車輛系統的非線性動力學研究進展

袁蒙蒙

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031）

1 概述

隨著車輛運行速度的提高，車輛動力學研究得到了快速發展?？紤]到實際工作狀況下存在很多非線性的影響因素，以往對實際工作情況簡化的模型存在很多局限性。因此對車輛系統運行性能分析與優化的過程中，就很有必要結合非線性動力學進行簡化分析。

國內外學者已經對車輛系統的非線性動力學作了大量研究。曾京等人已經對鐵路客車系統的橫向穩定性進行了研究[1]。通過理論分析和滾動臺試驗，得到了車輛系統的蛇行運動的兩種主要分岔圖。又通過一系列數值模擬，仿真計算，得出線性臨界速度只能描述平衡位置小范圍內的局部穩定性，而只有非線性臨界速度才能描述系統大范圍內的穩定性問題。通常非線性臨界速度要低于線性臨界速度，又考慮到實際工況中存在很多非線性因素且不可忽略，故采用非線性臨界速度來作為衡量系統穩定性的標準。尤其是對系統作定量分析時，以非線性臨界速度作為系統穩定性的評判依據顯得十分重要。因為通過實例計算得出，客車系統蛇行失穩后將分岔處極限環振動，且極限環的復制是隨車速的提高而增大的，直至出現輪對的脫軌。

2 車輛系統及零部件的蛇行運動及Hopf 分岔的研究

2.1 車輛系統零部件的Hopf 分岔研究

國內外眾多學者從車輛系統的零部件包括輪對、轉向架等到整個車輛系統做了分析研究，對于車輛系統性能及其零部件的規格尺寸的優化提供了大量可靠的依據。高國生、張雪峰、楊紹普等人對車輛系統的零部件作了分析研究[2～3]。這對不同車型的設計和優化都有一定指導意義。而曾京、劉宏友、高學軍、丁旺財、王勇等人，分別針對整個車輛系統作了Hopf 分岔和蛇行運動研究，包括機車、高速客車、貨車等車輛系統，其結論的一致與相似性，都反映了非線性動力學在車輛系統性能分析優化過程中具有很重要的作用。

國外的一些學者早在上世紀80 年代已通過數值模擬，得到了輪對的典型分岔圖，并且得出分岔圖的形狀與軌距和輪軌接觸參數有關[4～5]。高國生等人針對輪對在直線軌道上運行狀態，分析了速度與極限環幅值之間的關系。通過數值計算得出了該系統蛇形運動的臨界速度VC為40.15m/s。當V＜VC時，機車橫向振動的平衡位置是漸進穩定的，機車受到擾動后，機車振動逐漸衰減。當V＞VC時，機車受到任意小的橫向擾動，機車橫向振動逐漸增大趨近于分岔解。

車輛系統的亞臨界Hopf 分岔特性發現的較早[6]。張雪峰等人針對Cooperrider 簡單轉向架模型，通過數值模擬，仿真計算得出了轉向架亞臨界Hopf 分岔圖并且研究了轉向架系統中一些重要非線性力對Hopf 分岔點的影響。通過分岔理論的數值方法結合變步長的四階龍格-庫塔法求解出轉向架的亞臨界Hopf 分岔圖，如圖1 所示。得出如下與前文相似的結論：轉向架以小于非線性臨界速度運行時是穩定的，輪對、轉向架橫向機搖頭位移均趨于零，其相圖為一漸進穩定的焦點，如圖2 所示。當速度超過線性臨界速度VC時，任何微小的橫向擾動都將引起大振幅極限環振動。如圖3 所示，通過后續的數值模擬分析出輪軌蠕滑力及輪緣接觸的非線性是引起轉向架亞臨界Hopf 分岔的重要因素。二系縱向抗攝像阻尼減震器的阻尼，蠕滑力模型中斜率與非線性臨界速度成正相關。踏面斜率、摩擦系數與非線性臨界速度成負相關。該結論與Ahmadian 等用漸進法研究單個轉向架的穩定性得出的結論高度一致。

圖1 亞臨界Hopf 分岔圖

圖2 漸近穩定的焦點

圖3 極限環振動

2.2 對整體車輛系統作蛇行運動及Hopf 分岔研究

學者不僅僅從車輛系統的零部件作Hopf 分岔研究，也從整體車輛系統做了蛇行運動分岔研究。姚加東和高學軍等人對于機車車輛系統做了研究，劉宏友和丁旺才等人對高速客車車輛系統做了研究。曾京，王勇等人對貨車車輛系統做了研究。不同的車輛系統對應不同的臨界速度，但是其Hopf 分岔特性是一致的。這對沿街整列車的運動特性及速度選擇具有一定的指導意義。

