2021年黑龍江省東部地區中考數學試卷分析報告

雞西市教育學院 孫秀云

2021年黑龍江省東部地區中考命題工作由鶴崗市負責。本著“突出能力，注重基礎，創新為魂”的命題原則，中考命題組按照《數學課程標準》的有關要求，突出了數學學科是基礎學科特點，在堅持全面考查學生的數學知識、方法和數學思想的基礎上，積極探索試題的創新形式，試卷層次分明、難易有度。本次試題難度適中，易中難比例系數為8：1.5：0.5符合學生的認知水平。這既有考查基礎知識、基本技能的基礎題，又有考查數學思想、數學方法的領悟及數學思維水平的區分題。試題立意鮮明，取材新穎，設計巧妙，貼近學生生活實際，體現了時代氣息與人文精神的要求。同時整套試卷鼓勵學生創新，加大創新意識的考查力度，突出試題的探索性和開放性，充分體現課改精神。

一、試題總體設計

2021年初中畢業學業考試數學試卷沿用以往的試卷格式，但內容更貼近生活實際，體現應用價值。本次試題依據新課標的要求，從學生熟悉的生活索取題材，把枯燥的知識生活化、情景化，讓學生從中體驗、感受學習數學知識的必要性、實用性和應用價值。試卷注重基礎知識的考查，設置選擇題、填空題、解答題三種題型，共28道試題。試題取材廣泛，但有一定的區分度。

試題體現了對學生計算能力、綜合分析能力、解決實際問題能力等方面的綜合測試。試題從學科知識、思想方法和學習能力出發，堅持“用數學分析問題”的理念，朝著注重素質和能力考查的方向前進，多層次地考查了學生的數學核心素養和邏輯思維。整套試卷體現了數學核心素養的要求，體現了數學的靈活性、實用性、創新性。

二、試卷結構情況

2021年中考數學試卷共三大板塊，分別為選擇題、填空題、解答題，計28小題。其中第一大題為選擇題，共10道題，第二大題為填空題，共10道題，解答題共8道題，見表1。

其中容易題約96分，中等題約18分，難題約6分，三檔題目分值比值約為8：1.5：0.5。

三、試題的內容分布

試卷考點分布面較廣，全面考查了初中數學“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”三個板塊的知識點，覆蓋率達98﹪以上，見表2。試卷重點對數、式、方程、不等式、函數、統計、概率、三角形、三視圖、四邊形、圖形變換、相似形、解直角三角形、圓等知識進行考查，延續加大二次函數的考查力度。具體知識點考查如表3所示。

表2 數學試卷知識板塊分布及分值占比

表3 數學試卷具體知識點及解題思想方法

試題編排從最基本的知識開始，由易到難，緩慢提高，不僅突出對四基的考查，還關注學生思維能力、運算能力和創新能力的考查。試題的起點非常低，有相當數量的題目可以在現行教材中找到原型，譬如選擇題的第1到7題，解答題的27題等。對于絕大多數考生來說，這些試題是比較容易的，這體現了對學生基本知識的考查和人文關懷；同時試題的設置又具較明顯的梯度，綜合題入口寬而易，出口高而新，例如第28題。

四、結合2021年中考數學試卷的閱卷情況對部分試題進行分析

題1：（黑龍江省東部地區中考第8題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為E，頂點A在第二象限，頂點B在y軸正半軸上，反比例函數（k≠0，x＞0）的圖象同時經過頂點C、D.若點C的橫坐標為5，BE=2DE，則k的值為（ ）

分析：本題考查考生對于菱形對角線相互垂直、鄰邊相等等相關性質掌握情況。反比例函數k值等于橫縱坐標相乘，坐標軸解題常需過點向x軸、y軸做垂直，根據特殊角度得出點坐標。這需要考生有數形結合思維，同時思考多個知識點，體現數學中的中心對稱美。部分學生不能把反比例函數與菱形相關知識有機結合，運用多個知識點分析問題、解決問題能力不足。

