商業銀行操作風險的度量
——基于內、外部損失數據與專家意見

戴麗娜

一、引言及文獻綜述

隨著操作風險大案要案的頻發，銀行和學術界對操作風險的重視程度越來越高。操作風險是銀行業最近幾十年才開始關注的風險，國際活躍銀行對操作風險的精確計算也才處于剛剛起步階段。操作風險完善計量體系的建立需要長期的過程，對操作風險度量的研究是當前的一個熱點。

國外對操作風險度量的研究比國內開始得早。Duncan Wilson[1]（1995）提出，VaR可以用作度量操作風險的工具，并且從理論上給出了后來被廣泛采用的操作風險的計量框架。Hoffman和Johnson[2]（1996）在信孚銀行的Risk雜志發表了標題為“Operating Procedures”的文章，文章認為度量操作風險的方法是以損失數據為基礎，計算損失的分布，并由此計算風險資金。在各種對操作風險度量的方法中，損失分布法是很重要的一個方法。2000年，以損失分布法為基礎的高級計量法被銀行業的一些技術工作小組開發出來，并且得到了廣泛深入的討論。2001年9月，巴塞爾委員會正式地把損失分布法并入操作風險高級計量法的框架中。

損失分布法方法涉及兩個分布函數：一個分布函數用來描述風險事件發生的頻率，另外一個分布函數用來描述風險的損失額。假定對第i種風險類型與給定時期t（t=1，…，M）來說，nt表示損失事件發生的頻率，Xi表示每次損失的損失額（也稱為損失強度），則操作風險帶來的總損失Lt可以表示為：

損失發生的頻率為一離散變量，損失額為一連續變量，因此nt一般假定服從泊松分布，損失額具有右偏、厚尾的特征，本文把損失額Xi假定服從對數正態分布。Cruz[3]（2004）對損失分布法做了全面的介紹。Annalisa Di Clemente和Claudio Romano[4]（2003）以損失分布法為基礎對操作風險進行度量，擬合操作風險損失分布時采用了蒙特卡羅模擬和VaR理論。損失數據缺乏是對操作風險建模時需要解決的一個主要問題。Lawrenc[5]（2000）分析了基于損失分布法在內部數據充足和不充足的情況下如何測算風險資金，提供了一種科學測算操作風險資本的思路。解決操作風險損失數據缺乏的問題也可以采用貝葉斯推斷方法。貝葉斯推斷方法能夠把多種來源的數據結合起來，因此具有很大的靈活性。Alexander C[6]（2000）利用貝葉斯方法對操作風險的計量進行研究。Degen等[7]（2007）采用信度理論與貝葉斯方法建立模型。他們分別對內部數據與外部數據建立模型之后，再用這兩種方法對基于兩種數據建模得到的結果進行處理。

國內對操作風險度量的研究還處在剛起步階段，但研究結果比較豐富。鐘偉[8]（2004）分析了高級計量法的計量原則、計量難點與使用該方法面臨的挑戰。以媒體公開報道的損失事件為樣本數據，樊欣，楊曉光[9]（2005）第一次利用損失分布法對商業銀行操作風險的度量進行研究，把損失分布法與蒙特卡羅模擬結合起來計算操作風險VaR。此文之后，周好文和楊旭等[10]（2006）結合損失分布法與極值理論進行了實證分析。他們把損失頻率與損失額度的分布分別設定為泊松分布與廣義帕累托分布，并得到了商業銀行為操作風險需要計提的經濟資本。盧安文和任玉瓏等[11]（2009）應用貝葉斯推斷估計操作風險損失分布中損失頻率、損失額度分布中的參數。張宏毅和陸靜[12]（2006）用信度理論解決操作風險損失數據不足的問題。陳倩[13]（2014）基于信度模型對內、外部損失數據進行整合。陸靜和郭蕾[14]（2012）利用POT模型與部分可信性信度模型相結合的方法混合操作風險內外部數據并且進行實證分析。

以上文獻從某一方法入手，對操作風險的度量進行了研究，研究時沒有把幾種來源的數據結合起來。本文以損失分布法、貝葉斯推斷與信度理論為基礎，把內部損失數據、外部損失數據與專家意見結合起來對中國商業銀行操作風險的度量進行研究。

