混響背景下基于分數(shù)階傅里葉變換的自適應LMS濾波算法

馬 凱，王易川，陳 喆，程玉勝

(海軍潛艇學院航海觀通系，山東青島 266000)

0 引 言

最小均方誤差(Least Mean Square, LMS)算法是由Hoff和Widrow在1960年提出的，它計算量小，并且算法簡單容易實現(xiàn)[1-3]，被廣泛用于信號處理的各個方面。此外，LMS算法還可用于處理非平穩(wěn)信號[4]，這是因為它不需要預知信號和噪聲的自相關函數(shù)。但在固定步長的 LMS算法中，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是一對矛盾：收斂速度越快，穩(wěn)態(tài)誤差越大。針對此問題，提出了各種變步長 LMS算法[5-11]，這些算法在迭代初始階段，為獲取較快的收斂速度，采用較大步長；當算法收斂后，為獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，采用較小的步長因子。

變步長 LMS算法的出現(xiàn)，解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，但在信混比較低的情況下，性能較差，尤其隨著現(xiàn)代主動聲吶向低頻、大功率的方向發(fā)展，混響對主動聲吶性能的影響日趨凸顯，如何提高算法在低信混比下的性能顯得尤為重要。利用時域和頻域結合的處理方法，包括小波變換、分數(shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT)[12-16]、自適應濾波及Wigner分布可以較好地濾除混響。基于此，本文提出一種基于分數(shù)階傅里葉變換的自適應LMS濾波算法。

1 分數(shù)階傅里葉變換

如果將信號的傅里葉變換看作是將信號沿逆時針方向旋轉π/2，由t軸變?yōu)棣剌S，則FRFT可以看作是時間軸t逆時針旋轉α角后信號的時頻分布在u軸上的投影，其定義式為

2 變步長LMS算法

LMS算法的計算公式為

其中：x(n)為輸入信號；W(n)為自適應濾波器的權系數(shù)；d(n)為參考信號；e(n)為誤差，μ為算法的迭代步長。

變步長 LMS算法遵循的基本原則為：在算法收斂的初始階段采用較大的步長因子以加快算法的收斂速度，當算法收斂后應采用較小的步長因子以減小穩(wěn)態(tài)誤差，同時算法的計算量要小。

針對穩(wěn)態(tài)誤差與收斂速度之間矛盾的問題，提出了一系列變步長 LMS算法。其中，比較經典的是覃景繁等[8]提出的基于 Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法(Sigmoid-Variable-Step Least Mean Square,SVS-LMS)，其步長因子計算公式為

其中，α控制函數(shù)曲線的陡峭程度，β控制函數(shù)的值域大小。

由式(6)可得，當μ>β/2并且0<μ<1/λmax時，算法收斂，其中λmax是輸入信號自相關矩陣的最大特征值。SVS-LMS算法的步長因子μ相比于固定步長 LMS算法的步長因子是變化的，在算法迭代的初始階段，步長因子較大，因此具有較快的收斂速度；而當算法收斂時，誤差e(n)最小，此時μ(n)也最小接近于0。但如圖1和圖2所示，該步長因子計算公式在算法收斂階段(即當μ(n)接近 0)時，μ(n)變化較大，不具備平緩變化的特點，導致穩(wěn)態(tài)失調變大，并且計算公式也較為復雜。

圖1 β取值對誤差變化的影響Fig.1 The influence of the value of β on the error variation

圖2 α取值對誤差變化的影響Fig.2 The influence of the value of α on the error variation

針對上述問題，文獻[11]提出一種基于正態(tài)分布曲線的變步長 LMS算法，此方法在信混比較高的條件下性能較好，但在信混比較低情況下性能較差，基于此本文在分析基于正態(tài)分布曲線的變步長LMS算法的性能的基礎上提出一種基于傅里葉變換域的自適應LMS算法。

正態(tài)分布曲線如圖3所示，正態(tài)分布曲線頂部相較于Sigmoid函數(shù)頂部更加平滑，并且上升和下降速度較快，其概率密度函數(shù)為

圖3 自適應LMS濾波算法采用的正態(tài)分布曲線Fig.3 Normal distribution curve for adaptive LMS filtering algorithm

式中，σ為標準差。

對函數(shù)進行簡單的反轉平移變換，并引入a、b、c3個參數(shù)以增強函數(shù)可控性。將誤差函數(shù)e(n)及步長因子μ(n)代入得：

下面通過仿真驗證算法的性能。

假定輸入信號為噪聲和單頻信號的疊加，噪聲是均值為0、方差為1的高斯白噪聲。其中信號在第1 000個采樣點處，信噪比為0 dB，參考信號為均值為0、方差為1的高斯白噪聲，每次仿真均進行 1 000次蒙特卡洛仿真。未知系統(tǒng)的權系數(shù)為[0.70, 0.42]，未知系統(tǒng)在第700個采樣點處發(fā)生時變，權系數(shù)突變?yōu)閇0.47, 0.31]，用以比較算法的跟蹤能力。