題2：（中考第10題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，點F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若CE=4，OF=6.則下列結論：①GF=2；②OD=OG；③tan∠CDE=；④∠ODF=∠OCF=90°；⑤點D到CF的距離為其中正確的結論是（ ）

A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤

分析：多結論判斷題延續2020年的改革，將原來的“正確的結論有幾個”改為“選擇哪幾個結論是正確的”，難度有所下降。該題考查三角形、正方形、旋轉、三角函數值等有關知識，也考查學生的數形轉換的思想。這需要學生具備一定的“圖感”，需要熟練掌握一些基本圖形的結論，才能構建綜合的數學模型，此題綜合性強。解決此題的關鍵點：GF為△DCE的中位線，求出GF=2，OG=4，利用勾股定理求出OD，算出∠CDE的正切值，得出①②③并排除④，正確答案選項C。

這樣一分析，發現今年的“哪幾個結論正確”比往年的“正確結論有幾個”還要容易得分。但建議日常教學中不要使用排除法，應對所有結論逐一分析、驗證，才能使學生鞏固基礎知識，掌握基本圖形及其相關結論。

題3：（中考第19題）在矩形ABCD中，AB=2cm，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點B與點D重合，折痕與直線AD交于點E，且DE=3cm，則矩形ABCD的面積為 cm2.

分析：本題為幾何多解問題，需要學生自己畫圖解答。此題多解比較隱藏，需要討論CD＞2cm和CD＜2cm兩種情況，在畫折痕時只需要做BD的垂直平分線即可，最后運用垂直平分線的性質和勾股定理解題。本題是填空題中難度最大的一道題，也是丟分最多的一道題。閱卷時發現很多學生得出答案，卻因為填空題答案為多項式時，結果應加括號，部分學生未加括號而丟分。這說明很多學生已經開始重視多解題型的訓練，但是因為細節問題而失分。

題4：（中考第20題）如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2……按此規律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2……△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021=

分析：20題是一道綜合性的填空題，典型的探索規律試題。它主要考查了：菱形、等邊三角形變化規律問題，與以往的在坐標系中找點坐標、面積等變化規律問題相比，降低了難度和計算量，有較高的思維含量。如果學生能抓住每個等邊三角形邊長的變化規律，先算出第2021個陰影三角形的邊長，再推算面積會減少很多計算量。但是批卷過程中能看出不少學生雖然能推算出規律，但是沒有化成最簡單的書寫格式，或者書寫格式不規范而導致丟分。此題在填空題中得分第二低，可能學生對于填空題的最后一題出于畏懼心理主動放棄，也是得分低的原因之一。

題5：（中考第23題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是對稱軸左側拋物線上的一個動點，點Q在射線ED上，若以點P、Q、E為頂點的三角形與△BOC相似，請直接寫出點P的坐標.

分析：本題考查二次函數解析式及相似三角形、等腰三角形的綜合應用。該題本著加大二次函數的考查力度，做好初高中數學知識點銜接的統籌思想，突破性將相似三角形與二次函數相結合。第（1）問正常代點求解，緊扣課本考查學生基礎知識掌握情況。第（2）問在對稱軸左側拋物線上找一動點P，在射線ED上找一點Q，使得P、E、Q為頂點的三角形和△BOC相似，如果學生能抓住△BOC的形狀特征解題思路會更清晰。有第（1）問可知△BOC是等腰直角三角形，若要構造相似△PQE，只要分類討論E、Q為直角頂點的情況即可。當E為直角頂點時，EP=EQ且E、P兩點縱坐標相同，可知P點縱坐標為2，代入解析式即可求出P點坐標（-1-，2）；當Q為直角頂點時，QE=QP且P、Q兩點縱坐標相同，此時可設EQ長為a，則P點坐標為（-1-a，2+a），代入拋物線解析式即可得到P點坐標為（-1，3）。此題難易適中，靈活新穎，從答題上看：第一問多數學生能夠計算出正確的結果。第二問得分率很低，根源在于學生沒有讀懂出題者的意圖，盲目運用相似解題，分析能力明顯不足，課堂上缺乏構建知識的鏈接，缺乏綜合性解決問題的能力。