二、研究方法

（一）貝葉斯方法

與貝葉斯方法有關的兩個概念是先驗分布與后驗分布，而貝葉斯公式把這兩個概念聯系了起來。

式（2）是貝葉斯公式的密度形式。π（θ│x1，L，xn）稱為后驗分布，它指的是在已知樣本下參數的條件分布。利用貝葉斯公式解決問題時需要確定先驗分布π（θ），共軛分布法是確定先驗分布的一種很常用的方法。

定義：設θ是總體分布中的參數（或參數向量），θ的先驗密度函數為π（θ），經過抽樣信息計算后，如果得到的后驗密度函數與先驗密度函數形式相同，則稱π（θ）是θ的（自然）共軛先驗分布。

本文用到的共軛先驗分布與后驗分布如表1所示。此表中，共軛先驗分布參數稱為超參數。

表1 共軛先驗分布與后驗分布表

（二）遞推公式

本文利用損失分布法度量操作風險，并且把損失頻率假定為泊松分布，把損失額分別假定為對數正態分布。因為泊松分布的共軛先驗分布為Г分布，對數正態分布（假定方差已知）的共軛先驗分布為正態分布，因此下面給出了這兩種情形下的遞推公式。

1.泊松-Г分布

假定損失頻數用N來表示，N來自獨立泊松總體，樣本個數為 n，即 Ni～π（λ），i=1，2，…，n，其密度函數為：

如果先驗分布采用共軛先驗分布，可以假定先驗分布 λ～Ga（α，β），其密度函數為：

根據貝葉斯公式，其后驗密度函數可以表示為：

∝表示式子中去掉了一些無關項之后的部分，它在后面公式中的含義相同。

把后驗分布的均值作為參數λ的貝葉斯估計值則可以寫作：

假定第i年發生的次數為Ni，從（6）式可以知道：

并由此可以得到一個遞推關系：

2.對數正態分布-正態分布

假定 X1，X2，…，Xn來自獨立同分布的樣本，并且有 Xi～LN（μ，σ2），其密度函數為：

假定標準差σ為已知的，如果假定均值分布采用共軛先驗分布，由表1可以知道，均值μ服從正態分布，即有，其密度函數為：

令 Yi=lnXi，那么有 Y～N（μ，σ2），根據貝葉斯公式有：

如果把后驗分布的均值作為貝葉斯估計值則可以寫作：

假定觀測值 Y1，Y2，…，Yk，由（13）式可以得到：

并由此可以得到遞推公式：

（三）Buhlmann信度模型

Bühlmann[15]在1967年提出Buhlmann信度模型，Buhlmann信度采用統計的方法，使預測的均方誤差達到最小的方法給出估計結果。假定Xi，i=1，2，…，n為獨立同分布樣本，它們與總體具有相同的分布，并且其分布依賴于參數θ，并且有下面的式子成立：

假定有如下的式子成立：

Buhlmann信度模型的目標是給出風險X下一期索賠額Xn+1的估計。假設風險模型不變，Buhlmann信度模型希望給出Xn+1的線性估計，即有下面的式子成立：

其中，β0，β1，…，βn是需要選擇的參數。

取得最小。

三、實證分析

中國沒有專門的商業銀行操作風險外部數據庫，僅從一些公開渠道搜集到的單個銀行的樣本數據可能不足，又因為中國商業銀行的性質非常相似，因此這里把四大國有商業銀行的損失數據放在一起作為內部數據，把除了四大國有商業銀行以外的其他非國有商業銀行的損失數據放在一起作為外部數據。這樣，一共得到了310個內部數據，267個外部數據。

