教學(xué)設(shè)計(jì)在數(shù)學(xué)線上教學(xué)中的實(shí)踐
——以“重要極限”為例

湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 湖北 武漢 430068

2020年新春伊始，一場(chǎng)突如其來(lái)的新型冠狀病毒肆虐武漢。為阻斷疫情向校園蔓延，確保師生生命安全和身體健康，教育部日前下發(fā)通知，要求今年春季學(xué)期延期開(kāi)學(xué)?，F(xiàn)階段防控新型冠狀病毒肺炎是當(dāng)前頭等重要的大事，各級(jí)教育部門正按教育部和當(dāng)?shù)攸h委政府統(tǒng)一部署要求，全力防控，各高校積極利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，開(kāi)展本科教育“停課不停教、不停學(xué)”的線上教學(xué)活動(dòng)。

1 數(shù)學(xué)課程線上教學(xué)現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)課程是大學(xué)的基礎(chǔ)課程，是理工科專業(yè)課程的根基。數(shù)學(xué)沒(méi)有學(xué)好，將對(duì)專業(yè)課的學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。為貫徹落實(shí)教育部文件精神，切實(shí)加快數(shù)學(xué)課程教育信息化建設(shè)進(jìn)程，促進(jìn)現(xiàn)代教育信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用，很多學(xué)校引進(jìn)或開(kāi)發(fā)了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，如國(guó)家精品資源共享課、MOOC、雨課堂等。

誠(chéng)然這些網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)確實(shí)為學(xué)生學(xué)習(xí)提供了很好的資源，渠道多，方式靈活快捷，但平臺(tái)良莠不齊，并且教學(xué)資料以教案、課件、錄像為主。學(xué)生開(kāi)展線上自主學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)習(xí)自主性不高，學(xué)習(xí)目的性不強(qiáng)，經(jīng)常有無(wú)從下手的感覺(jué)。特別是高等數(shù)學(xué)課程，學(xué)時(shí)多，戰(zhàn)線長(zhǎng)，內(nèi)容深，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)看了好幾遍課件、好幾遍書，還是不太理解，沒(méi)有老師的指導(dǎo)，一遇到難題就想逃避，學(xué)生在學(xué)習(xí)中的思維容易中斷，不利于邏輯思維能力的培養(yǎng)。其次，網(wǎng)絡(luò)的不規(guī)范也使一部分學(xué)生的身心受到威脅，有些人由于認(rèn)知水平的缺陷，常常受外界影響，而耽誤學(xué)業(yè)。這也是現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)帶給人們的一大擔(dān)憂。再次，有些老師進(jìn)行線上教學(xué)時(shí)，只注重自己講，和學(xué)生的實(shí)時(shí)交互很少，學(xué)生參與度不高，不能及時(shí)了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，教學(xué)質(zhì)量很難得到保證。

因此在“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念下，為了引導(dǎo)學(xué)生更高效地完成數(shù)學(xué)課程的線上學(xué)習(xí)，首先需要教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)“藍(lán)本”，明確教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生知道為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)，這時(shí)一份好的教學(xué)設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵

2.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的重要性 教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)工程，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，多要素相互聯(lián)系、相互作用和相互影響，其中課堂教學(xué)尤為關(guān)鍵。教師在備課過(guò)程中，用系統(tǒng)的方法對(duì)這些要素進(jìn)行合理有序的安排和計(jì)劃，就是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)設(shè)計(jì)者以教學(xué)理論為最直接的理論來(lái)源，通過(guò)學(xué)習(xí)理論和傳播理論，系統(tǒng)性地對(duì)教學(xué)對(duì)象和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深度分析，細(xì)化教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)教學(xué)策略，評(píng)價(jià)試行結(jié)果，再反復(fù)修改方案，其終極目的是獲得最優(yōu)的教學(xué)效果，提升學(xué)生的知識(shí)能力與學(xué)習(xí)能力。

