 000 Hz in 3D rectangular space under the excitations of the sources at different positions

圖6 不同位置聲源激發(fā)下(a) 500 Hz，(b) 1000 Hz，(c) 4 000 Hz時體育館模型聲場分布Fig.6 Sound field distributions at (a) 500 Hz, (b) 1 000 Hz and(c) 4 000 Hz in stadium model under the excitations of the sources at different positions

對比圖5和圖6，可以看到對于不同中心頻率，聲源附近有著較高的聲壓級。在遠(yuǎn)離聲源處，體育館的聲壓級差異小于矩形空間，即體育館聲場均勻性均好于矩形空間。當(dāng)聲源位置不同時，可以得到同樣的結(jié)論。

體育館模型中聲線行為基于去聚焦機理：聲線經(jīng)過柱面焦點后分離的長期行為抵消了柱面對聲線的聚焦作用。去聚焦機理解釋了體育館模型在遠(yuǎn)離焦點的矩形位置，比3D矩形空間有更好的聲場均勻性。從聲線模型可以看出，體育館空間中聲線的位置和方向具有遍歷性，聲場中聲能分布更為均勻。為方便計算，通過設(shè)置剛性光滑反射壁面得到較長的聲線傳播路徑，由于 Lyapunov指數(shù)描述幾何空間中聲線的動力學(xué)行為是聲線運動的趨勢，需要注意的是，在足夠短的聲音路徑情況下，體育館模型的圓弧結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生聚焦。模型中多次反射是為了準(zhǔn)確計算Lyapunov指數(shù)，由于Lyapunov指數(shù)計算是針對空間幾何特性的定性描述，是聲線經(jīng)過多個壁面反射后發(fā)散的指數(shù)平均值，當(dāng) Lyapunov指數(shù)大于0時，混沌模型中聲線系統(tǒng)具有混沌特性，早期聲線反射經(jīng)過焦點后有發(fā)散的趨勢。因此，結(jié)論對圓弧結(jié)構(gòu)以外的矩形空間的觀眾席是適用的，對于圓弧結(jié)構(gòu)以內(nèi)的空間，聲音會產(chǎn)生聚焦。

附錄A中以Sinai空間為例，對基于去擴(kuò)散機理的混沌空間中聲線傳播特性進(jìn)行了探討，進(jìn)一步闡述混沌結(jié)構(gòu)對空間中聲場均勻性的作用。

5 結(jié) 論

通過對特殊體育館空間中聲線傳播路徑的研究，得出這類幾何形狀體育館模型聲線系統(tǒng)具有混沌特性，聲線傳播有著位置和方向的遍歷性。由于聲線運動的混沌特性，體育館空間中聲線路徑趨于發(fā)散，聲場分布更加均勻。通過聲學(xué)軟件Odeon對體育館和矩形空間聲場仿真，得到相對于矩形空間，這類幾何形狀體育館空間有著更好的聲場均勻性。研究是對采用聲線混沌法研究聲場特性作用的補充，也為建筑聲學(xué)里探索聲場擴(kuò)散與空間幾何構(gòu)型的關(guān)系提供了啟發(fā)。

附錄A

Sinai空間也是一個具有兩個正Lyapunov指數(shù)的超混沌結(jié)構(gòu)，聲線系統(tǒng)的混沌行為基于擴(kuò)散機理，圖 A1為 Sinai空間中聲線傳播特性。圖 A2和圖A3同樣給出了Sinai空間中聲線傳播位置和方向遍歷性信息。

Sinai空間中聲線傳播位置信息如圖A2所示。

圖A1 擴(kuò)散的Sinai空間聲線反射Fig.A1 Ray motions in the Sinai spaces based on dispersion

圖A2 Sinai空間聲線路徑上等長度間隔100數(shù)據(jù)點的z值分布Fig.A2 Distributions of z-values taken from 100 equally spaced points on the ray propagation paths in the Sinai space

Sinai空間中聲線傳播方向信息如圖A3所示。

圖A3 Sinai空間中聲線方向向量在x-y平面(a)和y-z平面(b)上的投影分布Fig.A3 The angular distribution of the directional vectors projected onto the x-y plane (a) and the circular distribution of the directional vectors projected onto the y-z plane (b) in the Sinai space