從“符號(hào)認(rèn)知”到“符號(hào)創(chuàng)造”

江蘇省南通市海門(mén)區(qū)天補(bǔ)小學(xué) 潘國(guó)慶

符號(hào)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語(yǔ)言，培育學(xué)生的符號(hào)素養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義和應(yīng)然之舉。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)、理解符號(hào)、應(yīng)用符號(hào)。引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去發(fā)現(xiàn)、捕捉符號(hào)因子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)，并用符號(hào)進(jìn)行思考、探究，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能積極主動(dòng)地創(chuàng)生符號(hào)。

符號(hào)認(rèn)知：激發(fā)學(xué)生的符號(hào)化意識(shí)

所謂“符號(hào)”，指對(duì)具體對(duì)象經(jīng)由抽象、概括，而形成的一種簡(jiǎn)約化記號(hào)。通常情況下，符號(hào)包括數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等。“符號(hào)意識(shí)”是指對(duì)符號(hào)的一種積極的反映，是主動(dòng)地捕捉、發(fā)現(xiàn)符號(hào)的心理意向。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)、了解符號(hào)的類(lèi)別、符號(hào)的功能，形成對(duì)符號(hào)的理性認(rèn)知，才能有效地發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)并不是單純地將符號(hào)呈現(xiàn)出來(lái)，而是要將符號(hào)寓于一定的情境之中。從情境中認(rèn)識(shí)符號(hào)，不僅能認(rèn)識(shí)符號(hào)本身，更能認(rèn)識(shí)到符號(hào)的背景、意義等，讓學(xué)生對(duì)符號(hào)的認(rèn)知變得豐富起來(lái)。

如“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容是小學(xué)階段學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)識(shí)符號(hào)的開(kāi)始，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著“分水嶺”的作用。很多教師在講授這一部分內(nèi)容之后都有這樣的一個(gè)感覺(jué)，學(xué)生好像“一聽(tīng)就懂”，卻“一做就錯(cuò)”。究其根本，是學(xué)生對(duì)符號(hào)的意義認(rèn)識(shí)不清。筆者認(rèn)為，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容前，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一些符號(hào)，比如“文字符號(hào)”“圖形符號(hào)”（如＋、－、×、÷、＞、＜、=）等。

在低、中年級(jí)教學(xué)中進(jìn)行有意識(shí)的鋪墊，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不會(huì)覺(jué)得突兀，有一定的心理準(zhǔn)備，產(chǎn)生用符號(hào)表示數(shù)的意向。教學(xué)中，教師要循序漸進(jìn)，可以先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律等。在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)時(shí)，要從諸多層面來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)，如“用字母表示一般的數(shù)”（用字母表示運(yùn)算律公式等），“用字母表示特定的數(shù)”（解方程中用字母表示未知數(shù)等），“用字母表示變化的數(shù)”（滲透函變思想等）。循序漸進(jìn)、由易到難、由淺入深，學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、符號(hào)化能力就會(huì)得到顯著提高。

符號(hào)認(rèn)知是學(xué)生符號(hào)化學(xué)習(xí)的前提、基礎(chǔ)、條件和保障。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)，對(duì)符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)，讓學(xué)生能應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行有效地表征。

符號(hào)應(yīng)用：發(fā)展學(xué)生的符號(hào)化能力

符號(hào)的認(rèn)知能促進(jìn)學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解，在理解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)應(yīng)用，能有效地發(fā)展學(xué)生的符號(hào)化能力。符號(hào)化的理解包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是對(duì)符號(hào)意義的認(rèn)識(shí)；二是對(duì)符號(hào)關(guān)系、符號(hào)轉(zhuǎn)換的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)符號(hào)的應(yīng)用就能變得靈活、靈動(dòng)起來(lái)。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)應(yīng)用的過(guò)程中，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào)應(yīng)用的復(fù)雜性、靈活性和多樣性，激發(fā)學(xué)生符號(hào)應(yīng)用的積極性、主動(dòng)性。