題6：（中考第25題）已知A、B兩地相距240km，一輛貨車從A地前往B地，途中因裝載貨物停留一段時間.一輛轎車沿同一條公路從B地前往A地，到達A地后（在A地停留時間不計）立即原路原速返回.如圖是兩車距B地的距離y（km）與貨車行駛時間x（h）之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：

（1）圖中M的值是____；轎車的速度是____km/h；

（2）求貨車從A地前往B地的過程中，貨車距B地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數關系式；

（3）直接寫出轎車從B地到A地行駛過程中，轎車出發多長時間與貨車相距12km？

分析：本題是一道一次函數實際應用問題，考查一次函數的圖象、自變量取值范圍、函數解析式的求解、用函數圖象求兩車之間的距離問題。本題設計貼近生活，時代感強，容易進入情境，難易度適中，是中檔題。學生只要讀懂圖象信息，理解兩車的運動過程是解題的關健。第（1）問要求M的值和轎車的速度，讀懂題意即可求解。第（2）問貨車距B地的距離y與行駛時間x的函數關系式，貨車行駛距離對應的函數圖象為線段MN、NG、GH，分別求出這三條線段函數解析式，聯立即可求解。第（3）問從B到A的行駛過程中轎車出發多長時間與貨車相距12km。學生可以通過分析B到A段的行程圖可知兩車在相遇之前和相遇之后各有一個時間點相距12km，設轎車出發x小時兩車相距12km，可列方程120x-66（x+1）=240±12，可得出時間為1h或h。閱卷過程中發現學生出現的問題是忽視了函數自變量的取值范圍。表面上看只是分段函數的自變量的取值范圍問題，其本質是學生對于函數概念的內涵理解不到位，每一個函數是關聯著自變量和函數的一對對應關系的，所以對于基本概念的深刻理解值得師生高度重視。

題7：（中考第27題）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中。”為擴大糧食生產規模，某糧食生產基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需3.5萬元，購進1件甲種農機具和3件乙種農機具共需3萬元.

（1）求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設購進甲種農機具m件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于國家對農業生產扶持力度加大，每件甲種農機具降價0.7萬元，每件乙種農機具降價0.2萬元，該糧食生產基地計劃將節省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農機具（可以只購買一種），請直接寫出再次購買農機具的方案有哪幾種？

分析：此題能結合社會熱點，結合生產、生活實際，體現了數學來源于生活。綜合考查了學生運用二元一次方程（組）、一元一次不等式、一次函數去分析問題，解決問題的能力。第（1）問利用題中等量關系式列出二元一次方程組求解即可，在閱卷過程中很多學生得滿分，但一部分學生因為沒有設和答不認真或過于簡單而丟分。第（2）問根據問題可列一元一次不等式組，求出解集作答。第（3）問在（2）的方案下即購進5臺時，甲的進價調整為0.8萬元，乙的進價調整為0.3萬元，節省資金4.5萬元，可設再購進甲農機具a臺，乙農機具b臺，則列二元一次方程0.8a+0.3b=4.5，求出方程的整數解有兩組，分別為購買甲農機具0件，乙農機具15件；購買甲農機具3件，乙農機具7件。

題8：（中考第28題）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的邊OA在x軸上，OA=AB，且線段OA的長是方程x2-4x-5=0的根，過點B做BE⊥x軸，垂足為E，tan，動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A出發，沿線段AB向點B運動，到達點B停止。過點M作x軸的垂線，垂足為D，以MD為邊做正方形MDCF，點C在線段OA上，設正方形MDCF與△AOB重疊部分的面積為S，點M的運動時間為t（t＞0）秒。