圖4為3種算法的權系數(shù)收斂圖。其中，每種算法在此條件下的最佳步長因子及參數(shù)都經過多次蒙特卡洛仿真實驗確定，固定步長 LMS算法的步長因子μ=0.01，SVS-LMS算法的參數(shù)α=1.5，β=0.1，基于正態(tài)分布曲線的變步長 LMS算法的參數(shù)a=10，b=1，c=0.1。從圖4中可以看出，在算法的收斂速度上基于正態(tài)分布曲線的算法優(yōu)于SVS-LMS算法及LMS算法；當未知系統(tǒng)突變時，基于正態(tài)分布曲線算法的跟蹤性能最優(yōu)，SVS-LMS算法次之，LMS算法性能。

圖4 3種算法的權系數(shù)收斂曲線圖Fig.4 Convergence curves of the weight coefficients of three algorithms (SVS-LMS, LMS and the one in this paper)

圖5為固定步長LMS算法、SVSLMS算法和基于正態(tài)分布曲線算法的均方誤差圖。從圖5中可以看出，基于正態(tài)分布曲線的算法的穩(wěn)態(tài)誤差最小，SVS-LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差較大，固定步長LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大。

圖5 三種算法的均方誤差曲線圖Fig.5 Mean square error curves of the three algorithms

這是因為基于正態(tài)分布曲線算法的步長因子曲線在誤差較小時非常平緩，并且較小，所以穩(wěn)態(tài)誤差較小；SVS-LMS算法的步長因子曲線在誤差較小時比較陡峭，導致穩(wěn)態(tài)誤差較大；固定步長LMS算法由于步長固定且較大，所以穩(wěn)態(tài)誤差較大。當輸入信號發(fā)生變化時，這幾種算法的穩(wěn)態(tài)誤差大小排序與未發(fā)生變化時一樣，基于正態(tài)分布曲線算法的穩(wěn)態(tài)誤差依然最小，固定步長 LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差最大，表明在算法的跟蹤能力方面，基于正態(tài)分布曲線的算法性能較優(yōu)。

綜上：基于正態(tài)分布曲線的變步長LMS算法在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤能力方面的性能較好。

3 基于分數(shù)階傅里葉變換的變步長LMS算法

變步長 LMS算法在信混比較高的情況下具有較好的性能。但在實際的信號處理過程中發(fā)現(xiàn)，信號的信混比通常較低，此時如果直接利用 LMS算法進行濾波，則效果不是很理想。針對低信混比下，LMS濾波算法性能下降的問題，提出一種基于分數(shù)階傅里葉變換的 LMS濾波算法，算法處理流程如圖6所示。其處理過程如下：

(1) 將信號進行分數(shù)階傅里葉變換；

(2) 峰值搜索尋找最優(yōu)變換階數(shù)p和分數(shù)階變換域峰值α0；

(3) 對參考信號d(n)進行p階分數(shù)階傅里葉變換得到D(k)；

(4) 以α0為中心對變換域信號進行帶通濾波，濾除部分干擾；

(5) 對得到的信號進行分數(shù)階傅里葉反變換；

(6) 對第(5)步中得到的結果進行自適應 LMS濾波，得到最終輸出。

圖6 自適應LMS濾波算法的處理流程Fig.6 Processing flow of the adaptive LMS filtering algorithm

4 計算機仿真及海試數(shù)據驗證

下面通過海試數(shù)據驗證算法在低信混比下的性能。發(fā)射信號為線性調頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號，中心頻率為700 Hz，脈寬0.4 s，采樣頻率為 20 000 Hz，信號位于 30 000～38 000個采樣點處，信混比為0 dB。

圖7為原始信號，此時信混比較低，無法判定信號的具體位置，圖8為本文基于正態(tài)曲線的自適應LMS算法濾波后的結果，雖然信混比有所提高，但此時混響能量依舊較強。下面利用本文提出的基于分數(shù)階傅里葉變換的LMS算法進行處理。

圖9為LFM信號的信號能量在(p,u)二維平面上的分布，通過二維峰值搜索，尋找最佳變換階數(shù)p以及峰值α0。圖10為在分數(shù)階變換域進行帶通濾波，最后進行分數(shù)階傅里葉反變換得到濾波后的信號。此時信號的信混比雖然有所提升，但混響依然較強。

圖7 原始信號Fig.7 The original signal

圖8 基于正態(tài)曲線LMS算法濾波后信號Fig.8 The filtered signal of the normal distribution curve based LMS Algorithm

圖9 線性調頻信號的信號能量在(p,u)二維平面上的分布Fig.9 Distribution of LFM signal energy on the (p, u) plane

圖10 “分數(shù)階傅里葉變換—帶通濾波—分數(shù)階傅里葉反變換”處理后的結果Fig.10 The results after “FRFT?band-pass filtering?FRFIT”processing

圖11 本文算法濾波后信號Fig.11 The filtered signal of the algorithm in this paper

圖11為本文算法濾波后的最終結果。此時已濾除大部分混響，信混比提高了約6 dB，驗證了本文算法具有較好的性能。

5 結 論

針對低信混比下傳統(tǒng)的變步長 LMS濾波算法性能較差的問題，本文提出了一種基于分數(shù)階傅里葉變換的的變步長 LMS濾波算法。算法首先對信號進行分數(shù)階傅里葉變換濾波，濾除部分混響，再對得到的信號進行變步長 LMS濾波。計算機仿真和海試數(shù)據驗證結果證明了算法能較好地濾除混響，一般情況下可使信混比提高約6 dB。