教學(xué)設(shè)計(jì)將諸要素聯(lián)結(jié)起來(lái)，于教師層面，教學(xué)準(zhǔn)備更充分，有利于提高教學(xué)能力。教師在處理各種教學(xué)信息，客觀、全面地認(rèn)識(shí)教學(xué)等方面的能力更顯著，再通過(guò)不斷總結(jié)和反思，改進(jìn)和完善課堂教學(xué)，促進(jìn)教學(xué)的系統(tǒng)化。于學(xué)生層面，有利于提高學(xué)習(xí)者獲得知識(shí)、技能的效率和興趣，更有利于學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)向主動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)型?？梢哉f(shuō)，教學(xué)設(shè)計(jì)是提高課堂教學(xué)效率和質(zhì)量的一項(xiàng)重要工作，是教師課堂教學(xué)的一種探索和改革，也為學(xué)習(xí)者提供了自學(xué)的方法。

2.2 教學(xué)設(shè)計(jì)的定義 教學(xué)設(shè)計(jì)不僅是教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，更是一門學(xué)科。國(guó)際著名教學(xué)設(shè)計(jì)理論家C.M.賴格盧特認(rèn)為教學(xué)設(shè)計(jì)是一門理解與改進(jìn)教學(xué)過(guò)程的學(xué)科，設(shè)計(jì)活動(dòng)的宗旨是設(shè)置預(yù)期目標(biāo)，提出最優(yōu)途徑，獲得最優(yōu)效果[2]。在他看來(lái)，教學(xué)設(shè)計(jì)也可以被稱為教學(xué)科學(xué)。同時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)也是一個(gè)系統(tǒng)工程。美國(guó)教育心理學(xué)家R.M.加涅曾定義教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)系統(tǒng)化規(guī)劃教學(xué)系統(tǒng)的過(guò)程，作出有利于學(xué)習(xí)的安排[3]。學(xué)習(xí)教練肖剛也提到教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)遵循學(xué)習(xí)效果最優(yōu)原則，是一個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的過(guò)程[4]。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)始于對(duì)教學(xué)目標(biāo)的分析和需要，終于對(duì)教學(xué)的評(píng)價(jià)，一般包括教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過(guò)程和教學(xué)評(píng)價(jià)四個(gè)部分。教學(xué)任務(wù)是主題，教學(xué)目標(biāo)是基礎(chǔ)，教學(xué)過(guò)程是核心，教學(xué)評(píng)價(jià)是反饋，四者之間相互關(guān)聯(lián)，相互作用，構(gòu)成整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的閉環(huán)。教案是教學(xué)設(shè)計(jì)最顯性的表現(xiàn)，呈現(xiàn)的內(nèi)容覆蓋每個(gè)部分。教學(xué)內(nèi)容是教學(xué)任務(wù)的直接表述；學(xué)情分析、內(nèi)容分析、教學(xué)重難點(diǎn)是設(shè)定教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵；教學(xué)過(guò)程包含教學(xué)手段與方法、教學(xué)步驟、重難點(diǎn)的解決方法與時(shí)間分配等，這是教案的核心；在教學(xué)過(guò)程中和結(jié)束后，收集反饋信息，進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)，依據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果，繼續(xù)調(diào)整和完善教學(xué)設(shè)計(jì)。

因此，好的教學(xué)設(shè)計(jì)能讓教師更好地把握教學(xué)過(guò)程，保證教學(xué)高效率和高質(zhì)量，更有利于學(xué)生在單位時(shí)間內(nèi)學(xué)到更多的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力，學(xué)生素質(zhì)得到全方位發(fā)展[5，6，7，8]。

2.3 教學(xué)設(shè)計(jì)的原則和實(shí)施方法 教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容豐富，包含諸多要素，因此在設(shè)計(jì)過(guò)程中要遵循四個(gè)基本的原則：系統(tǒng)性原則、程序性原則、可行性原則和反饋性原則。根據(jù)這些原則，教學(xué)設(shè)計(jì)各要素的具體實(shí)施方法有：

(1)首先讓學(xué)生明確“為什么學(xué)”。在充分了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)上，確定學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)需要和學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)置預(yù)期能力目標(biāo)；

(2)再確定“學(xué)什么”。根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，分析課程內(nèi)容，進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)者的知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)和情感與態(tài)度目標(biāo)，滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要；

