多元統(tǒng)計(jì)分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

陳蕾蕾

（西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

1 數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的現(xiàn)狀

由于目前高校在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中[1]，仍普遍存在教學(xué)方式古板、單一、純理論的現(xiàn)象，學(xué)生們單單掌握理論還不夠，需要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方式，理論知識(shí)的實(shí)踐化更適應(yīng)社會(huì)科學(xué)技術(shù)的變化。知識(shí)儲(chǔ)存不足，學(xué)生在課堂上無法接觸到更多的知識(shí)，這使得學(xué)生的自學(xué)能力變得尤其重要。學(xué)生缺乏應(yīng)用能力，將數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)中，將理論知識(shí)和實(shí)際生活中的問題有機(jī)結(jié)合，在兩者之間構(gòu)造了一座橋梁，激發(fā)學(xué)生的興趣，學(xué)生自發(fā)的學(xué)習(xí)擴(kuò)展，引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的探討應(yīng)用能力。在各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，可以鍛煉和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

2 多元數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)

在對(duì)現(xiàn)實(shí)中的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)等現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)及解讀時(shí)，由于現(xiàn)象的發(fā)生不僅僅被一種指標(biāo)所控制，大多數(shù)的各類現(xiàn)象具有多維特征。所以經(jīng)常需要用多個(gè)指標(biāo)進(jìn)行描述、測(cè)量和分析現(xiàn)象的特征和狀態(tài)。

理論上，多個(gè)變量分開，一次研究一個(gè)變量或者兩兩進(jìn)行研究之間的關(guān)系，雖然簡(jiǎn)單，但它的缺點(diǎn)也很明顯，沒有考慮到變量之間的相互關(guān)系，分開研究會(huì)導(dǎo)致變量之間的相互關(guān)系在處理一開始就丟失了，會(huì)對(duì)最終模型的精度影響極大。因此，采取多個(gè)變量合在一起研究的方法，多元統(tǒng)計(jì)分析方法就十分有效，揭示了變量之間的內(nèi)在相互關(guān)系，經(jīng)過檢驗(yàn)，這種分析結(jié)果通常有效，也比較典型。

多元數(shù)據(jù)的處理[2]也是構(gòu)建模型的關(guān)鍵，它極大可能影響數(shù)學(xué)建模的結(jié)果和精度，也是引起誤差的重要原因之一。數(shù)據(jù)處理常見的有數(shù)據(jù)的初步處理，即對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，按類匯總，計(jì)算頻數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等，甚至可以利用SPSS對(duì)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖、曲線圖、折線圖、直方圖、雙軸圖、面積圖等，觀察數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢(shì)；在競(jìng)賽中還經(jīng)常用的方法有插值和擬合的思想，插值思想一般可分為拉格朗日插值、分段插值、樣條插值等，不同的插值方式，得到的插值數(shù)據(jù)以及曲線的光滑程度是不一樣的，如何選擇就是關(guān)鍵。而擬合一般可以分為線性擬合、多項(xiàng)式擬合和曲線擬合。而在SPSS操作中，可以選用關(guān)于多種擬合參數(shù)的模型，來實(shí)現(xiàn)擬合度對(duì)比，以便尋找到最優(yōu)擬合參數(shù)曲線模型。

3 多元統(tǒng)計(jì)分析模型的大致流程

（1）提出問題和確定目標(biāo)。由于實(shí)際問題的錯(cuò)綜復(fù)雜，變量數(shù)量之多、變量之間的關(guān)系復(fù)雜，因而需要在復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中確定問題的目標(biāo)。

（2）選取和設(shè)置指標(biāo)。需要查閱文獻(xiàn)，需要相關(guān)理論的支持，指標(biāo)體系的選取一定程度上決定模型的精度。指標(biāo)的選取還是基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)特性，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，基于推論，運(yùn)用分析策略構(gòu)建模型。

