沿波討源悟算理

袁蘊聞

【摘 要】算理理解是開展小學計算教學的奠基石。算理是算法成立的原理，算法是算理深入的生成。教師應引導學生沿波討源，在學習計算的過程中透徹地領悟算理，悟“理”明“法”，以“理”表“法”，從而提升綜合計算能力。

【關鍵詞】算理 算理理解 小學計算教學

對于小學生來說，計算能力是學習數(shù)學基本而關鍵的能力，對其他數(shù)學板塊的學習有著直接的影響。新課程改革至今，數(shù)學教師的教學理念已經(jīng)從反復教學算法得到正確計算結果，轉變?yōu)槔斫馑憷聿⑸杀碚骰乃惴ā５螢樗憷恚坑秩绾位谒憷砝斫庹归_計算教學呢？一線教師對這些層層遞進的問題仍存在疑惑，導致計算教學浮于表面，學生難以形成優(yōu)質的計算技能。目前小學計算教學的重要任務即為厘清這些問題，并有針對性地實施有效策略，最終提升學生計算能力。

一、小學計算教學中算理的認知

在《現(xiàn)代漢語詞典》中，“算”有“計數(shù)”之義，“理”有道理;事理之義。由此可以界定小學數(shù)學計算教學中的算理為“計算的道理”。

算理是“計算的道理”，與算法有著緊密的聯(lián)系，要想生成出算法，需要根據(jù)對應的算理。正確計算的先決條件就是厘清算理，算理是直觀存在的定律，提供了準確的思考方式，確保計算準確。如果說算法是計算的方法，用來回答“怎么去計算”這一問題，那算理則是解決“為什么要這樣去算”的數(shù)學依據(jù);如果說算法是四則運算的基本陳述性知識，那算理便是一種程序性知識;如果說算法是一種外在方法，那么算理便是隱性內涵。

在數(shù)學學習過程中，學生領悟與表達算理，不僅能形成并優(yōu)化具體計算的算法，還從顯性層面反映了學生數(shù)學思維活動的過程，最終搭建出轉化數(shù)學思維方式的有效模型。進一步解讀學生獲取數(shù)學知識的步驟，以及對算理的深入探索與領悟，有助于提高學生解決不具象的數(shù)學問題的能力，并聚焦于弄清“為什么”這樣解決，在復雜的數(shù)學探索過程中優(yōu)化出多種具象的算法，實現(xiàn)由表及里，內外合一。

二、小學計算教學中算理理解的整體分析

整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的計算是小學數(shù)學計算教學中的三大領域，而加、減、乘、除運算則是教學中的四種運算方式，即四則混合運算。其中“整數(shù)四則混合運算”是中低年級學生計算學習的重點，“小數(shù)四則混合運算”及“分數(shù)四則混合運算”則是中高年級學生計算學習的難點。筆者研究并全面解析小學數(shù)學蘇教版教材中計算單元的結構案例，從整體上分析小學計算教學中的算理理解，并著重分析下面三點內容：

1.呈現(xiàn)有利于算理理解的素材

算理是計算的依據(jù)，要想理解算理，自然要清晰地呈現(xiàn)計算的依據(jù)，即有利于“算理理解”的教學素材。教師呈現(xiàn)教學素材時，還需要考慮學生的學習特點、心理需求等。一般來說，小學低年級學生對具象的素材更感興趣，并需要在操作、交流、總結后才能理解算理。所以，低年級的計算課教學，教師會借助有趣的情境圖、貼近生活的實物及數(shù)學學具盒（小棒、圓片、計數(shù)器等）來讓學生展開探究。如一年級學生學習簡單的“10以內的加減法”時，可以借助小棒的分與合來理解算理。而中年級學生已經(jīng)建立起了初步的抽象思維，教師則可以引導學生借助情境和已有的計算知識先自主探究算理，再歸納優(yōu)化算法。高年級的學生已經(jīng)具備一定的思考能力，教師可以調動學生已有的生活經(jīng)驗，借助實際問題中的數(shù)量關系或用畫線段圖的方法等來幫助理解算理。教師在展開計算教學時，要結合學生的實際情況，呈現(xiàn)出有利于算理理解的學習素材。

2.引導有利于算理理解的方式

不同學段的學生由于認知水平不同，對于算理理解的方式也各不相同。基于算理理解的視角下，對低年級學生開展教學，教師要引導學生充分調動已有的與生活相關的數(shù)學經(jīng)驗，如一年級學生初學10以內的加減法，就可以由學生已有數(shù)數(shù)的經(jīng)驗，引申出在列豎式時要注意個位與個位相加、十位與十位相加，逐步抽象出算法。對中年級學生展開教學，教師要引導學生調動已有的計算學習經(jīng)驗，再重新建構出新的算理。如學習“有余數(shù)的除法”時，學生先聯(lián)系回顧簡單的表內除法，再厘清有余數(shù)的除法的算理，最后再建構出相應的算理。對高年級學生展開教學，教師要引導學生整體探究、融會貫通、由淺入深，從已有的整數(shù)四則混合運算類比到小數(shù)、分數(shù)的四則混合運算，建立起小學階段對于已學算理的整體性感悟。如學習“分數(shù)乘法”，探究算理時想到學習整數(shù)的混合運算，乘法的含義是幾個幾相加，那分數(shù)的乘法含義只是變成了幾個幾分之一相加，透徹理解了算理，算法的生成不再是難題。教師對低年級、中年級學生的引導要更注重“點”，而對于高年級的引導則要更注重“面”，這樣才能幫助學生理解算理實現(xiàn)從“形”到“質”的跨越。

