小物和小理的物理對(duì)話錄(82)
——從勻變速直線運(yùn)動(dòng)的函數(shù)圖象說起

◇ 北京 何 龍 劉亞英 孟衛(wèi)東(特級(jí)教師)

前言:小物和小理是兩名普通的高中生,他們酷愛物理,在學(xué)習(xí)物理的過程中,小物經(jīng)常向小理提出許多刁鉆而有趣的物理問題,了解他們的故事也能讓你的物理達(dá)到新的高度.

1 對(duì)話錄

小物:小理小理!可算找到你了!

小理:怎么了?跑得氣喘吁吁的.

小物:我想跟你吐槽一下,最近的物理課越來越不“物理”了!

小理:不會(huì)吧?我覺得挺好的呀.

小物:你沒發(fā)現(xiàn)最近物理課都變成數(shù)學(xué)課了嗎?一會(huì)兒函數(shù)圖象,一會(huì)兒圖象斜率,甚至還得搞清楚坐標(biāo)軸截距的物理意義!聽得我云里霧里……

小理:哈哈,數(shù)理不分家!你自己不也說了嘛,我們要弄清楚其中的物理意義.

小物:但我就是感覺怪怪的,物體運(yùn)動(dòng)就運(yùn)動(dòng),我們?nèi)フ宜倪\(yùn)動(dòng)規(guī)律就好了,畫圖、求斜率什么的感覺毫不相干啊.

小理:你要這么說,我就得批評(píng)一下你的態(tài)度了,我們學(xué)習(xí)的最終目的是解釋我們看到的現(xiàn)象,解決我們遇到的問題,創(chuàng)造我們想要的事物.數(shù)學(xué)、物理這些學(xué)科只不過是知識(shí)領(lǐng)域相對(duì)獨(dú)立而已,在面對(duì)問題時(shí),不同的學(xué)科知識(shí)都要為我所用.

小物:你說得對(duì)……

小理:而且,數(shù)學(xué)是描述物理規(guī)律、解決物理問題的有效工具,我們需要用函數(shù)表達(dá)式描述不同物理量的作用關(guān)系,實(shí)驗(yàn)得到的不同函數(shù)圖象可以極大地方便我們?nèi)シ治霈F(xiàn)象背后蘊(yùn)含的物理規(guī)律.

小物:你說得太籠統(tǒng)了,我不太明白.這樣吧,我們剛學(xué)了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)內(nèi)容,里面有好多函數(shù)圖象的分析我弄不太清楚,你能用它來解釋一下嗎?

小理:好,那咱們就用事實(shí)說話!

2 小理的解釋

物理學(xué)中的函數(shù)圖象有著雙重身份,它既是數(shù)學(xué)上對(duì)變量函數(shù)關(guān)系的圖形化展示,又是真實(shí)物理過程中某種規(guī)律的表征.如圖1所示,同樣都是對(duì)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的圖形化描述,選取作為描述主體的物理量不同,圖象結(jié)構(gòu)也不同,我們不妨來做一下簡(jiǎn)單分析.讀圖的第一步一定是弄清楚坐標(biāo)軸分別代表哪些物理量,然后再做進(jìn)一步分析.

圖1 勻加速直線運(yùn)動(dòng)的不同函數(shù)圖象表示方式

在圖1中,三幅圖的橫軸均為時(shí)間t,縱軸分別為加速度a、速度v和位移x.由于縱軸物理量只有正負(fù),所以我們可以判斷該圖只能描述一維運(yùn)動(dòng)情境,而物理量的正負(fù)則表示該矢量的方向,并不代表大小關(guān)系.在圖1-甲中,隨著時(shí)間的推移加速度始終恒定;在圖1-乙中圖象是一條傾斜的直線,斜率保持恒定,并且我們可以讀到當(dāng)t＝0時(shí),物體的初速度為v0;而圖1-丙則是一條曲線,單靠目測(cè)無法判定其函數(shù)特征.此外,利用微分思想我們還可以知道,圖1-甲中函數(shù)圖象與時(shí)間軸所圍圖形的面積表示對(duì)應(yīng)時(shí)間段內(nèi)速度的變化量;圖1-乙中函數(shù)圖象與時(shí)間軸所圍圖形的面積則表示對(duì)應(yīng)時(shí)間段內(nèi)位移的變化量.

或許你會(huì)有疑問,為什么不提圖1-丙中函數(shù)圖象與時(shí)間軸所圍圖形的面積呢?它有什么具體的物理意義嗎?其實(shí),當(dāng)你提出這個(gè)問題,就已經(jīng)開始嘗試區(qū)分物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系了.從數(shù)學(xué)上當(dāng)然可以求解圖1-丙中的面積大小,但那并沒有實(shí)際的物理意義.要說清楚這件事,我們需要先區(qū)分一下位矢和位移.

簡(jiǎn)單來說,位移和位矢都是矢量,但二者是兩個(gè)不同的概念,只不過在高中階段我們并不對(duì)其做嚴(yán)格區(qū)分.如圖2所示,位矢是在某一時(shí)刻,以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),以運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所在位置為終點(diǎn)的有向線段,如OA、OB,它們對(duì)應(yīng)于時(shí)間軸上的一點(diǎn).而位移則是在一段時(shí)間內(nèi),從質(zhì)點(diǎn)的初始位置指向末位置的有向線段,如AB,對(duì)應(yīng)的是一段時(shí)間.這樣我們不難分辨出,圖1-丙中描述的是一段時(shí)間內(nèi)位移演化過程,已經(jīng)包含了隨時(shí)間的積累.如果再求其函數(shù)圖象與時(shí)間軸所圍圖形的面積,就是位移與時(shí)間的乘積關(guān)系,在物理學(xué)中并沒有物理量與之對(duì)應(yīng).反觀a-t圖象和v-t圖象,在極短時(shí)間內(nèi)有Δv＝aΔt和Δx＝vΔt關(guān)系存在,就從物理上為數(shù)學(xué)函數(shù)圖象的涵蓋面積找到了實(shí)際意義.

圖2 位移與位矢

自然界中有著各種各樣的物理現(xiàn)象和物理過程,函數(shù)圖象等數(shù)學(xué)工具,包括我們定義的各種物理量,都是我們描述問題、解決問題的人造工具.“工欲善其事,必先利其器”,好的工具會(huì)幫助我們更便捷地達(dá)成所求.我們要學(xué)會(huì)選擇“學(xué)科工具”,以便見微知著,從不同的工具表現(xiàn)形式探究其背后的物理規(guī)律.