數學教學中經驗遷移途徑

摘 要：數學知識學習中的問題解決都是經驗系統的具體反映。這類知識通常需要在教師的教學引導下不斷充實、完善并在新情境中產生遷移效果。在教學過程中，要重視學生已有知識經驗建構的意義，特別要加強對數學定義、性質、建模、關系等方面的理解，實現并促成經驗遷移。

關鍵詞：經驗建構;數學情境;遷移途徑

杜威認為：教育是一個從已知經驗到未知經驗的連續，經驗不斷增加的過程。有了生長的積累，經驗才具有生命力。教育過程是“一個不斷改組、不斷改造和不斷轉化的過程”，即“教育是經驗的繼續不斷的改組和改造，既增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗遷移的能力”。而經驗的改組與改造，其最好的實現形式就是遷移。

學習的成果是一種經驗的遷移;正如，加涅所說：學習的遷移是一種學習對另一種學習的影響，或習得的經驗對其他活動的影響，也就是已有經驗的具體化與新知識的類化過程或新、舊經驗的協調過程。經驗的協調和同化就形成了學習的遷移效果。實現數學知識、解題方法和思維方式等經驗有效遷移，在教學中應處理好“四個理解”。

一、 數學定義的理解是經驗遷移的基礎

定義是數學之根。掌握好定義及其內涵是經驗遷移的基礎。數學的許多問題就能學懂弄通。教師應該幫助學生學會數學地、自然地、合理地理解定義。

教學中經常會遇到這類問題：學生雖然已經聽懂一個問題，但對類似的問題不能自主解決。究其原因，主要不外乎兩點：一是學生沒有真正地認識和把握問題的本質，只是停留在能夠接受和表面理解的水平上;二是學生對問題解決方法的自然性、合理性，尤其對數學知識的定義缺乏足夠的感受和認知，導致所學的知識不僅難以遷移，并且容易遺忘，所以，教師在教學中，要將問題的信息盡可能轉譯到數學的“定義”上去。

例1 設函數f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（? ）

A. y=-2x

B. y=-x

C. y=2x

D. y=x

解析：本例雖然綜合考查了函數奇偶性、導數運算、切線方程等知識點或基本技能，但最關鍵的是對這些知識點定義的理解。其數學經驗主要來自冪函數類奇偶性的判斷和過曲線上點的切線方程表示方法。既體現了經驗的復制性，又體現了經驗的演繹性，最根本的解題經驗就是對函數定義的理解。雖然是一個綜合問題，但是只要理解好數學定義，抓住數學定義這個根本，經驗遷移就在這個有多個知識點綜合的情境下獲得實現。于是第一個“經驗”就是求得a=1（演繹性），第二個“經驗”就是求出切線的斜率是k=f′（0）=1（演繹性），第三個“經驗”就是求出切線方程y=x（復制性），其實復制性經驗是可以省略的。

例2 已知雙曲線x29-y216=1的右焦點F和定點A（9，2），試在這個雙曲線上求一點M，使得|MA|+35|MF|的值最小，那么這個最小值是??? ;此時點M的坐標為??? 。

解析：在已有的知識系統中容易知道，點F（5，0）是雙曲線右焦點，這是對雙曲線定義的最基本考查;但35|MF|的理解不在經驗之內，可以引導學生作圖轉化。設點M（x，y）到對應的準線的距離為d，則有|MF|=ed（e為曲線的離心率），這是對雙曲線定義的進一步考查。在本題中，雖然題設條件與結論沒有直接的聯系，但是，由于對雙曲線定義的理解，迅速找到d=35|MF|的幾何意義，這是對經驗的復制，也是已有知識基礎對經驗進行改造與重組形成的遷移。通過對雙曲線定義的理解，迅速明確了|MF|+35|MF|的數學意義，給思維的靈感創造了契機，體現了經驗的再生性，達成了經驗的順應與預見，真正體現了新舊知識的類化與協調過程，實現了經驗遷移。這個問題的解決，也驗證了數學經驗是通過數學適當情境的實踐所積累的“知識”，是實踐活動的具體產物，同時需要在新情境中產生遷移效果。

二、 數學性質的理解是經驗遷移的前提

性質是數學之魂。數學問題的解決，定義是根本，但只是孤立地理解了定義，并不是問題解決的全部。由于數學性質是建立在數學定義的基礎之上的，能不能把每一個數學定義弄清楚，并由此深刻領會每一個數學概念所蘊含的性質，這是問題解決的前提，也是實現經驗遷移的前提。

例3 設點P在曲線y=12ex上，

點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（? ）

A. 1-ln2

B. 2（1-ln2）

C. 1+ln2

D. 2（1+ln2）

解析：經驗遷移的主要目標是讓學生能夠將他們的已有知識遷移到恰當的情境中，這種能力要求學生能夠辨認出新情境中與他們以前所學情境的關鍵特征相似的主要特征，從而實現一種學習對另一種學習的影響。本例乍看并不容易，一個是指數函數，一個是對數函數，要求兩個函數圖像上兩點之間最短距離，用什么方法？有什么思路？相似特征在哪里？其實，難點在于已知條件，突破的信息同樣蘊含在題干之中，那就是兩個函數分別是指數函數與對數函數，從而聯想到反函數重要的一個性質：圖像關于直線y=x對稱，把兩個不同函數圖像上兩點距離問題轉化為y=12ex圖像上點到直線y=x的距離問題，根本不需應用對數函數解析式。由此可見，把握反函數性質，已有知識經驗從“性質”角度通過“反函數”這個數學情境的實踐積累，在新情境中產生了遷移效果。其中的數學經驗經歷了一個“選擇”的過程，依靠對過去已有經驗的加工和改造，“同化”了特殊情境下呈現的信息，體現了思維的再生性，形成更加完善的經驗建構，既神奇而又充滿科學。所以，對數學性質的理解是實現經驗遷移的前提，這也是經驗遷移的一條準則。

