刀鋒臂懸架運動學實時算法及其驗證和應用*

譚侃倫，鄧嘉慶，唐 倬，袁登木

(重慶長安汽車股份有限公司，重慶 400000)

前言

底盤開發早期的一項重要任務是設計懸架架構，即通過合理布置硬點使懸架運動學特性達成預設目標。傳統方法是利用ADAMS 等軟件搭建懸架多體系統(multi－body system，MBS)模型，通過大量仿真試錯找出可行方案，該方法對時間及人力需求高[1－3]。當下汽車市場競爭激烈，產品更新速度越來越快，研發人員急需一種更高效的懸架運動學算法。

自動駕駛(autonomous driving，AD)的路徑規劃和車輛運動控制兩個子系統都需要實時車輛動力學模型進行預測控制[4－5]。為滿足實時性，目前 AD 常用高度簡化的動力學模型，如單輪模型[6]、單軌模型[7]、14 自由度雙軌模型[8]等，它們都將懸架運動簡化為車輪垂直跳動。這些簡單模型能勝任穩態工況下的預測和控制，但在非穩態工況下，如高速行駛時規避突發危險、漂移行駛等，還需要更精確的動力學模型來規劃和控制車輛的極限運動。其中包括能實時且高精度地描述車身和輪胎瞬時姿態的懸架運動學模型[4，9]。

懸架運動學的實時算法始于Matschinsky，他將五連桿及雙橫臂懸架的輪心瞬時速度(6 個分量)成功表達為一個線性方程組[10]。Albers 將Matschinsky 方程組與動態顯式積分相結合，實現了麥佛遜、雙橫臂及五連桿懸架運動學的實時精確計算[11－12]。Tan 等進一步將該方法擴展到扭力梁后軸[13－14]。主流的乘用車懸架中唯獨刀鋒臂后懸架的瞬時速度方程組仍未探明，其原因主要有兩點:(1)刀鋒臂后懸架在運動學上是一個過約束系統，必須通過刀鋒臂總成(包含前大襯套、刀鋒臂及后襯套或螺栓)的彈性變形釋放一個自由度，懸架才能運動，這種包含結構件變形的運動在數學上難以表達；(2)刀鋒臂懸架的彈簧及減振器多數裝在下擺臂上，因此彈簧和減振器的伸縮與擺臂的轉動相互耦合，該結構使得經典的Matschinsky 方程無法直接應用。

本文中首先通過合理假設和精巧的數學推導解決上述兩個難點，首創刀鋒臂后懸架的瞬時速度方程；其次，結合動態顯式積分成功實現實時運動學計算；然后，通過MBS 仿真和整車實驗檢驗新算法的準確性；最后，實現新算法在底盤開發應用。

1 刀鋒臂懸架及其運動學等效模型

刀鋒臂懸架是一種多連桿獨立后懸架，1999年首見于初代福特福克斯車型[15]，刀鋒臂懸架及其硬點如圖1 及表1 所示。刀鋒臂后懸架含有3 根橫向布置的連桿，以支撐橫向力。在縱向上，僅有1 根較薄的刀片狀連桿即刀鋒臂。刀鋒臂的后端通常通過螺栓或焊縫與轉向節相連。其前端通過一個大且軟的橡膠襯套與下車體相連。刀鋒臂薄且長，彎曲剛度低，其前端襯套也軟，因此整個刀鋒臂總成可產生較大的彈性變形，以此實現車輪的前束角及外傾角變化。部分刀鋒臂為降低受縱向力時的應力，增加鈑金厚度甚至做成雙層板結構；此時刀鋒臂彎曲剛度過大，整個總成的變形集中于前襯套，易造成襯套損傷。為解決該問題，可將后端的兩個螺栓替換為兩個小襯套，以提高整個總成的彎曲柔性。相比五連桿及雙橫臂后懸架，刀鋒臂后懸架具有成本低、質量輕及布置緊湊等優勢；相比扭力梁軸，它有舒適性高及操控性好等優勢。因此刀鋒臂后懸架在緊湊級SUV 及B 級轎車中占有過半份額。