（3）搜集、整理、處理統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。多元統(tǒng)計(jì)分析模型的建立是在指標(biāo)變量的樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，選取的指標(biāo)數(shù)據(jù)質(zhì)量決定了模型的作用。在整理、處理數(shù)據(jù)時(shí)，大致有剔除異常數(shù)據(jù)、對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)格化、標(biāo)準(zhǔn)化等數(shù)據(jù)處理，以便后續(xù)模型的建立。數(shù)據(jù)處理時(shí)有一些常見的錯(cuò)誤，由于缺乏對(duì)實(shí)際問題領(lǐng)域知識(shí)的理解，會(huì)出現(xiàn)大量的錯(cuò)誤，辛普森悖論，以偏概全，抽樣過程中，樣本無法代表總體的真實(shí)情況。

（4）根據(jù)問題及數(shù)據(jù)的特征，選擇合適的多元統(tǒng)計(jì)分析方法，構(gòu)造理論模型。若研究多變量之間的關(guān)系，可采用因子分析、主成分分析、回歸分析、典型相關(guān)分析等方法，若研究的是事物分類，則可選用聚類分析、判別分析等工具。

（5）利用SPSS等計(jì)算軟件，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，參數(shù)估算模型。

（6）模型的檢驗(yàn)與調(diào)試。對(duì)模型的檢驗(yàn)是必不可少的，如果檢驗(yàn)不達(dá)標(biāo)，就需要對(duì)模型調(diào)試直至得到相對(duì)滿意的模型。

（7）模型的應(yīng)用。

4 SPSS在多元統(tǒng)計(jì)分析策略中的應(yīng)用

SPSS在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用[3]，尤其是在多元統(tǒng)計(jì)分析策略中的模型的構(gòu)建、求解、檢驗(yàn)，并且SPSS操作簡(jiǎn)單，容易上手。SPSS的數(shù)據(jù)編輯器、輸出等界面，通過現(xiàn)有的菜單和對(duì)話框操作，圖表類型的輸出，操作者幾乎可以完全自動(dòng)的對(duì)自變量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理、篩選、模型優(yōu)化、檢驗(yàn)等工作，使得在分析數(shù)據(jù)和建模的過程中，變得更為直觀。

多元回歸分析主要應(yīng)用為預(yù)測(cè)、控制分析，尋找多變量之間的關(guān)系，在各個(gè)領(lǐng)域都能看到這種處理手段，構(gòu)建多元回歸模型時(shí)，首先要找到相關(guān)性強(qiáng)的變量，尋找變量通常采用逐步回歸法，對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化，即數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化，選入變量，修正參數(shù)以至達(dá)到要求，對(duì)變量采用F檢驗(yàn)，決定該變量是否應(yīng)該剔除；然后利用最小二乘法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，定下假定，目的是最終的參數(shù)的表達(dá)是唯一的。多元回歸模型的檢驗(yàn)，只要是進(jìn)行擬合優(yōu)度檢測(cè)、方差顯著性檢驗(yàn)、參數(shù)顯著性檢驗(yàn)；模型的預(yù)測(cè)或控制。

模型的優(yōu)化，可以從自變量出發(fā)，變量之間的關(guān)系可能還存在多重共線性問題、異方差問題、自相關(guān)問題，確定發(fā)生的問題，對(duì)存在的問題進(jìn)行分類的處理，由此提出了一些可以優(yōu)化的模型建立思路。SPSS成非統(tǒng)計(jì)專業(yè)的學(xué)生就解決數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽問題的有力工具。

5 多元統(tǒng)計(jì)的相關(guān)分析方法

5.1 圖表相關(guān)分析

簡(jiǎn)單來講，就是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理，即繪制圖標(biāo)，可以是散點(diǎn)圖或折線圖等，繪制成圖表后，數(shù)據(jù)的趨勢(shì)和聯(lián)系就可以由圖可得，實(shí)際應(yīng)用中散點(diǎn)圖更為廣泛，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖去除了時(shí)間維度的影響。單一圖表相關(guān)分析往往是缺乏說服力和可信度，所以需要對(duì)相關(guān)關(guān)系進(jìn)行度量，因此需要使用協(xié)方差及協(xié)方差矩陣分析。

