混響背景下基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的自適應(yīng)LMS濾波算法

馬 凱，王易川，陳 喆，程玉勝

(海軍潛艇學(xué)院航海觀通系，山東青島 266000)

0 引 言

最小均方誤差(Least Mean Square, LMS)算法是由Hoff和Widrow在1960年提出的，它計(jì)算量小，并且算法簡單容易實(shí)現(xiàn)[1-3]，被廣泛用于信號處理的各個(gè)方面。此外，LMS算法還可用于處理非平穩(wěn)信號[4]，這是因?yàn)樗恍枰A(yù)知信號和噪聲的自相關(guān)函數(shù)。但在固定步長的 LMS算法中，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是一對矛盾：收斂速度越快，穩(wěn)態(tài)誤差越大。針對此問題，提出了各種變步長 LMS算法[5-11]，這些算法在迭代初始階段，為獲取較快的收斂速度，采用較大步長；當(dāng)算法收斂后，為獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，采用較小的步長因子。

變步長 LMS算法的出現(xiàn)，解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，但在信混比較低的情況下，性能較差，尤其隨著現(xiàn)代主動(dòng)聲吶向低頻、大功率的方向發(fā)展，混響對主動(dòng)聲吶性能的影響日趨凸顯，如何提高算法在低信混比下的性能顯得尤為重要。利用時(shí)域和頻域結(jié)合的處理方法，包括小波變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT)[12-16]、自適應(yīng)濾波及Wigner分布可以較好地濾除混響?；诖?，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的自適應(yīng)LMS濾波算法。

1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

如果將信號的傅里葉變換看作是將信號沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π/2，由t軸變?yōu)棣剌S，則FRFT可以看作是時(shí)間軸t逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角后信號的時(shí)頻分布在u軸上的投影，其定義式為

2 變步長LMS算法

LMS算法的計(jì)算公式為

其中：x(n)為輸入信號；W(n)為自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)；d(n)為參考信號；e(n)為誤差，μ為算法的迭代步長。

變步長 LMS算法遵循的基本原則為：在算法收斂的初始階段采用較大的步長因子以加快算法的收斂速度，當(dāng)算法收斂后應(yīng)采用較小的步長因子以減小穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)算法的計(jì)算量要小。

針對穩(wěn)態(tài)誤差與收斂速度之間矛盾的問題，提出了一系列變步長 LMS算法。其中，比較經(jīng)典的是覃景繁等[8]提出的基于 Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法(Sigmoid-Variable-Step Least Mean Square,SVS-LMS)，其步長因子計(jì)算公式為

其中，α控制函數(shù)曲線的陡峭程度，β控制函數(shù)的值域大小。

由式(6)可得，當(dāng)μ>β/2并且0<μ<1/λmax時(shí)，算法收斂，其中λmax是輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值。SVS-LMS算法的步長因子μ相比于固定步長 LMS算法的步長因子是變化的，在算法迭代的初始階段，步長因子較大，因此具有較快的收斂速度；而當(dāng)算法收斂時(shí)，誤差e(n)最小，此時(shí)μ(n)也最小接近于0。但如圖1和圖2所示，該步長因子計(jì)算公式在算法收斂階段(即當(dāng)μ(n)接近 0)時(shí)，μ(n)變化較大，不具備平緩變化的特點(diǎn)，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)失調(diào)變大，并且計(jì)算公式也較為復(fù)雜。

圖1 β取值對誤差變化的影響Fig.1 The influence of the value of β on the error variation

圖2 α取值對誤差變化的影響Fig.2 The influence of the value of α on the error variation

針對上述問題，文獻(xiàn)[11]提出一種基于正態(tài)分布曲線的變步長 LMS算法，此方法在信混比較高的條件下性能較好，但在信混比較低情況下性能較差，基于此本文在分析基于正態(tài)分布曲線的變步長LMS算法的性能的基礎(chǔ)上提出一種基于傅里葉變換域的自適應(yīng)LMS算法。

正態(tài)分布曲線如圖3所示，正態(tài)分布曲線頂部相較于Sigmoid函數(shù)頂部更加平滑，并且上升和下降速度較快，其概率密度函數(shù)為

圖3 自適應(yīng)LMS濾波算法采用的正態(tài)分布曲線Fig.3 Normal distribution curve for adaptive LMS filtering algorithm

式中，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

對函數(shù)進(jìn)行簡單的反轉(zhuǎn)平移變換，并引入a、b、c3個(gè)參數(shù)以增強(qiáng)函數(shù)可控性。將誤差函數(shù)e(n)及步長因子μ(n)代入得：

下面通過仿真驗(yàn)證算法的性能。

假定輸入信號為噪聲和單頻信號的疊加，噪聲是均值為0、方差為1的高斯白噪聲。其中信號在第1 000個(gè)采樣點(diǎn)處，信噪比為0 dB，參考信號為均值為0、方差為1的高斯白噪聲，每次仿真均進(jìn)行 1 000次蒙特卡洛仿真。未知系統(tǒng)的權(quán)系數(shù)為[0.70, 0.42]，未知系統(tǒng)在第700個(gè)采樣點(diǎn)處發(fā)生時(shí)變，權(quán)系數(shù)突變?yōu)閇0.47, 0.31]，用以比較算法的跟蹤能力。

