多種形式　多元表征　多樣推理

倪小紅

摘 ?要：推理能力的培養應貫穿于整個數學學習過程中，特別是在計算數學中。然而，如何有效地培養學生在表內乘法中的推理能力，是一個值得思考的數學問題。筆者通過自身的教學實踐，以表內乘法的六類知識為教學載體，以學生自主參與的手段，借助數形結合，各種直觀模型讓學生參與算法的探討過程，幫助學生理解算理，培養學生的類比推理、演繹推理、歸納推理等推理能力，增加學生學習乘法計算的興趣。

關鍵詞：表內乘法;推理能力

一、緣起

在學生眼中，乘法計算大多是枯燥的，只要會算，算得快，算的對就夠了。教師在實際教學中常常忽視推理思想的滲透，也不知如何把握算理理解的方式和時機，想面面俱到卻往往顧此失彼。針對師生對于乘法計算教學理解上的誤區和不足，我們就需要加強在乘法計算教學中滲透推理思想，建立學生的推理能力。

“推理能力的培養應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活經常使用的思維方式。”這是《數學課程標準2011版》對推理能力的要求。它貫穿于整個數學課程的學習內容中，即圖形與幾何、數與代數、統計與概率及綜合實踐等所有內容，都是培養推理能力的載體。人教版二年級上冊《表內乘法（一）》和《表內乘法（二）》這兩個單元中多處體現了對推理能力的重視，并安排了專門的教學例題和大量的習題來培養學生在表內乘法中的推理能力。

下圖內容為課本教學例題，8的乘法口訣的編排充分利用了學習7的乘法口訣的思路，旨在喚起學生已有的知識經驗，利用知識的類比推理，自主圖1探索8的乘法口訣。

這樣的類比推理一般學生都能理解。在背誦口訣的同時，思考口訣間的聯系，自然而然能將口訣記得更深，更熟。重視這樣的推理過程既能解釋口訣的合理性，又能加強對口訣的感性認識和理解。在備課時，教材的每一個知識點在提出之前都進行該知識的合理性或產生必然性的思維準備，在教學中要充分展現推理和推理過程，并在黑板上演示出來，讓學生一起模仿，加強師生互動，逐步培養學生合情推理能力。

1討論：等號兩邊為什么能相等？

教師有意識地引導學生，在填符號時，喚起已有的乘法意義學習經驗，不僅從數據特征入手，還應抓住等式的特征展開教學。

如36和18是大數，6和9是小數，要使等式成立，小數必須是相乘才能使得數變大。再觀察36和18的共同點，發現他們都是6的乘法口訣或是9的乘法口訣。如果從6出發（圖5）：等式左邊的36表示6個6相加，18表示3個6相加，等式右邊的6×9表示9個6相加，可想而知，6個6加上3個6才等于9個6，即36+18=6×9。或是從9出發（圖6）：等式左邊的36表示4個9相加，18表示2個9相加，等式右邊的6×9表示6個9相加，所以4個9加上2個9才等于6個9，也能說明36+18=6×9。

在上面計算的教學中，我主要從以下方面入手：結合具體計算類型，運用畫圖等策略引導學生在理解的基礎上構建數學等式。在教學中可以先放手讓學生用自己喜歡的方法嘗試，再將抽象難懂的文本信息轉化為形象易懂的圖畫信息，幫助學生直觀地理清信息之間的關系;并對各種解題策略進行分析與比較，突出了畫圖整理信息的優越性。在理解的基礎上，讓學生通過自己的探索，從而獲得了解題方法，最后構建起數學等式。在構建數學等式的過程中不斷強化學生的推理能力。

2.等差數列中的推理

張景中院士認為：“計算和推理是相通的，計算要有方法，這方法里就體現了推理，即寓理于算的思想;計算是具體的推理，推理是抽象的計算。”計算的具體推理，一定意義上就是算理的理解。

（1）多種方式理解算理

在這節課中，我們主要采取了以下方式幫助學生更好地理解算理。

① 聯系舊知

在理解“等差數列求和”的計算原理時，要以學生的已有知識經驗，即加

法與乘法的聯系、乘法的意義為基礎，讓學生理解“能寫成乘法算式的條件是什么”“如何把等差數列轉化為乘法算式”，從而將所學知識融會貫通。

② 直觀模型

直觀模型是指具有一定結構的操作材料和直觀材料。這節課，我們也選擇了

數列小方塊作為直觀模型，讓學生通過動手移一移來感知整個變化過程，在操作活動中讓數與形、形與式有機結合，學生在后面的嘗試計算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗中經歷了“動作思維——形象思維——抽象思維”的發展過程。