5.2 協(xié)方差及協(xié)方差矩陣分析

通過計(jì)算協(xié)方差和協(xié)方差矩陣，度量變量之間的相關(guān)性。協(xié)方差是衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，如果協(xié)方差為正值0，說明兩個(gè)變量正相關(guān)，變化的趨勢(shì)一致，如果協(xié)方差為負(fù)值，說明兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān)，若協(xié)方差為0，說明兩個(gè)變量相互獨(dú)立。涉及3個(gè)變量，即x,y,z，使用協(xié)方差矩陣計(jì)算，互相兩兩變量之間的協(xié)方差矩陣構(gòu)成協(xié)方差矩陣。

5.3 相關(guān)系數(shù)分析

相關(guān)系數(shù)是反應(yīng)變量之間密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以下是相關(guān)系數(shù)的計(jì)算關(guān)系：

其中：rxy是樣本的相關(guān)系數(shù)，Sxy表示總體樣本的協(xié)方差，Sx表示樣本為X的標(biāo)準(zhǔn)差，Sy表示為樣本為Y的標(biāo)準(zhǔn)差。

相關(guān)系數(shù)越靠近0相關(guān)性越弱，而越靠近1相關(guān)性越強(qiáng)。

6 數(shù)學(xué)建模思想融入高等教育

數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ)到深入，粗略到高精度，不斷優(yōu)化的過程，這就需要不斷學(xué)習(xí)和研究，提前將這種數(shù)據(jù)建模思想融入高等教學(xué)中，雖然是一個(gè)任重而道遠(yuǎn)的任務(wù)，但是可以在潛移默化中提高學(xué)生們的建模能力，思考問題的能力，鍛煉了學(xué)生們的邏輯能力以及書寫學(xué)術(shù)論文的能力，積累經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新建模能力。

數(shù)學(xué)建模是一種解決實(shí)際問題的過程，頭腦風(fēng)暴，通過問題的數(shù)據(jù)、性質(zhì)、機(jī)理，對(duì)實(shí)際問題的求解及優(yōu)化的過程，亦是一種理論的實(shí)踐化過程，對(duì)數(shù)據(jù)信息的處理過后，通過抽象假設(shè)、引進(jìn)變量，通過數(shù)學(xué)理論知識(shí)表達(dá)實(shí)際問題、求解實(shí)際問題。針對(duì)理論與實(shí)踐的一種思維的培養(yǎng)，在高等教育中，開設(shè)數(shù)學(xué)建模和模型賞析的課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的各方面能力有極大的提升作用。

在日常教學(xué)過程中可以滲透建模的模型知識(shí)以及建模的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)應(yīng)用性，對(duì)數(shù)學(xué)建模乃至數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣以及積極性，突出學(xué)生的主動(dòng)性，掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法。

在高校可以鼓勵(lì)參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，成立教師教學(xué)研究和指導(dǎo)團(tuán)隊(duì)，加強(qiáng)教學(xué)能力和宣傳力度，提高學(xué)生的參與感，在競(jìng)賽中不僅鍛煉了能力，還提升了研究學(xué)術(shù)上的能力。

7 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中大數(shù)據(jù)的賽題，基本上都能通過多元統(tǒng)計(jì)分析構(gòu)建和求解模型，并得到進(jìn)一步優(yōu)化的模型。在高等教育中，也要將數(shù)學(xué)建模的思想應(yīng)用在課堂教學(xué)上，激發(fā)學(xué)生們的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)他們理論知識(shí)的實(shí)踐能力，也提升高等教育的教學(xué)效果。