基于MM算法的脈沖串模糊函數(shù)設(shè)計(jì)方法

徐乃清，張勁東，李 晨，丁 遜

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 210016)

0 引言

隨著雷達(dá)發(fā)射機(jī)自由度的增加，雷達(dá)可以通過(guò)改變發(fā)射脈沖波形來(lái)增強(qiáng)其對(duì)抗復(fù)雜干擾能力。此外，相比于單一發(fā)射波形，捷變波形能提供更好的探測(cè)性能。模糊函數(shù)是分析雷達(dá)波形探測(cè)性能的重要工具，可以反映出雷達(dá)信號(hào)的距離-多普勒二維分辨率。因此，雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問(wèn)題往往可以描述成模糊函數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題。常用的模糊函數(shù)性能指標(biāo)有積分旁瓣電平(ISL)和峰值旁瓣電平(PSL)，皆為待設(shè)計(jì)信號(hào)的四次函數(shù)。

針對(duì)波形設(shè)計(jì)問(wèn)題，He給出了用于設(shè)計(jì)模糊函數(shù)的Multi-CAO算法[1]，Arlery給出了基于梯度下降的模糊函數(shù)設(shè)計(jì)算法[2]，但所設(shè)計(jì)信號(hào)均為連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)。Boyd提出了交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)適用于大規(guī)模凸優(yōu)化問(wèn)題[3]，隨后Liang使用ADMM方法求解帶約束二次型最優(yōu)化問(wèn)題，給出了一種設(shè)計(jì)具有低自相關(guān)旁瓣的連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)方法[4]。在二次型優(yōu)化問(wèn)題中，ADMM更新公式可以給出閉式解，但在四次型優(yōu)化問(wèn)題中，閉式解難以獲取。Hunter和Lange提出的MM算法是一種迭代求解最優(yōu)化問(wèn)題的算法，通過(guò)構(gòu)造并求解形式更為簡(jiǎn)單的輔助函數(shù)，逐漸逼近原問(wèn)題的最優(yōu)解[5]。Song給出了一種基于MM算法的模糊函數(shù)設(shè)計(jì)方法，其中輔助函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)上界的二次型[6]。

本文基于離散相位調(diào)制信號(hào)(Discrete Phase Coded Signal,DPCS)，以脈沖串模糊函數(shù)平均ISL為目標(biāo)函數(shù)，將波形設(shè)計(jì)問(wèn)題建模為帶約束四次型最優(yōu)化問(wèn)題，并給出基于MM算法的求解方法。其中，輔助上界函數(shù)的求解采用ADMM算法。最后，給出MM-ADMM算法流程。仿真結(jié)果表明，該方法計(jì)算速度快，收斂趨勢(shì)明顯。

1 模型建立

設(shè)脈沖-多普勒雷達(dá)發(fā)射設(shè)含N個(gè)脈沖的脈沖串信號(hào)，可表示為

(1)

式中：sn(t)為第n個(gè)發(fā)射脈沖的復(fù)包絡(luò)，并滿足sn(t)=0,?t?[0,T]，T為發(fā)射脈沖長(zhǎng)度；Tr為脈沖重復(fù)間隔(Pulse Repetition Interval,PRI)。發(fā)射信號(hào)采用相位編碼調(diào)制方式，則第n個(gè)發(fā)射脈沖可表示為

(2)

式中，s(n,m),n=0,1,…,N-1,m=0,1,…,M-1為相位編碼調(diào)制序列，pm(t)表示矩形賦形脈沖：

(3)

式中,tp為發(fā)射脈沖中每個(gè)調(diào)制相位對(duì)應(yīng)的時(shí)寬，滿足關(guān)系T=Mtp。

為表示方便，記列向量sn=[s(n,0),s(n,1),…,s(n,M-1)]T表示第n個(gè)發(fā)射脈沖的調(diào)制序列，且滿足

0≤φ(n,m)≤K-1

(4)

(5)

其中矩陣Hlp=Jl·Dp,Jl為轉(zhuǎn)移矩陣，其定義為

(6)

Dp為對(duì)角矩陣，其定義為

(7)

則脈沖串離散模糊函數(shù)中心條帶可表示為

(8)

(9)

(10)

至此，上述離散相位調(diào)制脈沖串模糊函數(shù)設(shè)計(jì)問(wèn)題可寫(xiě)為

(11)

其中k(i)和φ(n,m)的關(guān)系為k(nM+m)=φ(n,m),n=?i/M」,m=mod(i,M)。該問(wèn)題是非凸約束條件下的四次型優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)于帶約束優(yōu)化問(wèn)題，通常選擇構(gòu)造帶懲罰項(xiàng)的增廣拉格朗日函數(shù)進(jìn)行求解，ADMM方法是一種求解增廣拉格朗日函數(shù)的方法。由于四次型較為復(fù)雜難以優(yōu)化，另一種思路是將高次型進(jìn)行降次，針對(duì)這種思路，本文提出一種基于MM算法的求解方法，將四次型優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次型進(jìn)行求解。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 MM算法介紹