3.乘加乘減中的推理

在教材設計中將類比推理、演繹推理、歸納推理等知識點同步呈現，讓學生在掌握和梳理知識的同時發展數學思想，真正實現知識和能力同步提高。

以乘法中的演繹推理為例：把乘加或乘減算式改寫成乘法算式

4×3+8=（）×（） ? ?3×2+9=（）×（）

6×6-12=（）×（） ? 3×4+12=（）×（）

（1）嘗試計算，列出多種算法。

師：乘加或乘減算式，應該怎么轉化成乘法算式呢？請把你的思考過程寫下來。

（2）全班交流，歸納不同算法。

生1：我算的是4×3+8，首先把4×3+8的結果算出來得20，根據口訣四五二十，寫成乘法算式4×5。

生2：我算的是6×6-12，2×6=12，6×6-12就是6個6-2個6，得4個6，所以乘法算式是4×6。

（3）對比分析，找出一般方法。

師：把乘加或乘減算式改寫成乘法算式，大家找出了兩種方法來解決。在這兩種方法中，你覺得哪種方法適用于所有算式？

生1：我覺得第二種方法是適用于所有算式的，第一種方法有局限性。

師：說說你的想法！

生1：6×6-12如果按照第一種方法，先算得數是24，口訣有四六二十四，三八二十四。但根據乘法的意義，乘法算式不能寫成3×8。

師：看來，得數只有一句口訣時，才能寫出正確的乘法算式。當口訣有2句時，就會出錯。

師：那么，第二種方法是不是適用于所以算式呢？把自己的算式都用第二種方法再算一算就知道了。

（學生用第二種方法再次計算）

師：和你之前寫出的乘法算式一樣嗎？

生（齊）：一樣。

師：看來，它的確是一般方法，適用于所有加數或減數比乘數大的乘加或乘減算式改寫成乘法算式。

（4）借助圖形，深入理解算理。

以3×2+9為例，課件出示點子圖，教師說明算理：2個3加上3個3等于5

個3，即3×5或5×3。

合理運用數學方法解決問題（擇優），也是計算教學比較關注的方面。讓學生在自己選擇更適合的方法的過程中，滲透數學思想，提升學生的推理能力。

多觀察，多思考，學生的推理就會有抓手，不知不覺就對研究乘法的知識有了興趣。著名數學家皮埃爾·德利涅說：“在數學中，當你發現兩個看似沒有共同之處的東西事實上互相關聯是一種樂趣，而在兩個問題之間建立一個支點則是一個強大的工具。”這個支點就是我們進行推理的關鍵點。我們在教學中，也要用整體、聯系的眼光看待數學的不同知識內容，讓學生在理解、推理中內化數學素養。

二、研究后感

本次實踐研究，圍繞“多種形式，多元表征，多樣推理”這一內容，通過對表內乘法中六類情況的實踐研究，結果分析等活動，獲得了以下感悟：

1.教師的感悟

在課堂上教師不是單純地強調乘法計算速度和計算正確率。更注重引導學生多問幾個為什么，讓整個課堂成為一個思考的課堂，時不時會迸射出思維的火花。雖然上課進度不是很快，但每堂課上師生互動、生生互動比較頻繁，整節課都很豐滿。我想這樣的課堂更加適合學生，讓學生更感興趣。在表內乘法的學習中注重學生對知識的理解，注重學生自身的探索操作過程，從而培養了學生的推理能力，建立了推理意識。

2.學生的收獲

剛開始學習乘法時，很多學生爭相說，“我知道，很簡單，我在暑假班學過，我還會背1-9的乘法口訣了”。通過在乘法學習中不斷地滲透推理思想，學生在課堂上變得會思考、會表達、會推理，上課積極性頗高。表內乘法學習結束后，問學生：再次學習了表內乘法，除了會背乘法口訣，你還有什么收獲？學生有的說會從一句口訣推導到另一句，不怕因忘記口訣而不會計算了。還有學生說學會了用畫點子圖的方法將乘加算式、加法算式改寫成乘法算式等等。學生的作業質量也挺高，不光會計算，還能正確運用乘法解決問題，還會試著自己推理解決較難的題目。學生們說其實乘法里蘊藏著很多有趣的秘密，找秘密的過程有點辛苦，不過我們已經學會如何尋找了。

3.有待完善的地方

不僅在表內乘法中需要培養學生的推理能力，而且在加法、除法等計算教學中也需要強化學生的推理能力，才能使學生不再覺得計算數學是枯燥的。

參考文獻：

[1]黃喆.從掌握算法到理解算理【J】.現代教學，2016（4A）.

[2]李仲梅.培養學生數學推理能力的研究【J】.成才之路，2015（26）.