電動車用輪轂電機的負載磁場解析計算*

張河山，鄧兆祥，楊明磊，羅 杰，徐 進

(1. 重慶交通大學交通運輸學院，重慶 400074；2. 重慶大學汽車工程學院，重慶 400044；3. 同濟大學汽車學院，上海 200092)

前言

應對全球能源危機和環境惡化的嚴峻挑戰，近年來各種形式的電動汽車成為世界各國汽車工業發展的熱點。其中，輪轂電機驅動的電動汽車成為一個新的研究方向[1－2]。在這種驅動方式下，驅動電機、傳動機構以及制動系統最大化地集成在車輪輪轂內，實現了四輪的獨立控制，取消了傳統燃油車的變速器和離合器等傳動部件，極大簡化了整車布置，提升了控制效率，有利于實現機電一體化[3－4]。

永磁電機具有效率高、功率密度高和壽命長等特點，廣泛應用于電動汽車的驅動電機。直驅式輪轂電機通常采用外轉子永磁電機，為降低轉子質量和體積，永磁體通常采用表貼式和表面嵌入式兩種安裝方式，后者相比于前者具有較多優勢，例如表面嵌入式磁體結構能夠提供磁阻轉矩，減小渦流損耗，擁有較好的弱磁能力以及較高的機械強度[5－6]。因此本文中的輪轂電機也采用外轉子表面嵌入式磁體結構。由于輪轂電機定轉子鐵芯都為開槽結構，且定子槽為半開口結構，繞組為分數槽集中式布線。建立準確刻畫定轉子開槽效應的磁場解析模型難度較大，特別是氣隙磁場的準確性難以保證。

常用的分析方法有有限元法和解析法。有限元法作為一種常用的分析方法具有很多優勢，例如可以構建較復雜的幾何結構，考慮鐵磁材料的非線性特性以及磁飽和效應。但是在電機設計初期和性能優化階段，電機的結構和尺寸變化時須反復建模、設定邊界條件、劃分網格，建模過程復雜，計算耗時、耗資源。而解析法具有較高的靈活性，在改變設計參數時，無須反復建模，具有較高的效率，方便探討設計變量與性能參數的映射關系。常用的解析法有等效磁路/網絡、保角變換、子域分析技術。等效磁路/網絡法可以考慮鐵磁材料非線性特性以及磁飽和效應，但只能粗略計算電機性能，不能處理復雜磁場問題，不能考慮齒槽效應，計算誤差較大，通常用于初始設計階段[7]。將永磁體等效為面電流，通過保角變換將有槽的求解域轉化為無槽域，通過坐標變換來考慮齒槽效應[8]。但忽略了由于共形映射引起的磁體形狀和氣隙磁密積分路徑的變形，導致齒槽轉矩的計算誤差[9]。基于泊松和拉普拉斯方程的子域分析技術具有很高的精度，因為它可以準確刻畫復雜的幾何結構，準確計算定轉子開槽對氣隙磁場的影響[10－11]。因此，子域分析技術被廣泛應用于各種類型的電機磁場分析。文獻[12]～文獻[15]中利用子域分析技術集中研究了定子無槽的表面嵌入式永磁電機，將電樞繞組假設為面電流，可以預測空載氣隙磁密、電樞反應磁場、電磁轉矩和永磁體損耗等性能。文獻[16]中結合子域分析技術和保角變換，考慮了表面嵌入式永磁電機的轉子偏心和磁飽和效應，但是定子鐵芯被假設為無槽結構，導致不能精確計算齒槽轉矩和電磁轉矩。在此基礎上，文獻[17]～文獻[20]中又研究了表面嵌入式永磁電機定子開槽效應，可以研究定子開槽對氣隙磁場的影響。其中，文獻[17]中利用矢量磁位和子域分析技術建立了內轉子永磁電機的解析模型，預測了空載、電樞反應和負載工況下的氣隙磁場分布，其缺點是將定子槽假設為開口槽(即槽開口寬度角與定子槽寬度角相等)，未考慮定子槽開口求解域，不能準確計算齒槽轉矩。文獻[18]中利用子域分析技術研究了永磁無刷電機的定子開槽效應，并增加了槽開口子域，解析模型更完善，可以預測空載和電樞反應下的氣隙磁場分布。文獻[19]中又推導了轉矩的表達式，并計算了負載氣隙磁密、齒槽轉矩和電磁轉矩。文獻[20]中考慮了軸向磁通電機的定子開槽效應，在直角坐標系中計算了負載氣隙磁場分布。文獻[5]中增加了“轉子空氣槽”，將其應用到高凸極率的內轉子永磁電機的解析建模中，這種轉子結構可以提高電感凸極率，從而增大磁阻轉矩，同時獲得較寬的調速范圍。

