一種涉及大地坐標的大角度三維坐標轉換方法

馬 雷 邵先鋒 楊泰朋

(國網安徽省電力有限公司建設分公司，安徽 合肥 230022)

1 概述

坐標轉換參數求解作為經典大地測量問題，通常基于七參數模型求解出不同坐標系之間的轉換參數[1]。三維坐標轉換的7個參數包含3個平移參數、1個尺度參數以及3個旋轉參數，而精確并可靠地估計轉換參數是三維坐標轉換的核心問題[2]。通常利用3個及以上的公共點的坐標，將七參數模型轉換為經典最小二乘理論的Gauss-Markov模型進行求解，然后根據求解的轉換參數再將非公共點的坐標轉換到目標坐標系下[3]。

當旋轉角較小且尺度比接近1時，常采用Bursa-Wolf模型進行描述。當旋轉角較大時，應采用相似變換Helmert模型。姚宜賓采用Taylor級數對Helmert模型進行線性化，提出了適用于大角度和任意尺度比的轉換方法[4]。陳義根據旋轉矩陣的正交特征，構建了附有約束的坐標轉換模型[5]。另外，空間坐標的表現形式有很多種，最常見的形式是空間直角坐標系。但在某些領域的原始坐標觀測值常采用大地坐標的形式，比如三維點云數據、導航數據等。當存在大地坐標時，常用的方法是將公共點的大地坐標變換為同坐標系下的直角坐標，然后利用兩套直角坐標進行轉換參數的求解[6]。在上述過程中，大地坐標可以很容易變換成相應的直角坐標，但是由于轉換過程是非線性的，點位精度的損失難以避免。因此，在存在大地坐標的情況下，傳統方法存在一定的缺陷，因此，如何避免大地坐標變換成直角坐標的精度損失具有重要的理論研究意義。

綜上所述，本文以涉及大地坐標時的坐標轉換為研究對象，研究混合大地坐標與直角坐標進行坐標轉換的轉換算法，避免大地坐標變換相應直角坐標產生的精度損失，進而提高坐標轉換的精度。

2 涉及大地坐標的轉換方法

大地坐標與直角坐標之間具有如下函數關系：

(1)

式中：X，Y，Z——點位直角坐標；

B，L，H——點位的大地緯度、大地精度及大地高；

N——橢球卯酉圈曲率半徑；

o——橢球第一偏心率。

根據Helmert轉換模型，涉及大地坐標時，對于單個點的觀測方程表達如下：

(2)

式中：下標“T”和“C”——目標坐標系和源坐標系；

e——相應的隨機誤差項；

ΔX,ΔY,ΔZ——平移參數；

s——尺度參數；

R——旋轉矩陣，具體形式如下：

R=R(εz)R(εy)R(εx);

根據Taylor級數對式(2)進行展開可得：

(3)

其中：

將式(3)整理可得誤差方程：

l+Je=Adβ

(4)

其中：

當有n個公共點時，根據式(4)構建誤差方程，根據經典最小二乘的Gauss-Markov模型，轉換參數的最小二乘解為：

dβ=(ATPA)-1ATPl

(5)

其中，P=(JQJT)-1，Q為誤差的先驗協因數矩陣。

3 仿真實驗

假設有15個點，選取其中10個點作為公共點，剩余5個點作為檢核點。

轉換參數的真值設定為：β=[1 000 m 896 m 956 m 1.3 0.046 rad -0.032 rad -0.065 rad]T。以CSCG2000橢球為例，在[-π π],[-0.45π 0.45π]以及[20 m 600 m]范圍分別生成目標框架下的緯度、經度和大地高，根據Helmert轉換模型的逆變換生成源框架下的三維直角坐標。在[1.5 3]×10-7范圍內生成經緯度的標準差，在[1 m 5 m]范圍內生成大地高的標準差(見圖1)。

執行1 000次Monte Carlo實驗，每次實驗的參數真值和坐標是固定的，但每次實驗的隨機誤差是通過上述的標準差采用零均值高斯分布獨立生成，分別采用以下兩種方法求解：

1)傳統方法；

2)本文提出的直接采用大地坐標進行解算。

根據不同方案的計算結果，分別計算轉換七參數以及5個非公共點在目標框架下三維坐標的RMS，具體計算公式如下：

(6)

轉換參數的均方根誤差見表1。非公共點解算的差值序列統計見表2。

表1 轉換參數的均方根誤差

表2 非公共點解算的差值序列統計

根據表1，表2以及圖2可以發現：

1)在轉換參數求解方面，兩種求解方法的精度都較高。但相比之下，直接采用大地坐標進行坐標轉換的方案2與傳統方法的方案1相比，平移、尺度和旋轉參數的RMS分別提高23%，28%，19%，15%，27%，10%以及8%。

2)在5個非公共站的轉換精度方面，相比較于方案2，在X方向上最大值、最小值以及均方根誤差平均提高11%，23%以及16%；在Y方向上最大值、最小值以及均方根誤差平均提高26%，17%以及24%；在Z方向上最大值、最小值以及均方根誤差平均提高23%，14%以及16%。

通過上述分析1 000次Monte Carlo實驗的結果表明：直接采用大地坐標的方法獲得結果均優于傳統方法，驗證了在大地坐標變換為直角坐標時，由于非線性影響導致點位精度傳播時出現了損失，導致轉換參數以及非公共點的轉換的精度降低。因此，當涉及大地坐標時，應采用本文提出的方法進行求解。

4 結語

由于大地坐標變換為同框架下的直角坐標時，點位精度的傳播受非線性影響較大，導致點位精度出現損失。本文提出的直接采用大地坐標進行轉換參數求解方法，相比較于傳統方法，轉換參數的精度以及非公共站的轉換精度都優于傳統方法。另外，本文方法的理論依據是經典最小二乘的Gauss-Markov模型，通過本文推導的公式可以發現，系數矩陣A中也是存在大地坐標觀測值，但該部分的誤差并未考慮。因此，針對系數矩陣含有的觀測值需要采用整體最小二乘的思想進行進一步研究。