非線性彈簧形態優化及可調節恒力裝置設計

徐 彥，許怡賢，方 琴，從 強，林秋紅

(1. 浙江大學航空航天學院，杭州 310027；2. 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094)

0 引 言

大型空間薄膜結構具有成本低廉、存儲體積小、質量輕、可靠性高等優點，能夠實現傳統剛性結構很難達到的性能，成為載人航天、深空探測等空間任務的應用熱點[1]。在平面薄膜天線和太陽電池陣的工程應用中，為了導入平面薄膜陣面的張拉力，并實現張拉力在熱載荷作用下保持恒定，需要設計恒力裝置。隨著薄膜陣面的尺寸越來越大，需要設計大張力恒力裝置，以提高結構基頻[2-4]。另外，大型空間薄膜陣面的支撐結構受展開沖擊力和各種外部激勵作用下容易發生不規則振動，為了防止支撐結構的振動傳遞到薄膜陣面，也需要在張拉系統中設計恒力裝置，以達到減振效果[5]。

恒力彈簧是目前最常見的恒力裝置，其隨著變形的增大而輸出載荷(拉力或扭矩)基本保持恒定，具有載荷恒定、儲能密度高、體積小等優點[6]。當單個恒力彈簧的輸出力不滿足設計要求，可以將多個恒力彈簧組合設計，從而實現輸出更大的恒定力。但實際工程應用中，發現恒力彈簧存在以下問題：輸出的力不恒定(載荷-位移分析與設計)；薄壁簧片容易失穩；裝配固定裝置優化設計(減少摩擦力)；收縮過程不按線性方向運動[7]。

近年來國內外學者致力于研究恒力機構，提出了多個設計方案[8]。恒力機構研究主要基于連桿機構準剛體模型(Pseudo-rigid-body model, PRBM)，文獻[9-10]首先提出了基于PRBM模型的恒力機構方案，通過優化剛性連桿和彈性元件，實現了恒力輸出?；赑RBM模型，更進一步地發展了另一種連桿機構方案[11]。將PRBM模型應用于MEMS系統中的電力接觸元件，可實現很小力幅的恒力輸出。Pedersen等[12]通過兩個層次的優化設計，提出了一種復雜的恒力機構方案，可以實現一定位移范圍的恒力輸出。這些恒力機構方案輸出的力不大，而且恒定力對應的位移行程不長，復雜機構帶來的不可靠、重量大和非光滑性，這些缺點限制了其工程應用前景。還有一種恒力裝置方案為主輔式恒力彈簧支吊架[13]，采用一對輔助彈簧和擺動刀形凸輪，可以實現在整個過程中機構所提供的力是恒定的。但是該方案的外包絡尺寸較大，也比較笨重，而且對凸輪的外輪廓曲線要求很高。

為了實現空間平面薄膜陣面的張拉和減振設計，有必要在包絡尺寸和重量的設計空間內實現一種大張力高穩定可調節的恒力裝置。本文采用GA算法和非線性有限元法實現非線性彈簧的形態優化設計，并基于組合結構設計張力可調節的恒力裝置。

1 恒力裝置工作原理

為了設計得到恒力特性(包括輸出力大小和補償位移行程)，恒力裝置可以采用組合結構方案，如圖1所示，裝置中主要功能部件由正剛度的線性彈簧和負剛度的非線性彈簧構成。線性彈簧的載荷-位移曲線如圖2(a)所示，具有正的結構剛度k。非線性彈簧的載荷-位移曲線如圖2(b)所示，其中ab段為正剛度段，bc段為負剛度段。兩者組合后結構的載荷-位移曲線如圖2(c)所示，當非線性彈簧的bc段負剛度設計為-k時，組合后結構的載荷-位移曲線具有恒力段de。當預調節力Fa施加于線性彈簧，其載荷-位移曲線發生平移，如圖2(d)所示。如果非線性彈簧的設計方案保持不變，則最終組合后結構的載荷-位移曲線如圖2(f)所示，從而調節恒力裝置的輸出恒定力。

圖2 工作原理

2 非線性彈簧的形態優化設計

2.1 非線性彈簧設計

負剛度非線性彈簧的設計方案如圖3所示，初始的形態曲線可以為任意的B樣條曲線，需要通過形態優化設計確定最優的形態曲線。非線性彈簧的力學模型可視為平面曲梁，一端固定，另一端為鉸接端，鉸接端是非線性彈簧的載荷輸出點。平面曲梁為細長構件，幾何非線性較強，并且能夠提供很長的位移行程。平面曲梁的形態可以用B樣條曲線來描述，采用B樣條曲線的控制點實現非線性彈簧形態的參數化。對于B樣條曲線，隨著控制點在設計空間內移動，曲線形狀也隨之調整。因此控制點的重新定位改變了平面曲梁的幾何形態，同時也改變了非線性彈簧的力學特性。