上述解析計算模型有助于表面嵌入式永磁電機的性能分析和優化設計，但不適用于本文中研究的車用輪轂電機，因其具有外轉子嵌入式永磁體、分數槽集中式繞組、定子槽為半開口槽等復雜的拓撲結構。因此本文中利用麥克斯韋方程和子域分析技術建立了車用輪轂電機的負載磁場解析模型，考慮了定子開槽效應，特別是定子槽開口子域。為建立快速且精確的磁場計算模型，將整個磁場求解域劃分為4 類子域，即電樞定子槽、槽開口、氣隙和永磁體轉子槽。首先，根據激勵源的不同，在各子域建立矢量磁位的麥克斯韋方程，并利用分離變量法求解各子域的矢量磁位的通解。然后，利用相鄰子域間的邊界條件得到矢量磁位的諧波系數。最后，解析預測了輪轂電機的磁場分布、反電動勢、電感、齒槽轉矩以及輸出轉矩等性能，并對比了開口槽結構的解析計算結果。利用有限元法和樣機試驗驗證了解析法的正確性。進一步研究了永磁體極弧系數和槽開口寬度對齒槽轉矩和輸出轉矩的影響規律。

1 磁場解析模型

1.1 電機幾何結構與基本假設

圖1 為課題組自主研發的分布式驅動電動汽車驅動輪總成，輪內集成了驅動電機、撓性傳動機構、電機懸架以及電子機械制動等，驅動力直接由電機經過撓性傳動機構傳遞至車輪，整車布置更加靈活。本文中的研究重點是利用子域分析技術對輪轂電機進行解析建模與性能研究。為簡化解析建模，作如下假設:

(1)忽略渦流效應和端部效應；

(2)定轉子鐵芯的磁導率為無窮大；

(3)矢量磁位和電流密度只有z軸方向的分量；

(4)永磁體材料為線性退磁特性；

(5)定轉子鐵芯和永磁體的電導率為零。

圖1 輪轂電機驅動的電動車輪總成

所研究的輪轂電機為48 槽16 對極，外轉子表面嵌入式磁體結構。圖2 給出開口槽和半開口槽兩種結構作對比分析。其中圖2(a)中沒有單獨劃分槽開口子域，即定子槽和槽開口寬度角相等，可參考文獻[21]中的定子槽形狀。將圖2(b)中的輪轂電機整個求解域劃分為4 類子域，分別為:定子繞組槽(子域Ⅰ)、槽開口(子域Ⅱ)、氣隙(子域Ⅲ)和永磁體轉子槽(子域Ⅳ)。定子槽和轉子槽的中心位置分別定義為

式中:Qs為定子槽數；p為轉子極對數；θ0為轉子初始位置。

1.2 激勵源

對于表面嵌入式磁體結構，磁化強度呈非周期性分布。因此利用奇延拓將磁化強度補充為周期信號，如圖 3 所示。

圖2 輪轂電機子域模型

圖3 奇延拓后的磁化強度分布

根據式(3)，第j個轉子槽內的永磁體磁化強度Mj可以表示為徑向和切向分量的矢量和。當永磁體徑向充磁時，磁化強度的徑向和切向分量如式(4)和式(5)所示。當然，也可以處理平行充磁和Halbach 充磁方式。