表1 刀鋒臂懸架硬點名稱

圖2 刀鋒臂懸架的運動學模型

圖2 為刀鋒臂懸架的運動學模型。3 根橫向連桿均理想化為剛性桿。連桿兩端襯套理想化為球銷，只有轉動自由度，無平移自由度。縱臂理想化為兩根剛性桿 SLru－SLf 及 SLrl－SLf，兩桿的前端共用一個球銷 SLf，后端分別擁有一個球銷 SLru 及 SLrl。該模型中，縱臂總成的彎曲柔度被轉換為繞SLru－SLrl 的轉動。該模型有5 根剛性桿，每根桿的兩端均為球銷；它本質上是將刀鋒臂懸架轉換為五連桿懸架，以克服前言中所述的第一個困難。該模型的精度將在后文中展示。

2 運動學實時算法

刀鋒臂懸架運動學實時算法基于圖2 所示模型進行推導。圖3 為懸架的初始狀態，其硬點位置已知，求其運動學特性。

圖3 懸架中硬點的速度狀態

首先計算輪心在初始狀態下的瞬時速度，它包含輪心的線速度vW及角速度ωW兩個三維向量，共6 個標量，如式(1)所示。求解這6 個未知標量需6個方程。3 根橫向連桿各提供1 個方程，刀鋒臂提供2 個方程，最后1 個方程由彈簧導出。

本文中以外傾角控制桿CCL 為例推導連桿方程。轉向節為剛體，W 及CCLo 均位于轉向節上，假設 W 的瞬時速度vW及ωW已知，可以通過Matschinsky 方程，求出CCLo 的線速度vCCLo:

式中rCCL為從W 指向CCLo 的位置向量。

CCLo 為轉向節和外傾角控制桿的連接球銷，因此這兩個零件上各有1 個CCLo 點，兩個點的角速度不同，但線速度相同。外傾角控制桿為剛體，在運動中長度恒定，如式(3)所示。式(3)表示連桿兩個端點的瞬時速度在連桿方向向量上投影的大小和方向均相等，否則連桿的長度會發生變化。

式中aCCL為CCLo 指向CCLi 的位置向量。

在討論懸架的運動時，通常假設車身不動，此時連桿內點的速度為0。

合并式(2)～式(4)得出式(5)，式中rCCL和aCCL可通過已知的硬點坐標求出，vW和ωW所包含的6個標量仍未知。

圖2 所示模型的5 根連桿可各自推導出1 個結構如式(5)的方程，這5 個方程都是六元一次方程，為求出其中的6 個未知量，還須由彈簧推導出最后1個方程。

圖4 為彈簧及其相連的下擺臂。Su 安裝在下車體上，LCAi 安裝在副車架上，它們的速度均為0。彈簧下點Sl 的瞬時速度vSl在彈簧軸線上的投影即是彈簧的伸縮速度vS，vS為標量，如式(6)所示。式中硬點向量表示從坐標原點指向該硬點的位置向量。

圖4 彈簧及下擺臂的運動

式(6)中vSl未知，可通過式(7)求出。由于Sl同時屬于彈簧和下擺臂，而下擺臂必須繞LCAi 轉動，因此可利用下擺臂的角速度即下擺臂繞LCAi 的轉動速度來求解彈簧下點的線速度。

式(7)中ωLCAi未知。首先將其表達為向量模乘以單位方向向量的形式。

式(8)中ωLCAi未知，可通過式(9)計算，式(9)中所有數值均為標量。

式(9)中vLCAo未知，可通過輪心速度換算。

式(8)中eωLCAi未知，可通過式(11)計算，其力學依據為eωLCAi、aLCA及vLCAo相互垂直。

以下述順序合并方程:(1)將式(10)中vLCAi代入式(11)，將vLCAi的模代入式(9)；(2)將得出的eωLCAi及ωLCAi代入式(8)；(3)將得出的ωLCAi代入式(7)；(4)將得出的vSl代入式(6)。將最終方程由向量展開為標量形式，它僅包含6 個未知量，即輪心的線速度及角速度。

上文中已得到6 個相互不關聯的六元一次方程，它們組成1 個有唯一解的線性方程組，為方便電腦求解，該方程組可表達為矩陣形式。

其中:

式中:x為 6 個未知量；A為一個 6×6 的系數矩陣；b為方程組中常數項所構成的向量。

圖5 懸架運動學實時算法的積分流程

圖5 為刀鋒臂后懸架運動學實時算法的積分流程。第1 步，通過任一狀態的硬點信息構筑式(12)所示方程組，并求解出該狀態下輪心的瞬時速度。第2 步，利用已知的輪心瞬時速度和式(2)求出其它硬點的瞬時速度，圖中下標i表示不同的硬點。第3步，將所有硬點的瞬時速度乘以一個微小的時間增量即積分步長得出該時間增量內硬點的位移，再加上原狀態的硬點位置，得出新狀態的硬點位置。將這個過程進行多次循環，最終得出懸架在所有狀態的硬點位置，即懸架的運動軌跡。利用硬點的瞬時速度及懸架的運動軌跡可進一步求出各種運動學參數。該算法的計算量小，使用普通辦公電腦也能在數毫秒內完成數百步積分計算。該算法基于動態顯式積分法，無需迭代，因此穩定好，滿足模型預測控制的穩定性要求。

3 仿真及實驗驗證

為驗證新算法的精度，利用某款緊湊型SUV 進行對比實驗，該車裝備刀鋒臂后懸架，其整備狀態硬點位置及車輪姿態見表2。

表2 懸架硬點信息

分別利用3 種方法確定后懸架運動學特性:(1)工裝車整車K＆C(kinematics and compliance)測試臺懸架跳動實驗(vertical bounce test)；(2)ADAMS 仿真模擬上述K＆C 實驗，模型包含襯套等彈性件信息，刀鋒臂為MNF 柔性體；(3)實時算法，僅輸入表2 中信息，襯套簡化為球銷，刀鋒臂簡化為兩根剛性桿。

圖6 所示為3 種方法得出的5 項典型懸架運動學特性曲線，前4 項表征車輪的位置和姿態變化，最后1 項表征懸架運動對整車的影響。由圖可見，3種結果吻合良好。

進一步對圖6 結果曲線進行量化分析。首先利用線性插值法獲取各運動學特性在輪心Z向跳動量為{－70，－65，－60，…，60，65，70}共 29 個點的數值，再利用式(13)計算實時算法及ADAMS 仿真結果相對K＆C 臺架實驗的插值點均方根誤差(root mean square error，RMSE)。

式中:基準值yi為 K＆C 臺架實驗結果；為實時算法或ADAMS 仿真結果。

對比結果如表3 所示。由表可見:實時算法相比ADAMS 仿真有3 條特性曲線精度更高、兩條略低；刀鋒臂后懸架運動學實時算法的精度總體好于ADAMS 仿真。

表3 定量對比運動學特性曲線

4 應用

上述實時算法已被程序化并融入“長安汽車懸架設計輔助軟件(CA－SD)”，該程序能顯著提高底盤開發的速度和質量。

圖6 懸架運動學特性曲線對比

圖7 所示為CA－SD 中刀鋒臂后懸架設計界面。用戶僅需在界面左側填入設計方案，CA－SD 應用實時算法在數毫秒內求出它的運動學特性并將重要的參數顯示在右側表格里。參數數值后面有3 種顏色的指示燈，綠色表示該性能參數優秀；黃色表示合格，可酌情優化也可保持現狀；紅色表示不合格，必須優化。指示燈所依據的判定邏輯為長安汽車底盤性能參數管控標準[16]。CA－SD 可幫助用戶快速判斷設計方案的質量并確定優化目標，通過對初始方案進行修改，在極短的時間大量試錯，最終找到1 個無紅燈且絕大多數參數為綠燈的滿意方案。如圖7所示，通過對初始方案的3 處修改，見圖中方框，最終方案成功規避所有紅燈。

圖7 懸架運動學特性曲線對比

5 結論

麥佛遜、雙橫臂、扭力梁、五連桿等懸架類型的運動學實時算法均已成熟，但刀鋒臂后懸架的相應算法仍在探索中，因此本文中提出了一種高精度的刀鋒臂后懸架運動學實時算法。

該算法首先通過合理假設將刀鋒臂總成的彈性變形轉換為等效剛體運動，再利用向量、矩陣、動態顯式積分等工具建立懸架運動的數學模型。該算法可實時、穩定地求解刀鋒臂后懸架的運動特性。將新算法結果與ADAMS 仿真及整車實測結果進行對比，一致性優秀，其精度甚至好于ADAMS 仿真。

該算法已被應用于底盤開發，可顯著提高開發速度和質量。該算法在自動駕駛模型預測控制方向有巨大應用潛力。