圖3 非線性彈簧設計方案

通過建立非線性彈簧的形態優化設計模型，以B樣條曲線的控制點坐標及截面尺寸為優化變量，以非線性彈簧的載荷-位移曲線為優化目標，并在一定的約束條件下即可得到非線性彈簧形態的最優結果，從而實現預先設定的載荷-位移曲線。

2.2 形態優化數學模型

形態優化的目標是為了設計非線性彈簧的形態，使其具有如圖4中實線的目標載荷-位移曲線，同時滿足恒力裝置輸出恒力大小和位移行程的設計要求。圖4中的虛線表示優化過程中一個樣本的實際載荷-位移曲線。在優化過程中，每個樣本都施加相同類型的載荷。為了設計最優的非線性彈簧形態，需要實際的載荷-位移曲線(虛線)盡可能逼近目標的載荷-位移曲線(實線)。由于無法根據兩條載荷-位移曲線的整體偏差建立優化目標，基于曲線上的若干離散點建立優化目標函數(如圖中的A～D點)。每個離散點上，兩條載荷-位移曲線的相對偏差為Fi。

圖4 實際和目標載荷-位移曲線

非線性彈簧的載荷-位移曲線偏差可表示為：

(1)

式中：N為載荷-位移曲線上離散點的個數；當彈簧未屈曲時，Fs為實際施加的載荷。

為了實現預定的恒力段位移行程ds，優化目標函數中包含位移懲罰函數f2及其權重系數Wd：

(2)

式中：ds為實際的位移行程，dmin為預定的最小位移行程。

故總的優化目標函數為：

min(f1+f2)

(3)

非線性彈簧形態優化模型中的優化變量包括:B樣條曲線控制點的坐標(xi,yi)、約束條件(一端固定，一端鉸接)、彈簧面內厚度h1和面外厚度h2等。

約束條件主要包括非線性彈簧的設計空間、彈簧面內厚度和面外厚度的取值范圍及最大應力滿足強度要求。

(4)

式中：X,Y為優化設計空間，h1max,h2max分別為面內厚度和面外厚度的最大值，[σ]為彈簧材料的屈服應力。

綜上所述，非線性彈簧的形態優化數學模型為：

(5)

2.3 形態優化設計流程及實現

非線性彈簧的形態優化設計流程如圖5所示。首先建立非線性彈簧的優化設計模型，確定多優化目標如指定的載荷-位移曲線及重量最輕，明確設計變量如工作空間、幾何尺寸、材料參數及強度等的上下限范圍。然后采用遺傳算法(GA算法)結合非線性有限元軟件ANSYS完成優化設計，創建若干組隨機的設計變量初始值，每組設計變量代表一個設計方案，將設計變量映射到彈簧的有限元模型，對每個設計方案進行非線性有限元分析，進行力學性能評估。如果評估結果符合設計要求，就會檢查終止標準。如果不符合設計要求，則生成新的設計變量創建新的彈簧設計方案，并進行新的優化迭代。最終確定非線性彈簧的最優設計方案，可以選擇擴展最佳設計方案，以更好地匹配指定的載荷-位移曲線。

圖5 形態優化設計流程

利用MATLAB遺傳算法工具箱中GA算法進行非線性彈簧形態優化設計，需要輸入適應度函數。對于非線性彈簧的形態優化問題，其目標函數和狀態變量需要利用非線性有限元法進行力學仿真才能得到，力學仿真需要借助于成熟的有限元計算程序。而ANSYS軟件由于其二次開發APDL語言成為了非線性有限元分析的首選工具。

若要完成MATLAB程序對ANSYS求解器的調用，需要實現MATLAB程序與ANSYS軟件之間的數據傳遞，而二者都有很強的文件操作功能，保證了數據傳遞的實現可行性。MATLAB在調用ANSYS軟件求解器時的數據交互過程如圖6所示。

圖6 MATLAB和ANSYS的數據交互過程

3 線性彈簧設計

3.1 剛度和強度分析

線性彈簧選用圓柱形螺旋彈簧，其設計參數主要如圖7所示。

圖7 線性彈簧設計參數

線性彈簧的剛度如下所示：

(6)