式中:υ為轉子槽寬度；υLp為永磁體極弧系數；Brm為永磁體剩磁；μ0為真空磁導率。

根據周期性，可以將其轉換為傅里葉級數形式:

其中:δ＝ (－1)j－1；τk＝kπ/υ

式(6)和式(7)的傅里葉系數分別為

輪轂電機為雙層繞組，根據周期性，第i個定子槽的電流密度可以表示為傅里葉級數形式:

式中:Ji1和Ji2為定子槽內左右兩側繞組的電流密度；bsa為定子槽的寬度；d為單側繞組的寬度。諧波系數Jin可以由下式計算:

輪轂電機采用分數槽集中式繞組，圖4 示出定子繞組的連接圖，對應的繞組排列矩陣為

圖4 定子繞組連接圖

1.3 各子域的矢量磁位通解

根據激勵源的不同，各子域的磁場控制方程不一樣。子域Ⅰ(定子繞組槽)和子域Ⅳ(永磁體轉子槽)的矢量磁位滿足Poisson 方程，子域Ⅱ(槽開口)和子域Ⅲ(氣隙)的矢量磁位滿足Laplace 方程，如式(14)所示。

利用分離變量法，可以得到各子域的矢量磁位通解，其表達式具體如下。

(1)定子繞組槽(子域Ⅰ)

其中

式中Rt和Rsb分別為定子槽頂部和底部的半徑。

(2)槽開口(子域Ⅱ)

式中:Rs為定子鐵芯的外徑；boa為槽開口寬度。

(3)氣隙(子域Ⅲ)

式中Rm為永磁體的內徑。

(4)永磁體轉子槽(子域Ⅳ)

其中

式中Rr為永磁體的外徑。

1.4 各子域的磁通密度

(1)定子繞組槽(子域Ⅰ)

(2)槽開口(子域Ⅱ)

(3)氣隙(子域Ⅲ)

其中:

(4)永磁體轉子槽(子域Ⅳ)

1.5 邊界條件

前文矢量磁位中的待求解系數可以通過相鄰子域間的邊界條件確定，其基本原理是根據磁場的連續性，即相鄰子域交界面的法向磁密和切向磁場強度相等，具體表達式如下。

聯合式(38)～式(43)可以組成多元矩陣方程，通過求解矩陣方程得到矢量磁位中的直流項系數(Q1i，D2，Q2i，Q4j) 和諧波系數(D1i，C2i，D2i，A3，B3，C3，D3，B4j)，進而得到各子域的矢量磁位通解。

2 解析計算與驗證

為驗證本文所提解析法的正確性，在MATLAB 軟件中建立輪轂電機的解析模型，利用ANSYS/Maxwell軟件建立輪轂電機二維有限元模型。表1 給出輪轂電機的主要設計參數。電機轉速為600 r/min，峰值相電流為45 A。為保證計算精度，有限元模型中的電樞繞組、永磁體、定轉子鐵芯等各部件網格剖分單元最大尺寸為1 mm，仿真步長為 6×10－5s。由于輪轂電機的齒槽轉矩和輸出轉矩均是通過氣隙磁場得到的，設置較大的氣隙子域諧波次數，獲得精確的氣隙磁場分布。為兼顧計算精度和效率，解析模型中各子域的最高諧波次數分別設置為:N1＝30，N2＝30，N3＝500，N4＝30。

表1 輪轂電機的主要參數

2.1 磁密分布

準確計算氣隙磁場分布對預測輪轂電機齒槽轉矩、輸出轉矩等電磁性能至關重要。圖5 給出有限元法計算的負載工況下磁密云圖和磁力線分布情況。圖6～圖8 分別為空載、電樞反應和負載工況下氣隙中間位置(r＝(Rs＋Rm)/2)的磁密分布。可以看出，解析計算結果與有限元結果吻合較好，證明本文所提解析模型具有較高精度。同時對比了開口槽結構的計算結果，當不考慮齒尖時，氣隙磁密曲線產生了較大的畸變。