3.構建有利于算理理解的結構

算理理解和算法掌握是小學計算教學的兩大使命，并駕齊驅方能有效促進計算教學的進步。算理理解是算法合理的關鍵原理，而掌握算法是計算時能快速計算的關鍵，兩者內在統(tǒng)一，不能割裂。低年級學生理解算理以操作為主，學生會擺小棒，即為初步理解算理，這時算理和算法的呈現(xiàn)比較相似，學生具備了初步的計算能力。中年級學生理解算理的過程是半抽象的，以低年級學的“十進制”為基石，結合數(shù)學思維中已有的計算原理，衍生出比較便捷的列豎式的計算方法，或是估算的快捷方法等，算理和算法不再是相似的，而是演化成了建立在算理認知基礎上的再建造出的算法。高年級學生理解算理的過程要調動已經(jīng)掌握的數(shù)學思想及一些基本概念，從已建構的知識結構中，遷移出適合自己的算法，算理與算法呈螺旋狀上升趨勢，交互共進，密不可分。不同學段的學生，對于算理理解的結構也不相同，但結構的構建是慢慢遞進和系統(tǒng)化的，教師在教學中要注重構建有利于算理理解的結構。

三、小學計算教學基于算理理解的有效策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確提出：“教師要注重學生理解和掌握計算基礎知識、技能，不僅要讓學生掌握技能操作的程序與步驟，還要學生理解程序和步驟的道理。”在計算教學中，學生要基于算理理解再優(yōu)化計算方法，這樣學生才能體會到算法的合理性及科學性，而不是死記硬背，教師授人以“漁”的重要性也體現(xiàn)在此。

1.借助經(jīng)驗，尋找算理理解突破口

學生已有的數(shù)學經(jīng)驗，就是學生學習數(shù)學的興趣所在、源頭所在，學習是利用原有認知和經(jīng)驗主動建構來理解新知，在已有經(jīng)驗基礎上再加工，找到算理理解的突破口。教學不能忽視已有經(jīng)驗，應該借助經(jīng)驗順勢而上，許多算理都若隱若現(xiàn)地藏在學生的生活中。如在蘇教版數(shù)學三年級下冊“混合運算”一課的情境圖中，小明買2盒水彩筆，付出50元，問題是：應找回多少元？學生根據(jù)生活經(jīng)驗，討論后都提出要先算出2盒水彩筆花了多少元，才能算出找回的錢。由此可見，學生對這一類型題目的算理已經(jīng)理解了。學生借助已有經(jīng)驗，敲開了學習計算新知的算理大門，輕松地尋找到了算理理解的突破口。

2.巧用直觀，構建算理理解支撐點

課堂上常出現(xiàn)學生表述不清楚算理的情況，但學生的思維卻是直觀的，這是深入構建算理理解的關鍵抓手。直觀的方式有很多，學生面對模型直觀、幾何直觀、實物直觀、操作直觀等都能很具體地進行思維創(chuàng)造，從而深化算理理解。如蘇教版數(shù)學二年級上冊“表內除法”一課中的例題借助“分桃子”“分小棒”這種直觀操作，讓學生在動手中建構平均分的概念，從而引出除法算式的算理。基于算理理解的小學計算教學，教師要注重巧用直觀的方式，引導學生在直觀中探索數(shù)學計算知識，經(jīng)歷觀察、討論、探索、歸納等過程，這樣既能培養(yǎng)學生在直觀后的思維能力，又能促動學生對算理理解有深度感悟。

3.合理遷移，促進算理理解再創(chuàng)造

在計算教學中，隨著年級的提高，學生通過對算理理解的深化，會創(chuàng)造出多樣化的算法，教師就要把握好結構上的聯(lián)結點，引導學生經(jīng)歷從已有經(jīng)驗到直觀認知，再遷移出新的算理，最后創(chuàng)造出最優(yōu)化算法的過程。如在學習蘇教版數(shù)學三年級上冊“同分母分數(shù)的加減法”一課時，學生發(fā)現(xiàn)分母表示的都是幾分之一，只要看分子加起來一共有幾個幾分之一。這就關聯(lián)了整數(shù)加減法，找到了它們的相同之處。在明晰算理后，學生自然也就討論出了同分母分數(shù)加減法的運算法則，即分母不變分子相加減。原本不會的數(shù)學知識，在合理遷移下，學生對新知識對應的算理有了不一樣的解讀。

計算教學是小學數(shù)學教學中的重中之重，算理理解這一奠基石，對培養(yǎng)學生的思維能力、提高學生的計算能力、改善學生的答題習慣有著至關重要的作用。作為教師，要利用策略引導學生深層理解算理，扎實把握算法，雙管齊下為學生學習計算提供有效保障。悟“理”明“法”，以“理”表“法”，提升學生綜合計算能力，發(fā)揮算理理解在計算教學中的育人價值。

注：本文系江蘇省教育學會“十三五”規(guī)劃重點課題“基于算理理解的小學計算教學策略研究”（課題編號：18B4J3SZ45）的研究成果之一。