(3)還要讓學(xué)生知道“如何學(xué)”。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，詳細(xì)設(shè)計(jì)教學(xué)流程及目的說(shuō)明，突出重難點(diǎn)，并提供解決辦法，注重教學(xué)策略與方法，規(guī)劃好各部分的教學(xué)時(shí)長(zhǎng)；

(4)最后檢驗(yàn)“學(xué)得如何”。通過(guò)學(xué)生課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成度、同行聽(tīng)課等檢驗(yàn)指標(biāo)，全面評(píng)價(jià)教學(xué)效果；教師結(jié)合評(píng)價(jià)結(jié)果反饋，對(duì)教學(xué)各環(huán)節(jié)進(jìn)行修正，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程，再反饋給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生多次學(xué)習(xí)，完成預(yù)期目標(biāo)。

3 教學(xué)設(shè)計(jì)案例

【教學(xué)內(nèi)容】第一章：函數(shù)與極限 第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限；

【授課時(shí)常】45分鐘；

【學(xué)情分析】

知識(shí)基礎(chǔ)：

一方面，學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)了二項(xiàng)展開(kāi)式，之前又學(xué)習(xí)了極限的運(yùn)算法則和極限存在準(zhǔn)則，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的極限，知道利用單調(diào)有界準(zhǔn)則判斷極限的存在性，這些內(nèi)容都為本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。另一方面，學(xué)生只會(huì)運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算一些簡(jiǎn)單的極限，而對(duì)于“1∞”型的極限是之前沒(méi)有接觸過(guò)的。結(jié)合學(xué)生的已有認(rèn)知，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課程的學(xué)習(xí)之中。

能力基礎(chǔ)：

學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò)“1∞”型的極限計(jì)算問(wèn)題，這是一種新的極限問(wèn)題。本節(jié)課需要學(xué)生結(jié)合已知的極限計(jì)算方法和函數(shù)(數(shù)列)特性，來(lái)理解、掌握重要極限二的特點(diǎn)，同時(shí)會(huì)運(yùn)用重要極限二計(jì)算同類型的極限問(wèn)題以及解決實(shí)際問(wèn)題。

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)：

2.掌握重要極限的特點(diǎn)，熟練運(yùn)用重要極限求函數(shù)極限；

3.運(yùn)用重要極限解決實(shí)際問(wèn)題。

能力目標(biāo)：

1.通過(guò)本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)極限思想的理解；

2.培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用重要極限分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，

3.培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、質(zhì)疑問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和相關(guān)知識(shí)的遷移能力，應(yīng)用到本專業(yè)的學(xué)習(xí)中。

情感與態(tài)度目標(biāo)：

1.通過(guò)實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；

2.明確高等數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的精妙；

3.進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自主探索和創(chuàng)新的科學(xué)精神。

【內(nèi)容分析】

因此，本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)從實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生觀察和探討一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)會(huì)從歸納、總結(jié)，抽象出結(jié)論，突出重點(diǎn)，同時(shí)注重教學(xué)內(nèi)容的實(shí)用性和探究性。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：理解重要極限二的形式、特點(diǎn)，熟練運(yùn)用重要極限解決有關(guān)函數(shù)極限的計(jì)算問(wèn)題。

解決方法：從實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)復(fù)利問(wèn)題的規(guī)律，找到一般形式，通過(guò)從一般形式中歸納出其特征，掌握運(yùn)用重要極限二的條件；通過(guò)例題，鞏固熟悉所學(xué)內(nèi)容。使學(xué)生在不斷觀察、總結(jié)、驗(yàn)證的過(guò)程中，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)理念，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的創(chuàng)新精神。

教學(xué)難點(diǎn)：重要極限的證明方法和過(guò)程。

解決方法：極限的證明問(wèn)題是學(xué)生一向都比較頭疼的問(wèn)題，源于極限概念的抽象性。在處理極限證明這一難點(diǎn)的過(guò)程中，借助熟知的二項(xiàng)式展開(kāi)，得到了數(shù)列的單調(diào)性和有界性，避免純粹利用極限概念，從而將難點(diǎn)降低，讓學(xué)生從已知到未知，漸進(jìn)地掌握知識(shí)內(nèi)容，加深對(duì)理論內(nèi)容的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)方法與策略】