圖5 負載工況的磁密云圖和磁力線圖

圖6 空載氣隙磁密

圖7 電樞反應氣隙磁密

圖8 負載氣隙磁密

圖9 負載氣隙磁密諧波譜

為評估氣隙磁密曲線的正弦特性，定義諧波畸變率見式(44)。圖9 為負載氣隙磁密的諧波譜。可以看出解析模型計算的各階次幅值以及諧波畸變率均與有限元分析結果高度一致，進一步證明了解析模型的準確性。開口槽結構的氣隙磁密諧波畸變率較大。

圖10～圖12 分別為負載工況下，定子槽、槽開口和轉子槽內的磁場分布情況。可以看出解析解與有限元結果吻合較好。而開口槽結構忽略了齒尖的影響，其磁路將會發生變化，導致各子域中磁場分布也發生了改變，尤其從圖11 可以看出，忽略齒尖后的磁密曲線發生了巨大的變化。

圖10 定子槽內的磁密分布(r ＝Rt－1 mm)

圖11 槽開口內的磁密分布(r ＝Rs－1 mm)

圖12 轉子槽內的磁密分布(r ＝Rm＋1 mm)

2.2 磁鏈、反電勢和電感

對于雙層繞組，左、右側線圈邊的磁鏈可以從定子槽(子域Ⅰ)的矢量磁位得到。

三相磁鏈可以按下式計算:

式中:La為鐵芯軸向長度；a1為并聯支路數。

圖13 示出兩種結構的A相磁鏈對比。與半開口槽結構相比，開口槽結構的磁鏈幅值較低。

圖13 A 相磁鏈

三相反電動勢可以通過磁鏈對時間求導計算得到

由于輪轂電機為凸極轉子，因此電感隨轉子位置的變化而變化。令iA＝ 45 A，iB＝iC＝ 0，Brm＝ 0，A相自感和互感可通過式(49)計算。圖14 為隨轉子位置變化的三相繞組的電感，可見解析解與有限元結果相當吻合，開口槽結構的A相自感降低，A相與B相和C相的互感增大。

圖14 隨轉子位置變化的繞組電感

2.3 齒槽轉矩和輸出轉矩

利用氣隙磁密，根據Maxwell 張量法計算輪轂電機的轉矩，包括空載工況下的齒槽轉矩和負載工況的輸出轉矩，計算公式為

其中r＝ (Rm＋Rs)/2

圖15 和圖16 為齒槽轉矩和輸出轉矩對比圖。解析模型預測波形的幅值和相位與有限元結果一致，進一步證明了解析模型的正確性。同時對比開口槽結構的計算結果可知，其較大的槽口寬度導致氣隙磁密產生嚴重的畸變，使齒槽轉矩和輸出轉矩脈動變大。氣隙面積增大，氣隙內磁感應強度降低，導致輸出轉矩平均值變小。

圖15 齒槽轉矩

圖16 輸出轉矩

為進一步驗證本文所提解析算法的正確性，對輪轂電機樣機進行加工制造，如圖17(a)所示，并搭建試驗臺架，如圖17(b)所示，圖17(c)為輪轂電機驅動的電動車輪總成。首先，對樣機進行開路試驗，利用測功機拖動樣機的方式，進行空載反電動勢的測量，將輪轂電機轉速拖動至600 r/min，測量相反電動勢。如圖 18 所示，解析計算結果、有限元結果和樣機實測結果的趨勢與峰值較吻合，但也存在一定誤差，其原因是解析法和有限元法對電機模型進行了一定的簡化處理；另外，試驗臺架的機械損耗、摩擦以及測量儀器的精度會產生誤差。