圖4為3種算法的權(quán)系數(shù)收斂圖。其中，每種算法在此條件下的最佳步長因子及參數(shù)都經(jīng)過多次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)確定，固定步長 LMS算法的步長因子μ=0.01，SVS-LMS算法的參數(shù)α=1.5，β=0.1，基于正態(tài)分布曲線的變步長 LMS算法的參數(shù)a=10，b=1，c=0.1。從圖4中可以看出，在算法的收斂速度上基于正態(tài)分布曲線的算法優(yōu)于SVS-LMS算法及LMS算法；當(dāng)未知系統(tǒng)突變時(shí)，基于正態(tài)分布曲線算法的跟蹤性能最優(yōu)，SVS-LMS算法次之，LMS算法性能。

圖4 3種算法的權(quán)系數(shù)收斂曲線圖Fig.4 Convergence curves of the weight coefficients of three algorithms (SVS-LMS, LMS and the one in this paper)

圖5為固定步長LMS算法、SVSLMS算法和基于正態(tài)分布曲線算法的均方誤差圖。從圖5中可以看出，基于正態(tài)分布曲線的算法的穩(wěn)態(tài)誤差最小，SVS-LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差較大，固定步長LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大。

圖5 三種算法的均方誤差曲線圖Fig.5 Mean square error curves of the three algorithms

這是因?yàn)榛谡龖B(tài)分布曲線算法的步長因子曲線在誤差較小時(shí)非常平緩，并且較小，所以穩(wěn)態(tài)誤差較?。籗VS-LMS算法的步長因子曲線在誤差較小時(shí)比較陡峭，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差較大；固定步長LMS算法由于步長固定且較大，所以穩(wěn)態(tài)誤差較大。當(dāng)輸入信號發(fā)生變化時(shí)，這幾種算法的穩(wěn)態(tài)誤差大小排序與未發(fā)生變化時(shí)一樣，基于正態(tài)分布曲線算法的穩(wěn)態(tài)誤差依然最小，固定步長 LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大，表明在算法的跟蹤能力方面，基于正態(tài)分布曲線的算法性能較優(yōu)。

綜上：基于正態(tài)分布曲線的變步長LMS算法在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤能力方面的性能較好。

3 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變步長LMS算法

變步長 LMS算法在信混比較高的情況下具有較好的性能。但在實(shí)際的信號處理過程中發(fā)現(xiàn)，信號的信混比通常較低，此時(shí)如果直接利用 LMS算法進(jìn)行濾波，則效果不是很理想。針對低信混比下，LMS濾波算法性能下降的問題，提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的 LMS濾波算法，算法處理流程如圖6所示。其處理過程如下：

(1) 將信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；

(2) 峰值搜索尋找最優(yōu)變換階數(shù)p和分?jǐn)?shù)階變換域峰值α0；

(3) 對參考信號d(n)進(jìn)行p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換得到D(k)；

(4) 以α0為中心對變換域信號進(jìn)行帶通濾波，濾除部分干擾；

(5) 對得到的信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉反變換；

(6) 對第(5)步中得到的結(jié)果進(jìn)行自適應(yīng) LMS濾波，得到最終輸出。

圖6 自適應(yīng)LMS濾波算法的處理流程Fig.6 Processing flow of the adaptive LMS filtering algorithm

4 計(jì)算機(jī)仿真及海試數(shù)據(jù)驗(yàn)證

下面通過海試數(shù)據(jù)驗(yàn)證算法在低信混比下的性能。發(fā)射信號為線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號，中心頻率為700 Hz，脈寬0.4 s，采樣頻率為 20 000 Hz，信號位于 30 000～38 000個(gè)采樣點(diǎn)處，信混比為0 dB。

圖7為原始信號，此時(shí)信混比較低，無法判定信號的具體位置，圖8為本文基于正態(tài)曲線的自適應(yīng)LMS算法濾波后的結(jié)果，雖然信混比有所提高，但此時(shí)混響能量依舊較強(qiáng)。下面利用本文提出的基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的LMS算法進(jìn)行處理。

圖9為LFM信號的信號能量在(p,u)二維平面上的分布，通過二維峰值搜索，尋找最佳變換階數(shù)p以及峰值α0。圖10為在分?jǐn)?shù)階變換域進(jìn)行帶通濾波，最后進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉反變換得到濾波后的信號。此時(shí)信號的信混比雖然有所提升，但混響依然較強(qiáng)。

圖7 原始信號Fig.7 The original signal

圖8 基于正態(tài)曲線LMS算法濾波后信號Fig.8 The filtered signal of the normal distribution curve based LMS Algorithm

圖9 線性調(diào)頻信號的信號能量在(p,u)二維平面上的分布Fig.9 Distribution of LFM signal energy on the (p, u) plane

圖10 “分?jǐn)?shù)階傅里葉變換—帶通濾波—分?jǐn)?shù)階傅里葉反變換”處理后的結(jié)果Fig.10 The results after “FRFT?band-pass filtering?FRFIT”processing

圖11 本文算法濾波后信號Fig.11 The filtered signal of the algorithm in this paper

圖11為本文算法濾波后的最終結(jié)果。此時(shí)已濾除大部分混響，信混比提高了約6 dB，驗(yàn)證了本文算法具有較好的性能。

5 結(jié) 論

針對低信混比下傳統(tǒng)的變步長 LMS濾波算法性能較差的問題，本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的的變步長 LMS濾波算法。算法首先對信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換濾波，濾除部分混響，再對得到的信號進(jìn)行變步長 LMS濾波。計(jì)算機(jī)仿真和海試數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)果證明了算法能較好地濾除混響，一般情況下可使信混比提高約6 dB。