（1）求點B的坐標；

（2）求S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）當點F落在線段OB上時，坐標平面內是否存在一點P，使以M、A、O、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

分析：本題是本試卷的壓軸題，考查了正方形的性質、一元二次方程的解法、三角函數正切值、三角形的面積公式、勾股定理的靈活應用及平行四邊形的性質等。利用分類討論的思想是解決問題的關健，試題避開往年的求直線的解析式，而是求面積的函數解析式，問題設計新穎，注重學生的建模思想。本題立足于考查初中數學的核心基礎知識、基本技能，以及隱含于其中的基本數學思想方法。本題是課本習題的變式題，或是源于課本并適度延拓的引申題，綜合性比較強。解決第（2）問首先要明確這是一個動態圖形，隨著點M的運動，重疊部分的形狀改變，當點F運動到線段OB上時為圖形變換的分界點，分界點對應運動時間。其次，要求重合面積S與運動時間t的函數關系式關鍵是如何表示出面積S，由于重疊部分不是特殊圖形，不能直接表示，只能通過觀察圖形，轉化成正方形與三角形面積的差，即當時，S=S正MFCD-S△MDA；當＜t≤5時，S=S正MFCD-S△FGH-S△MDA，利用相關線段長度表示面積即可。這里涉及的利用相似計算邊長需要學生具有較深厚的運算功底。第（3）問，構造以M、A、O、P為頂點的四邊形是平行四邊形，由題意可得F點落到線段OB上時，點M坐標為（），A點坐標（5，0），當OA∥PM時，MP=OA=5，得出P點坐標為當AM∥OP時，很多學生都習慣利用解析式來求點坐標，這里介紹一種用平移的性質來求P點坐標的方法，會更加節省時間。因為要構造平行四邊形，可以想象成將線段OM沿MA方向平移得出線段PA，M點經過平移到A點的過程中，縱坐標減，橫坐標減少，按照這個平移規律可以很快得出點O到點P也經過這樣的平移變化，進而得到另一個P點坐標。這里既要求學生有較強的分析問題能力，又考驗了學生較復雜的數的運算能力。思維能力和運算能力在數學學習中占據舉足輕重的位置。

五、對今后教學的啟示和建議

（一）立足教材，夯實“雙基”

試卷中大多數題相當于教材中的隨堂練習題。在教學中，教師要立足教材，重視教材，研究教材，挖掘教材，創造性地使用教材。特別要注意教材中典型例題和習題的研究與延伸，講清、講深、講透初中數學中的基礎知識，錘煉學生扎實熟練的基本功。同時，教師在教學中也要注意，有些試題難度有所下降，但對能力的要求沒有下降。一是注意表達要有邏輯性，推理要嚴謹、嚴密，不要漏掉重要的得分點，否則即使答案正確，也會被閱卷老師視為理由不夠充分而扣分。二是書寫、作圖要整潔規范。

（二）重視過程，培養能力

1.重視數學閱讀。不管任何一門學科，學習過程中都離不開閱讀，如果沒有具備良好的閱讀習慣，在數學習題解答中不能夠做到準確掌握概念、內涵，那么這道數學題就沒有辦法實現系統的解答。數學教師在培養學生數學學習能力的時候，要重視數學閱讀。

2.要重視學生運算能力培養，提高學生運算速度和運算準確性。

3.數學分析的重要性不言而喻，數學分析是數學運算的基礎工作。

4.要注重解題過程，注重答題規范性和嚴謹性。

5.要注重實踐能力培養。在實際學習過程中，有部分教師為了節省時間，忽略了對學生動手能力的培養，導致學生對數學內容理解不深刻。

總而言之，近年來中考試卷越來越彰顯數學思維、實踐、操作的重要性。新課標將學生自主學習、自主探究放在了非常重要的位置，只有在教學過程中認真落實課程標準，突出數學的思維本質，打牢學生的運算、推理等基礎能力，才能不斷提高學生數學素養，為高中及大學輸送更多更優秀的人才。