MM(Majorization-Minimization)算法是一種通過(guò)迭代逼近求解最優(yōu)化問(wèn)題的算法。在每次迭代中，首先原函數(shù)上某一點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)位于目標(biāo)函數(shù)上界的輔助函數(shù)，且輔助函數(shù)與原函數(shù)相交于該點(diǎn)。然后，求解輔助函數(shù)的最優(yōu)值點(diǎn)。一般來(lái)講，構(gòu)造的輔助函數(shù)要求形式簡(jiǎn)單，易于求解。最后，將解得的輔助函數(shù)最優(yōu)值點(diǎn)作為新的出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行下一次迭代。經(jīng)過(guò)若干次迭代后，輔助函數(shù)最優(yōu)值點(diǎn)將收斂到原問(wèn)題的最優(yōu)值點(diǎn)，算法完成。下面簡(jiǎn)要介紹MM算法的流程。設(shè)最優(yōu)化問(wèn)題為

(12)

選取某一出發(fā)點(diǎn)xk，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)g(x|xk)，在xk處與f(x)相交，其他位置上皆在f(x)的上界，即滿足關(guān)系：

(13)

然后求解輔助函數(shù)g(x|xk)的最小值：

(14)

易得

f(xk+1)≤g(xk+1|xk)≤g(xk|xk)=f(xk)

(15)

這樣每一次迭代都可以使目標(biāo)函數(shù)值下降，直到輔助函數(shù)極值收斂到原函數(shù)極值。圖1給出了MM算法的示意圖。

圖1 MM算法示意圖

2.2 ADMM算法介紹

ADMM算法是一種求解優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算框架,通過(guò)將原優(yōu)化問(wèn)題分化兩個(gè)子問(wèn)題交替求解，縮小了問(wèn)題的規(guī)模。ADMM框架的基本模型為

(16)

將式(16)寫(xiě)成增廣拉格朗日函數(shù)，ρ為懲罰項(xiàng)系數(shù)，有

Lρ(x,z,λ)=f(x)+g(z)+λT(Ax+Bz-c)+

(17)

則ADMM更新公式為

(18)

判斷收斂的條件為x(t+1)-z(t+1)<δ，δ為一個(gè)較小的正數(shù)，作為收斂門(mén)限。

2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造

因?yàn)閤HQlpx=tr(QlpxxH)，其中tr(·)表示矩陣的跡，記矩陣X=xxH，則有

vec(Qlp)H·vec(X)=

vec(Qlp)H·vec(X)

(19)

式中，vec(·)為矩陣向量化符號(hào)，表示將矩陣按列排成的列向量。

證明：將xHLx在x0處泰勒展開(kāi)，有

(x-x0)HL(x-x0)≤

(x-x0)HM(x-x0)=

xHMx+2Re(xH(L-M)x0)+

(20)

當(dāng)x=x0時(shí)，式(20)中不等關(guān)系取等。

由此，將Hermitian矩陣∑l,pvec(Qlp)·vec(Qlp)H記為L(zhǎng)，設(shè)L的最大的特征為λmax，可求得λmax=MN，記M=λmaxI=MN·I，易得M≥L。將引理1代入式(19)，可得

vec(X)HLvec(X)≤

vec(X)HMvec(X)+2Re(vec(X)H(L-M)vec(X0))+

vec(X0)H(M-L)vec(X0)

(21)

在約束條件下，式(21)的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)為常數(shù)，所以只要考慮第二項(xiàng)即可。其中第二項(xiàng)可以記成：

Re(vec(X)H(L-M)vec(X0))=

(22)

在MM算法迭代過(guò)程中，設(shè)第k次迭代后求得的脈沖串為xk，并記

(23)

容易看出Pk為Hermitian矩陣，Tk為半正定Hermitian矩陣，則式(22)中取實(shí)部符號(hào)Re(·)可以去掉。在下式的xHTkx項(xiàng)上再次套用式(20)，可得

xH(Pk-Tk)x=

(x-xk)HTk(x-xk))≤

xHPkx-2(MN)2Re(xHxk))+(MN)2

(24)

綜上，有

const+xHPkx-2(MN)2·Re(xHxk)

(25)

至此，輔助函數(shù)已經(jīng)構(gòu)造完成，即每次MM迭代中，需要求解的問(wèn)題為

(26)

2.4 ADMM算法求解輔助函數(shù)

問(wèn)題式(26)中包含二次項(xiàng)xHPkx和一次項(xiàng)2(MN)2·Re(xHxk)，通過(guò)引入輔助變量z和約束x=z，可將該問(wèn)題寫(xiě)成如下等價(jià)形式：