三、 數學建模的理解是經驗遷移的橋梁

建模是數學之本。建模本身就是在已有知識體系的基礎上，一種舊知識情境到新知識情境的一種遷移。新課標提出：在數學教學中應該強調建模思想滲透，要讓學生“經歷將一些實際問題抽象為數學問題過程”，讓學生經歷“問題情景——建立數學模型——求解——解釋與應用”的基本過程，發展合情遷移與演繹推理能力。教學時要有利于具體的情境問題向抽象的數學情境過渡，或者講，一個數學問題最好有一個具體的現實模型來解釋，讓學生體會到“數學化”過程抽象的冰冷的美麗，要讓學生經歷已有知識經驗的建構過程。

例4 一個長方體被一個平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積為（? ）

A. 24

B. 48

C. 72

D. 9 6

解析：求該幾何體的體積，首先要弄清該三視圖代表的幾何體的模型，需要還原幾何體，結合三視圖，先畫一個長為6，寬為4，高為4的長方體，如圖4所示，在該長方體中可以較快得到多面體

ABCDEFG，從而迅速求得該幾何體的體積為48。

為什么會想到建立“長方體”這個數學模型呢？首先，已有的經驗體系有：特殊的柱體、錐體以及球體的表面積和體積公式;三視圖問題要還原幾何體;三棱錐的外接球問題可以借助用四棱柱去解決等等。其次，復雜幾何體的幾何問題通常借助特殊幾何體解決。在數學問題中，處處都體現著建模的關系，對于具體問題，還原到特定的情境，是數學建模的必由之路。

本題的解決，原有認知已經不能接受新信息，這時經驗系統對原有經驗進行改造，幾何體還原，把問題遷移到“長方體”模型中，實現了新舊知識的類化與協調，其數學經驗體現了一個“順應、同化、預見”的過程。與上述問題相似，還有許多這樣的多面體外接球問題，如果還關聯到對三視圖還原，本身比較復雜，也許有些學生甚至就放棄了。不過，如果學生有一種強烈的建模思想，加強對數學建模的理解，把多面體遷移到長方體中，把多面體的外接球問題轉化為長方體的外接球問題，這樣，就能讓已有實踐所積累的知識經驗遷移到新的情境中，問題迅速得到解決，同時讓學生陡添解決這種問題的信心。這種遷移，溝通起經驗遷移的橋梁，思維敏捷，真正達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的美好境界。

四、 數學關系的理解是經驗遷移的支點

關系是數學之韻。尋找問題解決的方法，就要尋找思路，也就是尋找題目條件與結論之間的數學關系，它表現為溝通條件與結論的一系列演算或推理。在這其中，激活和提取不同問題情境下的基本經驗，至關重要！因為這種經驗影響著解題對策和方法選取，如果加強對問題中蘊含數學關系的理解，在解題時就能一下子抓住關鍵，單刀直入，立即深入問題的核心，成為解決問題的支點。

例5 若不等式x>ax+32

的解集為x|4<x<b，則實數a，b的值分別為??? 。

解析：本題考查不等式知識，在已有經驗內，通常方法是求解不等式，而本題是已知其解，求參數a，b。不過，解集也是以參數的形式出現的，存在一個逆向思維，之前沒有這種經驗，如何利用已有的知識進行遷移，并形成新的經驗？方法（1）：通過分類討論，將根式不等式轉化為二次不等式，從而可以求得，

a=18，b=36;

方法（2）：令y1=x，y2=ax+32，那么在條件4<x<b下，原不等式就表示：拋物線y2=x（y≥0）在直線y=ax+32上方的部分曲線所對應的橫坐標的取值。

方法①的真實背景為若已知不等式存在解集，反過來研究不等式中參數的取值。而已有的經驗系統是：已知不等式，求解集。即便如此，只要抓住解不等式的本質，思路也是簡單的，其解題經驗體現了一個“選擇、同化”的過程，這就是已有知識系統的積極意義。但由于不等式及其解集中都存在參數，運算量對學生是一個巨大的考驗;方法②是由已有的不等式都有其幾何背景的知識經驗，把解不等式的舊知識情境遷移到幾何背景之中，通過觀察曲線的位置關系，化解抽象的運算，體現了一個“選擇、順應、同化、預見”的經驗過程，方法靈活，計算簡單。由此可見，對數學關系的理解往往能成為經驗遷移的支點。

學生提取信息的過程往往不是在與最初學習信息時相同的情境中進行的。其實，教師也總是希望學生能把學到的知識與技能遷移到于各種不同情境中去，這樣才能打通學生數學“學習比較好”到“學習真正好”的任督二脈。這應該是我們教師在教學過程中應該著重追求的教學藝術。只有這樣，數學課堂才能靈動起來，教學才有生命力，數學教學才有生命力。

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作者簡介：謝衛煌，廣東省廣州市，廣東省廣州市第四十一中學。