在以前很多關于車輛橫向穩定性分岔問題中，往往側重Hopf 分岔的參數條件，對Hopf 分岔后周期解的變化過程研究較少，學者高學軍運用延續算法對Hopf 分岔及分岔后極限環的解分支進行連續追蹤，討論Hopf 分岔的類型和分岔過程中出現的多種非線性動力學現象[7]。從中不但確定了系統的穩定解曲線，同時也確定了系統的不穩定解分支曲線。如圖4 和圖5 所示，通過分析得出車輛系統無論是在低速或高速的情況下，在某些速度區間內，存在多種擺振形式共存現象。此時就應該采取相應措施控制其初始擾動。丁旺才等人針對某高速客車車輛系統的半車模型進行了數值模擬與仿真計算，得到了車輛系統發生蛇行運動時的臨界速度及分岔后各運動狀態的轉變過程[8]。結果表明系統超過臨界速度后會發生復雜的動力學行為，包括單周期、兩周期、混沌運動等。在輪軌碰撞方面，系統超過臨界速度以后，先由對稱碰撞轉變為不對稱碰撞最后又轉變為對稱碰撞，運動形式十分復雜。有可能出現跳軌和脫軌情況，所以為保證行車安全，車輛行駛速度一定不能超過臨界速度。

圖4 1 位輪對最大橫向位移分岔

圖5 1 位輪對橫向位移

根據過去的研究，非線性車輛系統的蛇行運動一般會出現如圖6 所示的分岔情況[9-10]。圖6 中，A 點為Hopf分岔點，這時系統有一對純虛根存在，而其余特征根均具有負實部，A 點的車速值則定義為線性臨界速度。拐點C為系統的鞍結分岔點，是極限環出現和消失的分界點，其車速值定義為非線性臨界速度。但是從以往對車輛系統的穩定性的數值計算來看，極限環和非線性臨界速度的計算耗費時間長，不宜進行參數變化的研究。還有某些因素導致車輛系統中存在一些強非線性環節，很難進行線性化處理，從而無法計算Hopf 分岔點來確定線性臨界速度。因此，鄔平波等人針對車輛系統普遍具有磁滯現象這一特點，提出了一種快速計算線性和非線性臨界速度的新方法。曾京等利用該方法針對以高速客車進行了懸掛參數對車輛系統穩定性影響的研究，驗證了該方法的可行性，并得知抗蛇形減振器阻力、二系橫向減震器阻尼值均與非線性臨界速度成正相關。

在實際運行的狀況下，由于車輛的輪軌關系，車輛會關于軌道中心線存在對稱和不對稱的兩種狀態。高學軍等人定義了對稱系統對稱性分岔概念，并且提出了“合成分岔圖”的構造方法[11]。由數值積分得到系統的時間相應并建立對稱輪軌系統的離散動態Poincare 映射截面及其對稱截面，然后將通過Poincare 截面和其對稱界面構造的分插圖通過一定的方式疊合在一起。利用該方法構造的分插圖不僅可全面分析對稱輪軌系統的實際運動形式及其演化過程，而且也可確定系統運動關于軌道中心線的對稱/不對稱運動狀態。然后又針對某一具體的轉向架，利用該方法進行了大范圍內的對稱/不對稱分岔行為和混沌運動進行了分析研究。研究表明，對稱的非線性輪軌接觸關系下轉向架系統會存在不對稱的運動狀態，包括周期運動、混沌運動以及夾雜其間的若干多周期運動。這種多運動狀態共存的情況會引起系統振動幅值的突然變化，增加旅客的不舒適度，因此要盡量避免。

圖6 車輛系統的分岔與極限環圖

3 展望

過去研究者們對運行在直線軌道上的車輛系統進行了數值模擬與仿真計算，而對曲線軌道上運行的車輛很少涉足。這是因為較小玩到往往出現輪緣貼靠現象，車輛系統不會發生蛇行失穩。但隨著車速的提高，軌道的最小曲率半徑也在不斷提高。線路的最小曲率半徑也隨之提高，但是在大半徑曲線上，車輛系統在各種因素的組合下仍有可能發生蛇行失穩。因此研究車輛系統的蛇行失穩情況不僅僅局限于直線軌道，也應該考慮到實際運營情況，研究車輛系統在大半徑曲線上的失穩也是有必要的。后續應該再對這兩種不同道路上蛇行失穩進行對比分析，探究具體的失穩機理是否一致。

在日常的運行中，車輛運行速度通常不會高于車輛臨界速度，然而因多種因素嚴重磨損的車輪胎可能導致車輛實際的臨界速度低于車輛運行速度的情況，因此不能僅僅側重研究Hopf 分岔的參數條件，同時也要注重Hopf 分岔后周期解的變化過程，充分了解車輛運行速度高于臨界速度是車輛系統的相關動力學行為。