(27)

形如上式的帶約束優(yōu)化問(wèn)題可用ADMM框架求解，根據(jù)式(27)寫(xiě)出增廣拉格朗日函數(shù)：

Lρ,k(x,z,λr,λi)=

xHPkx-2(MN)2Re(zHxk)+

(28)

記u=(λr+jλi)/ρ，則式(28)可寫(xiě)為

Lρ,k(x,z,u)=xHPkx-2(MN)2Re(zHxk)+

(29)

(30)

(31)

0≤k(i)≤K-1,0≤i≤MN-1

(32)

(34)

(35)

3) 更新u

(36)

重復(fù)步驟1) 到3) 直至算法收斂，判斷收斂的條件為x(t+1)-z(t+1)<δ，δ為一個(gè)較小的正數(shù)，作為收斂門(mén)限。

下面給出MM-ADMM算法求解中心區(qū)域低副瓣脈沖串模糊函數(shù)流程：

Step 1 記k為MM算法迭代次數(shù)，初始化k=0，δ=0.001，給隨機(jī)初值x0；

Step 3 進(jìn)行ADMM迭代：

3 仿真分析

設(shè)相干雷達(dá)系統(tǒng)在一個(gè)CPI中有N個(gè)發(fā)射脈沖，每個(gè)發(fā)射脈沖中有M個(gè)子脈沖。目標(biāo)區(qū)域Φ的參數(shù)為a=M/2，b=N/4，即Φ={(l,p)|-M/2≤l≤M/2,-N/4≤p≤N/4}，則可定義脈沖串模糊函數(shù)中心條帶的中心區(qū)域平均副瓣為

(37)

收斂門(mén)限δ=0.001，二次懲罰項(xiàng)系數(shù)ρ=2M2N2，初值使用隨機(jī)離散相位序列。圖2給出了MM-ADMM算法所設(shè)計(jì)的離散相位調(diào)制脈沖串在不同的相位數(shù)K下的模糊函數(shù)中心條帶(M=50,N=16)。隨調(diào)制相位數(shù)K增多，目標(biāo)區(qū)域AISL明顯下降。

圖3給出了MM-ADMM算法所設(shè)計(jì)的離散相位調(diào)制脈沖串在不同子脈沖數(shù)M時(shí)的模糊函數(shù)中心條帶(K=8,N=16)。隨子脈沖數(shù)M增多，目標(biāo)區(qū)域AISL明顯下降。

(a) K=4

(b) K=8

(c) K=16

(a) M=40

(b) M=50

(c) M=60

由于MM算法通過(guò)求解形式更為簡(jiǎn)單的輔助函數(shù)，顯著降低了運(yùn)算量。現(xiàn)將MM-ADMM算法與用擬牛頓法求解四次型最優(yōu)化問(wèn)題的ADMM算法對(duì)比，仿真平臺(tái)為Intel i5-7300HQ處理器，8 G內(nèi)存計(jì)算機(jī)。表1～表4分別給出了兩種算法在不同子脈沖數(shù)M和不同調(diào)制方式K的情況下的AISL值(100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)取平均)和在所需的運(yùn)算時(shí)間。

表1 MM-ADMM算法不同情況下的AISL

表2 ADMM算法不同情況下的AISL

表3 MM-ADMM算法不同情況下的計(jì)算時(shí)間

表4 ADMM算法不同情況下的計(jì)算時(shí)間

可以看出，目標(biāo)區(qū)域AISL均隨著子脈沖數(shù)M或調(diào)制相位數(shù)K增多而逐漸降低，計(jì)算時(shí)間逐漸增多。相比于ADMM算法，MM-ADMM算法的AISL略優(yōu)于ADMM算法，且運(yùn)算量大幅減小，運(yùn)算速度顯著提升。

圖4給出了兩種算法的收斂情況(M=50,N=16,K=8)，可見(jiàn)在約15次迭代后，AISL相比于隨機(jī)脈沖串下降了10 dB并趨于收斂，且下降趨勢(shì)明顯。

圖4 MM-ADMM算法與ADMM算法的收斂曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要介紹了具有目標(biāo)區(qū)域低旁瓣模糊函數(shù)的離散相位編碼脈沖串信號(hào)的設(shè)計(jì)方法。該問(wèn)題實(shí)際上是帶約束的四次型優(yōu)化問(wèn)題，難以直接求解。為此，引入了MM算法，將四次型優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次型優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)行迭代逼近求解。仿真結(jié)果表明，MM-ADMM算法所設(shè)計(jì)信號(hào)性能滿足要求，運(yùn)算速度快，收斂趨勢(shì)明顯。