比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)方程”這部分內(nèi)容，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)的應(yīng)用。方程是什么？“方”是指把線性方程組的系數(shù)排成一個(gè)方陣；“程”是指按照一定的程式進(jìn)行運(yùn)算，把未知數(shù)都找出來(lái)。同樣的一個(gè)未知數(shù)，可以用不同的字母來(lái)表示，同樣的兩個(gè)未知數(shù)，可以用兩個(gè)符號(hào)來(lái)表示，也可以用具有關(guān)系性質(zhì)的一個(gè)符號(hào)來(lái)表示。從某種意義上說(shuō)，解方程就是符號(hào)的具體應(yīng)用，并且這種應(yīng)用有一個(gè)具體的方向，就是努力地探尋未知數(shù)。在這個(gè)大前提下，教師在引導(dǎo)學(xué)生解方程的時(shí)候，不應(yīng)該固守一種方法，而應(yīng)當(dāng)多種方法并存。如“借助于等式的性質(zhì)來(lái)解方程”“通過(guò)等式各部分之間的關(guān)系來(lái)解方程”“滲透初中階段的移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)”等方法。這樣的符號(hào)應(yīng)用，是一種靈活性的符號(hào)應(yīng)用。因此，對(duì)于列方程、解方程來(lái)說(shuō)，符號(hào)的靈活應(yīng)用不僅體現(xiàn)“求未知數(shù)”上，也體現(xiàn)在“設(shè)未知數(shù)”上。有時(shí)候可以直接設(shè)定所要求的未知數(shù)；有時(shí)候恰恰要間接設(shè)定一個(gè)中間的未知數(shù)。借助于列方程、解方程，能引導(dǎo)學(xué)生有效地應(yīng)用符號(hào)。在這個(gè)過(guò)程中，教師不要給學(xué)生太多的條條框框，不能束縛、鉗制學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過(guò)符號(hào)的運(yùn)用，學(xué)生能深刻地認(rèn)識(shí)到方程就是一種關(guān)系、一種模型、一種已知數(shù)和未知數(shù)共同參與的程序性的運(yùn)算。這樣的認(rèn)識(shí)，就貼合了方程的本義。

符號(hào)應(yīng)用是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)、思考的一種重要方式。符號(hào)的應(yīng)用能有效地深化學(xué)生的符號(hào)感知，提升符號(hào)化思維，催生符號(hào)化想象，進(jìn)而有效地促進(jìn)學(xué)生用符號(hào)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有效地生成學(xué)生的“代數(shù)思維”。

符號(hào)創(chuàng)造：生成學(xué)生的符號(hào)化素養(yǎng)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)、理解、應(yīng)用符號(hào)，不應(yīng)當(dāng)是被動(dòng)的、膚淺的，而應(yīng)當(dāng)是積極的、主動(dòng)的、創(chuàng)造性的過(guò)程。符號(hào)是人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)的智慧結(jié)晶。每一個(gè)符號(hào)的誕生，都有著豐富的背景，合理的科學(xué)性緣由。換言之，符號(hào)的規(guī)定不是任意的，一定有著其內(nèi)在的道理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)、應(yīng)用符號(hào)，更要引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)。

比如講授“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”這部分內(nèi)容，教師重點(diǎn)要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的本質(zhì)意義，即“正數(shù)和負(fù)數(shù)是表示具有相反意義的量”。在教學(xué)中，教師往往喜歡將溫度計(jì)上的讀數(shù)作為素材。表示“意義相反的量”有兩類(lèi)：一是“自然意義上的相反”，如家庭的收入與支出、企業(yè)的盈利與虧損、游戲的贏與輸，這里，0點(diǎn)就是平衡點(diǎn)；另一類(lèi)是“人為規(guī)定的相反”，如冰水混合物、海平面的高度等。相比較而言，學(xué)生更容易理解、把握“自然意義上的相反”。

教學(xué)中，教師要呈現(xiàn)多方面的素材，包括靜態(tài)的素材和動(dòng)態(tài)的素材，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)確定標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)學(xué)生確定了標(biāo)準(zhǔn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)。學(xué)生創(chuàng)造的符號(hào)是多樣化、豐富性的。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各自創(chuàng)造的符號(hào)進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“+”“-”符號(hào)的特點(diǎn)。一方面，“+”“-”符號(hào)能表示靜態(tài)的兩種具有相反意義的量；另一方面，“+”“-”又能動(dòng)態(tài)地刻畫(huà)相反意義的量。借助于正負(fù)號(hào)，學(xué)生能夠感受、體驗(yàn)到正負(fù)數(shù)既可以表示相反意義的結(jié)果，又能表示相反意義的量的產(chǎn)生過(guò)程。正是在這一意義上，學(xué)生認(rèn)識(shí)到符號(hào)不是隨意、任意確定的，符號(hào)能反映知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程。既能反映知識(shí)結(jié)果又能反映知識(shí)過(guò)程的符號(hào)才是科學(xué)的、合理的符號(hào)。

羅素說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯”。培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要的隱性目標(biāo)，需要教師制定一個(gè)科學(xué)、合理、可操作、可觀察的教學(xué)框架，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)誕生、發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生有效地把握符號(hào)的內(nèi)涵。在這個(gè)過(guò)程中，有效地幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)符號(hào)思考、探究的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，豐富、發(fā)展學(xué)生的符號(hào)思想。