式中：G為材料剪切模量，d為彈簧線徑，D2為彈簧中徑，n為彈簧有效圈數，彈簧總圈數一般為n+(1.5～2.5)。

當彈簧承受軸向載荷F時，鋼絲剖面上作用著橫向力F和扭矩T，最大應力發生在鋼絲內側，其值為

(7)

式中：C為彈簧直徑比C=D2/d，Ks為曲線糾正因數，按經驗公式取Ks=1+0.5/C,[τ]為材料的許用應力。

由強度分析可確定彈簧鋼絲的直徑d為

(8)

為了防止線性彈簧在大幅運動中失穩，在線性彈簧的軸線位置布置非線性彈簧的鉸接端導軌，設計彈簧內徑D1大于導軌的直徑，從而實現線性彈簧的防失穩設計。

3.2 預拉壓設計

為了調控恒力裝置輸出恒力的大小，可以對線性彈簧進行預拉壓設計。如圖2所示,當線性彈簧預壓縮后，輸出恒力變小，當線性彈簧預拉伸后，輸出恒力變大。為了實現線性彈簧的預拉壓，采用如圖8所示的設計方案。線性彈簧一端死圈連接在滑塊下端面，另一端死圈固定在一個螺母上。螺母擰在導軌上，導軌的外緣加工有螺紋。通過擰動螺母，可實現線性彈簧的預拉壓。

圖8 線性彈簧預拉壓實現裝置

4 恒力裝置設計及力學分析

4.1 非線性彈簧形態優化設計

根據恒力裝置的設計空間，實現非線性彈簧的形態優化設計。非線性彈簧的載荷-位移曲線要求為：力峰值點B對應的力為30 N，位移值為15 mm；力谷點對應的力為10 N，位移值為45 mm。彈簧優化設計空間為：x方向0～30 mm；y方向0～80 mm。彈簧材料采用鈦合金，彈性模量為115E3 MPa，泊松比為0.33，密度為4500 kg/m3，屈服強度為800 MPa。非線性彈簧由B樣條曲線表征，共有7個控制點，其中第一個控制點固支，另一端約束x向位移，只能沿y向運動。非線性彈簧的面內厚度的約束條件為0.4～2 mm，面外厚度限制為5.0 mm。

根據以上參數建立形態優化模型，形態優化中調用MATLAB遺傳算法工具箱實現GA算法，其參數設置為：樣本數目為30，優化變量的二進制位數為20，代溝為0.09，變異概率為0.01，終止進化代數為100。經過形態優化設計，得到了最優的載荷-位移曲線如圖9所示，由分析結果可見實際的載荷-位移曲線逼近優化目標曲線，非線性彈簧最優形態曲線能夠滿足設計要求。

圖9 優化后的載荷-位移曲線

優化得到的非線性彈簧形態曲線如圖10所示，B樣條曲線控制點的坐標如表1所示。建立非線性彈簧的有限元模型，在ANSYS軟件中采用BEAM188單元模擬非線性彈簧，一根非線性彈簧共劃分163個單元，非線性彈簧的面內厚度為1.189 mm。非線性彈簧發生最大位移時的構型如圖11所示。

圖10 優化得到的B樣條曲線

表1 B樣條曲線控制點的坐標Table 1 Coordinates of control points of B-spline curve

圖11 最大位移時的構型和應力分布

4.2 線性彈簧性能分析

根據恒力裝置的工作原理，線性彈簧的拉壓剛度需要和非線性彈簧的負剛度相匹配，通過擬合如圖11所示的非線性彈簧的載荷-位移曲線，得到了其負剛度為0.686 N/mm。線性彈簧的材料選用SUS304，剪切模量為70 GPa。彈簧線徑為d=0.895 mm，彈簧中徑為D2=8 mm，彈簧有效圈數為n=18，原始長度為75 mm。根據式(7)可計算得到線性彈簧的剛度為0.685 N/mm。在恒力裝置工作過程中，線性彈簧的最大壓縮長度為45 mm，根據式(9)可計算得到線性彈簧的最大應力為585 MPa。

由于恒力裝置的外包絡尺寸限制，線性彈簧可以實現預拉壓的行程約為20 mm，則恒力裝置的輸出恒力可以調節的量為20×0.686=13.7 N。故可以通過預拉壓線性彈簧，可以實現恒力裝置輸出恒力的調節，恒力范圍約為[26, 54]N。

4.3 組合結構的性能分析

基于前述的非線性彈簧和線性彈簧方案，進行組合結構的性能分析和評估。在非線性彈簧有限元模型的右側鉸接端增加正剛度的Y向線性彈簧。在ANSYS軟件中采用COMBIN39單元模擬線性彈簧，其載荷-位移曲線定義見表2。線性彈簧上端固定，下端和非線性彈簧連接，非線性彈簧的約束條件同前。