（一）基于模擬數據的實證分析

這一部分以模擬數據為基礎，引入專家意見。

1.泊松-Г分布

由上一部分可以知道，Nt～π（λ），i=1，2，…，n，λ～Ga（α，β）。

現在引入專家意見，如果說專家能夠以一定的概率給出參數的均值（在這一部分，我們把這個概率統一地設定為3/4），并且有下面的式子成立：

因為 λ～Ga（α，β），求解上面的方程組可以得到參數α，β的解。利用MATLAB軟件，得出：

產生50個獨立同分布的樣本Nt～π（0.5）的樣本。根據遞推公式，可以得到：

按照上面的遞推公式，可以得到50個后驗分布參數的估計值。

如果采用極大似然方法，可以得到參數的極大似然估計：

把參數λ的貝葉斯估計與極大似然估計結果放在一個圖中表示出來可以得到如圖1所示的折線圖。

圖1 參數的極大似然估計與貝葉斯估計的折線圖

從圖1可以看出，最初幾年參數的極大似然估計值遠遠小于參數的貝葉斯估計值，但隨著時間的推移，極大似然估計與貝葉斯估計的估計結果相差越來越小。也就是說，當樣本容量比較小時，極大似然估計與貝葉斯估計有較大的差距，但隨著樣本容量的增加，極大似然估計與貝葉斯估計的差距越來越小，從圖1可以看出，在第50年，極大似然估計與貝葉斯估計的差距已經非常小了，非常接近于真值0.5。因為真實的過程是用0.5作為參數產生的隨機數，而專家假定E（λ）=0.4，因此可以看出，貝葉斯估計方法對參數的誤設沒有極大似然估計方法敏感，特別是樣本容量比較小時，這個特點更為明顯。

2.對數正態分布—正態分布

假定X～LN（μ，σ），根據上一部分假定有：

X的條件期望為：

那么，則有：

現在引入專家意見，假定有下面的式子成立：

產生獨立同分布的樣本：

Xi～LN（0.42+4），i=1，2，…，50，可以得到：

利用Matlab軟件，可以求解得到：

根據上一部分可以知道：

從而可以得到參數μ的貝葉斯估計：

而μ的極大似然估計為：

把參數的極大似然估計與貝葉斯估計放在一個圖中可以得到如圖2所示的折線圖。

圖2 參數的極大似然估計與貝葉斯估計的折線圖

從圖2可以看出，參數的貝葉斯估計比極大似然估計穩健很多，特別是在樣本容量比較小的時候，極大似然估計與參數的真實值相差非常大。當樣本容量越來越大時，兩個估計都越來越接近于真實的參數0.4。

結合以上的實證分析可以發現，對于以上分布組合而言，貝葉斯估計比極大似然估計穩健，它也沒有極大似然估計對于分布參數誤設敏感，特別是在樣本容量比較小的時候，貝葉斯估計的這個特征更為明顯。當樣本容量逐漸增加時，兩種估計方法的估計結果趨向于一致。

（二）基于損失數據的實證分析

從上面對模擬樣本數據的實證分析結果我們可以發現，貝葉斯方法與專家意見相結合得到的貝葉斯估計要比極大似然估計的結果穩定，特別是在樣本容量比較小的時候，貝葉斯估計的這個優點更為明顯。在這一部分，我們把商業銀行操作風險內、外部損失數據以及專家意見結合起來對商業銀行操作風險的度量進行實證分析。本文沒有對損失數據的損失事件類型與業務類型進行細分，只從整體上研究操作風險的度量。

1.參數的貝葉斯估計

假定專家對內部數據和外部數據的特征有一定的了解，對這兩種損失數據的分布進行估計時采用上一部分實證分析中使用的方法。

（1）泊松分布

a.內部數據

對于內部損失數據，λ～Ga（α，β），現在引入專家的意見，如果說專家能夠以一定的概率給出參數的均值（參數的均值采用樣本均值，并且，同上一部分一樣把這個概率統一地設定為3/4），并且有下面的式子成立：