圖17 輪轂電機樣機與試驗臺架

圖18 空載反電動勢

此外，利用輪轂電機綜合性能試驗臺對樣機進行動態性能測試。圖19 為額定工況下輪轂電機輸出轉矩/功率與轉速的特性曲線。當電機轉速小于等于600 r/min 時，在恒轉矩區輸出轉矩近似等于158 N·m，加速到基速后通過弱磁技術可獲得更高的轉速，讓電機工作于恒功率區。可以看出解析結果與實測值較吻合，證明本文所提出的解析算法具有較高的精度。

圖19 轉矩/功率與轉速的特性曲線

3 影響因素分析

解析法的優點是在改變設計參數時，無須重復建模，便可對不同結構尺寸的電機進行性能優化，計算效率高。因此，利用解析模型進一步研究極弧系數和槽開口寬度對齒槽轉矩峰值、輸出轉矩平均值和輸出轉矩脈動的影響規律。其中，轉矩脈動Tvib可由輸出轉矩Tc計算:

圖20 為極弧系數υLp和槽開口寬度boa對齒槽轉矩的影響。從圖可以看出，極弧系數從0.6 增大至0.9，齒槽轉矩先減小后增大。齒槽轉矩隨槽開口寬度的增大，先增大后略微減小，總體呈增大的趨勢。另外，當極弧系數確定時，齒槽轉矩基本上都是隨槽開口寬度的增大而增大。當極弧系數為0.775，槽開口寬度為0.969°時，齒槽轉矩最小為1.912 N·m。

圖20 極弧系數和槽開口寬度對齒槽轉矩峰值的影響

圖21 為極弧系數和槽開口寬度對輸出轉矩平均值的影響。從圖可知，極弧系數越大、槽開口寬度越小時，輸出轉矩平均值越大。當極弧系數為0.9，槽開口寬度為0.969°時，輸出轉矩平均值最大為177.65 N·m。

圖21 極弧系數和槽開口寬度對輸出轉矩平均值的影響

圖22 為極弧系數和槽開口寬度對輸出轉矩脈動的影響。從圖中可以看出，極弧系數和槽開口寬度對轉矩脈動和齒槽轉矩的影響趨勢較接近，當極弧系數為0.825，槽開口寬度為2.169°時，輸出轉矩脈動最小為3.025%。

圖22 極弧系數和槽開口寬度對輸出轉矩脈動的影響

綜上，以較大的輸出轉矩平均值和較小的轉矩脈動為優化目標，當該電機的極弧系數為0.825，槽開口寬度為2.169°時，輸出轉矩平均值從原樣機的160.75 提高到165.08 N·m，轉矩脈動從原樣機的8.8%降至3.025%。另外，這也解釋了前文開口槽結構的齒槽轉矩和轉矩脈動較大、轉矩平均值較小的原因。

4 結論

利用子域分析技術建立了一臺48 槽16 對極的輪轂電機解析模型。在二維極坐標系下，將電機求解域劃分為4 類子域，通過在各子域求解拉普拉斯方程或泊松方程，并利用邊界條件得到各子域的矢量磁位通解的解析表達式。計算了輪轂電機的氣隙、定子槽、槽開口以及轉子槽子域的磁場分布、電感、齒槽轉矩以及輸出轉矩。利用有限元分析和樣機試驗驗證了解析模型的準確性，并對比分析了開口槽結構的計算結果，發現齒尖結構對電機的影響十分顯著，因此在構建電機的解析模型時，考慮齒尖結構是十分必要的。

進一步研究了極弧系數和槽開口寬度對齒槽轉矩、輸出轉矩平均值和轉矩脈動的影響，結果表明:當該電機的極弧系數為0.825，槽開口寬度為2.169°時，輸出轉矩平均值從原樣機的160.75 提高到165.08 N·m，轉矩脈動從8.8%降至3.025%，在削弱轉矩脈動的同時獲得了較大的輸出轉矩平均值。

所提出的解析建模方法是根據激勵源和媒介的不同來劃分子求解域，同樣適用于直線電機、輪輻式電機和開關磁阻電機的解析建模，對于各類電機的性能分析具有較大的通用性。