表2 線性彈簧的載荷-位移曲線Table 2 Load displacement curve of linear spring

對組合結構進行靜力分析，得到了載荷-位移曲線如圖12所示，即為組合結構的最終載荷-位移曲線。由分析結果可知，當位移增加到13.7 mm時，載荷為40 N；當位移繼續增加時，即進入恒力段；當位移增加到34 mm時，載荷達到恒力段最低值40.4 N；當位移增加到45 mm時，載荷為42.2 N。恒力輸出值為40 N，恒力段的變化幅值為4.5%，位移行程滿足15～45 mm的設計要求。

圖12 載荷-位移曲線

組合結構變形過程中，右端鉸接節點的x向支座反力在18～25 N之間變化。為了校核裝置中導軌的變形情況，將導軌按兩端固支梁建模，不銹鋼導軌的長度為100 mm，截面直徑為3 mm。進行多個典型狀態的靜力學分析，得到導軌的最大側向變形為0.16 mm，可以看出導軌的變形量不大，不會引起右端鉸接節點運動過程的卡軌現象。

4.4 部組件功能設計

基于前述的組合結構設計方案和力學特性，進行恒力裝置設計。恒力裝置由外包裝盒、非線性彈簧、線性彈簧、導軌、滑塊及張拉索等組成，如圖13所示。

每個恒力裝置包含四組組合結構，每組組合結構中的滑塊上設計有2個耳板，兩根張拉索分別一端固定在滑塊的耳板上，另一端穿過裝置頂板上的孔，如圖14所示。然后繞過外包裝盒頂板上的滑輪，最后合并成一根輸出的張拉索。張拉索通過滑輪，可以改變力的方向和保持力的大小，從而實現恒力裝置輸出恒力能在±45°范圍內調節方向。

圖14 張拉索繞過滑輪組

每根非線性彈簧一端固定，另一端鉸接。固定端采用3×M3螺栓連接于恒力裝置的底板。為了保證非線性彈簧鉸接端沿著垂直于恒力裝置底板的方向運動，需要設計鉸接端的導向裝置，采用滑塊/導軌設計，如圖15所示。為了減少滑塊運動過程中的摩擦力，滑塊和導軌之間可以設計直線軸承。

圖15 基于滑塊/導軌的導向裝置

為了保護恒力裝置，防止非線性彈簧鉸接端位移過大，需要在導軌上合適的位置設計滑塊的限位裝置。在導軌相應的位置加工一個凸臺，當滑塊運動到此時被限位，從而當位移變化超出恒力段范圍時，恒力裝置有大的輸出力以進行自我保護。

恒力裝置的裝配次序如下：先將非線性彈簧鉸接端和滑塊連好，然后將滑塊和線性彈簧套在導軌上，接下來將導軌一端和非線性彈簧固定端固定在包圍盒底板，從滑塊的耳板上引出張拉索，最后將包圍盒頂板蓋上并固定導軌的另一端，將張拉索穿過頂板上的孔，最終繞過滑輪組并張拉薄膜面陣。

恒力裝置在軌服役期間要經受真空、熱循環、輻照、原子氧及碎片等空間環境的作用，需要進行環境適應性設計。恒力裝置外包圍盒采用鋁合金材料，盡可能實現密閉設計和輕量化設計，并在外側包裹柔性熱防護材料。非線性彈簧采用鈦合金，而導軌和滑塊采用和鈦合金膨脹系數較接近的不銹鋼。外包圍盒頂板上的滑輪、輪軸及支架都采用鈦合金，減少滑輪側隙在熱環境下的變化。

5 結 論

面向平面薄膜天線和太陽電池陣中薄膜陣面張拉系統的工程應用，本文研究了一種基于非線性彈簧的形態優化設計方法，并應用于可調節恒力裝置，得到了以下結論：

1)建立了非線性彈簧的形態優化數學模型，基于GA算法和非線性有限元法實現了形態優化設計，得到了非線性彈簧最優的形態曲線，力學分析結果表明非線性彈簧的載荷-位移曲線能夠逼近設計曲線。

2)提出了可調節恒力裝置的組合結構工作原理和設計方案，完成組合結構的力學特性分析，結果表明該方案能夠在較大的位移行程內輸出大張力高精度恒力。

3)通過部組件功能設計，表明恒力裝置可以實現自我保護、恒力大小/方向可調等功能。

后續將著重開展恒力裝置的疲勞性能分析，并進一步細化方案設計和環境適應性設計，最終研制樣機并開展地面試驗驗證研究。