利用MATLAB軟件，得到α與β估計值：

利用Openbugs軟件的MCMC算法，可以得到參數λ的貝葉斯估計為：

b.外部數據

對于外部數據，λ的共軛先驗分布為Ga（α，β），其中α，β為超參數。假設專家也以3/4的概率給出參數的均值，用這種方法可以得到：

因為 λ～Ga（α，β），利用 MATLAB軟件，得到參數α與β的估計值：

利用Openbugs軟件可以得到參數λ的貝葉斯估計為：

（2）對數正態分布

a.內部數據

假定對數正態分布的標準差已知，并且等于極大似然估計得到分布的標準差

對于內部數據，引入專家意見，假定專家以概率0.75給出均值M：

已知：

利用MATLAB軟件求解得到：

利用Openbugs軟件可以得到參數μ的貝葉斯估計為：

b.外部數據

對于外部數據，引入專家意見，假定專家以概率0.75給出均值M：

已知：

利用MATLAB軟件求解得到：

利用Openbugs軟件可以得到參數μ的貝葉斯估計為：

2.用損失分布法計算商業銀行操作風險資本

（1）內、外部數據風險資本的計算

為了估計所需要的風險資金，這里用VaR（Value at Risk）與 ES（Expected Shortfall）來測量風險。VaR 的計算公式如（49）式所示，ES的計算公式如（50）式所示。

VaR的計算通常采用蒙特卡洛模擬的方法得到，蒙特卡洛模擬方法比較適用于聯合分布解析式未知的情形。利用蒙特卡洛模擬的方法，共進行了10000次模擬，分別對內部數據與外部數據，不同置信水平與損失額度分布的VaR、操作風險資本（風險資本的計算公式見公式（51））及ES如表2、表3所示。

經濟資本=VaR-預期損失 （51）

從表2與表3可以看出，當損失頻率分布取為泊松分布，損失額分布取為對數正態分布時，基于內、外部數據得到的VaR、操作風險資本及ES在不同的置信水平相差非常大。

（2）信度的計算

因為所能搜集到的內部數據數量有限，因此這里把內、外部數據結合起來以解決樣本容量不足的問題。為了把內、外部數據結合，這里用到了信度理論。

從上一部分可以知道，

由此可以得到：

（3）混合數據風險資本的計算

利用下面的計算公式，可以得到混合數據的VaR、風險資本與ES，如表4所示。

表2 不同置信水平的VaR、操作風險資本與ES（內部數據） 單位：萬元

表3 不同置信水平的VaR、操作風險資本與ES（外部數據） 單位：萬元

表4 不同置信水平的VaR、操作風險資本與ES（混合數據） 單位：萬元

從表4可以看出，把非國有商業銀行作為外部數據引入到模型中以后，得到的經濟資本要小于單獨基于國有銀行所得到的風險資本。例如在置信水平為99.9%時，如果僅考慮國有銀行，國有銀行需要配置的風險資本為34883563萬元。如果把非國有銀行作為外部數據引入進來，國有銀行需要配置的風險資本為31124721萬元，節省的風險資本達376億多元，節省了國有商業銀行的可貸資金，極大地提高了國有商業銀行資本的流動性。

四、研究結論

本文以損失分布法、貝葉斯推斷與信度理論為基礎，結合內、外部損失數據與專家意見對中國商業銀行操作風險的度量進行了研究，研究的結果如下：

首先，基于模擬數據的實證分析表明，考慮到專家意見的貝葉斯估計要比極大似然估計的結果更穩定，貝葉斯估計對參數的誤設沒有極大似然估計對參數的誤設敏感。在樣本容量比較小時二者的估計結果相差比較大，隨著樣本容量的增加，二者的差距越來越小。因此，因為貝葉斯估計對模型誤設沒有極大似然估計敏感，在樣本容量比較小的時候，貝葉斯估計比極大似然估計更適合估計模型。

其次，貝葉斯估計能夠與專家意見相結合，能夠有效地彌補操作風險樣本容量不足的問題。在對商業銀行操作風險進行度量時，一個比較突出的問題就是樣本容量不足的問題，而貝葉斯估計能夠有效地解決這個問題。

再次，基于內部損失數據、外部損失數據以及混合損失數據得到的各個置信水平的VaR、操作風險資本及ES相差非常大。

最后，把內、外部損失數據結合起來得到的VaR、操作風險資本及ES比僅僅利用內部損失數據得到的VaR、操作風險資本及ES要小，節省了國有商業銀行的可貸資金。

本文結合貝葉斯估計對商業銀行的操作風險進行了度量。貝葉斯方法的優越性在于能夠很方便地把專家意見、信度理論等有效地結合起來，能夠有效地解決商業銀行操作風險損失數據不足的問題。因此，在對實際問題進行分析時貝葉斯方法是一種有效的方法，值得大力推廣。