立體幾何中線段長度的最值問題

◇ 北京 陶 軍(特級教師)

立體幾何中的最值問題是高中數學的難點,這類問題包括求長度、角度、面積和體積等最值,而有關線段長度的最值問題是最基本的問題,求解這類問題的通法是幾何法和向量法,本文進行例析.

例1如圖1所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,CC1的中點,點P是側面BCC1B1上一點,A1P∥平面AEF,則線段A1P長度的最小值是________.

圖1

分析1因為點A1是定點,欲求線段A1P長度的最小值,所以需確定動點P的位置.因為直線A1P繞點A1轉動時總和平面AEF保持平行,所以動直線A1P形成的平面與側面BCC1B1相交,點P就在它們的交線l上.因為交線l平行于平面AEF,側面BCC1B1與平面AEF的交線是EF,所以l∥EF.怎樣找到交線l的位置呢?只需先找到點P,它是側面BCC1B1上的一個點.考慮到E為BC的中點,取B1C1的中點P1,可知A1P1∥AE,則A1P1∥平面AEF,而過點P1且與EF平行的直線是唯一的,就是交線l,顯然l過線段B1B的中點P2,點P的軌跡是線段P1P2,所以求線段A1P長度的最小值轉化為求點A1到P1P2的距離.

解法1(幾何法)如圖2所示,取B1C1的中點P1,因為P1E∥A1A,且P1E＝A1A,所以四邊形P1EAA1是平行四邊形,所以A1P1∥AE.取線段B1B的中點P2,則P1P2∥FE,又因為AE與EF相交于點E,所以平面A1P1P2∥平面AEF,由于點P在平面A1P1P2上,又在側面BCC1B1上,故點P的軌跡是線段P1P2.在等腰△A1P1P2中,A1P1＝.取P1P2的中點M,則A1M⊥P1P2,于是,所以線段A1P長度的最小值是.

圖2

分析2因為點A1是定點,線段A1P的長度由動點P的位置決定,確定點P的位置可以引入坐標,為此考慮建立適當的空間直角坐標系,設出動點P的坐標,列出長度的表達式,借助函數的思想求A1P的最小值.

解法2(向量法)如圖3所示,以點D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則A1(2,0,2),因為點P是側面BCC1B1上一點,可設點P的坐標(x,2,z)(0≤x≤2,0≤z≤2),故

圖3

設平面AEF的法向量n＝(x0,y0,z0),因為

所以

令y0＝1,則x0＝z0＝2,n＝(2,1,2).因為A1P∥平面AEF,所以n與垂直,故

化簡得x＋z＝3,因為0≤z≤2,所以0≤3－x≤2,且0≤x≤2,解得1≤x≤2.把z＝3－x代入的表達式,整理得故當取得最小值.

例2如圖4所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為________.

圖4

分析1求點P到直線CC1的距離的最小值,就是找點P到直線CC1的垂線段PQ長度的最小值.求線段PQ的長度涉及空間上兩個動點長度的距離問題,不易處理.注意到CC1⊥平面ABCD,PQ⊥CC1,則PQ∥平面ABCD.因此,我們可以把PQ正投影在平面ABCD上,點P在平面ABCD上的正投影H落在線段DE上,點Q在平面ABCD上的正投影是點C,于是PQ＝HC,求PQ的最小值轉化為在平面ABCD上求定點C與線段DE上的動點H之間距離的最小值,就是求定點C到DE的距離.

解法1(幾何法)如圖5所示,過點P作PQ⊥CC1,Q為垂足,因為CC1⊥平面ABCD,所以PQ∥平面ABCD,過點P作PH⊥DE,H為垂足,則PH⊥平面ABCD,所以PH∥QC,且PQ∥HC,QC⊥HC,故四邊形PQCH是矩形,PQ＝HC,在Rt△CDE中,當CH⊥DE時,CH長度最小,因為,所以,故點P到直線CC1的距離的最小值為.

圖5

分析2設點P到直線CC1的距離為PQ,因為P,Q分別在線段D1E和CC1上,故可以引入兩個變量控制點P,Q的位置.

解法2(向量法)如圖6所示,以D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則D1(0,0,2),E(1,2,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),由于點P在線段D1E上,可設由此得點P的坐標為 (1－λ,2－2λ,2λ).

圖6

過點P作PQ垂直于CC1,Q為垂足,設點Q的坐標,即

綜上所述,利用幾何法求線段長度的最值,要點是先用立體幾何知識確定動點的軌跡,再用平面幾何知識求最值;利用向量法求線段長度的最值,要點是建立適當的坐標系,設出動點坐標,建立線段長度的表達式,借助向量知識把題目中的幾何條件合理轉化為代數條件,找到動點坐標的關系,把線段長度的表達式轉化為一元函數,用函數的思想求最值.