采用啟發(fā)式教學(xué)，從實(shí)際案例出發(fā)，引導(dǎo)和啟發(fā)相結(jié)合。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出問(wèn)題與學(xué)生探討，學(xué)會(huì)觀察、歸納、總結(jié)，用以解決問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過(guò)程[9]。

【課堂教學(xué)流程】

1.知識(shí)回顧：(1)極限存在準(zhǔn)則——單調(diào)有界準(zhǔn)則；(2)二項(xiàng)展開(kāi)式(約3分鐘)

設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生查閱文獻(xiàn)，復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生熟悉基本內(nèi)容，也是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。

2.案例導(dǎo)入：復(fù)利下的本利和 (約4分鐘)

設(shè)計(jì)目的：案例導(dǎo)入法。學(xué)生通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的應(yīng)用，將感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步理性化，引導(dǎo)學(xué)生挖掘上述問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，為本內(nèi)容的研究找到固著點(diǎn)，讓學(xué)生知道“為什么學(xué)”。

3.課程主體：

注釋：這部分包含了“學(xué)什么”的全部?jī)?nèi)容。

(1)猜想的證明

①單調(diào)性證明；

②有界性證明；

設(shè)計(jì)目的：這是本節(jié)的難點(diǎn)。讓學(xué)生借助中學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)，利用前面章節(jié)所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考，證明猜想的正確性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神。

(2)重要極限的說(shuō)明 (約20分鐘)

設(shè)計(jì)目的：將歸納的結(jié)果用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的規(guī)范性和邏輯性。同時(shí)也是對(duì)前面所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)。

②特征：這是本節(jié)的重點(diǎn)。

i.類型：1∞型；

ii.函數(shù)：冪指函數(shù)；

設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出重要極限的形式和特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用重要極限時(shí)要從這三個(gè)特征出發(fā)，并嚴(yán)格具有重要極限特征，才能得到極限結(jié)果。

設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生靈活運(yùn)用重要極限解決極限計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要注意重要極限的形式與特征。

4.回答案例：解答開(kāi)篇提出的問(wèn)題。雖然隨著計(jì)息次數(shù)的增加，本利和會(huì)變大，但不會(huì)無(wú)限增加，有其閾值。 (約1分鐘)

設(shè)計(jì)目的：首尾呼應(yīng)，結(jié)構(gòu)完整。

5.反思：讓學(xué)生注意注意極限的特點(diǎn)，函數(shù)變形時(shí)要注意底數(shù)和指數(shù)部分的變化，防止計(jì)算錯(cuò)誤。 (約2分鐘)

設(shè)計(jì)目的：培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，注意知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通。

6.拓展：無(wú)理數(shù)e的由來(lái)以及數(shù)學(xué)家歐拉在數(shù)學(xué)上的成就。(約4分鐘)

設(shè)計(jì)目的：數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育中很重要的內(nèi)容，既能讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，還能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

7.小結(jié)，作業(yè)與思考。 (約1分鐘)

設(shè)計(jì)目的：鼓勵(lì)學(xué)生加強(qiáng)自學(xué)，多參與討論。

8.評(píng)價(jià)：通過(guò)學(xué)生課堂作業(yè)反饋，了解學(xué)生對(duì)本知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，并及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略及各教學(xué)環(huán)節(jié)。同時(shí)學(xué)生也可發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題，不斷修正，鞏固所學(xué)。

設(shè)計(jì)目的：教學(xué)評(píng)價(jià)是很重要的一環(huán)，教師和學(xué)生相互督促，共同進(jìn)步。

通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)施，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)“從生活中來(lái)，到生活中去”的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4 結(jié)論

在肺炎疫情期間，“停課不停教、不停學(xué)”，筆者將教學(xué)設(shè)計(jì)用在線上教學(xué)上，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在課堂上思維活躍，互動(dòng)積極，效果良好。全班34人，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查和批閱課堂課后作業(yè)，和同專業(yè)的平行班級(jí)橫向?qū)Ρ?，共收集?wèn)卷表197份，各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)占比如表1：

表1 線上教學(xué)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，教學(xué)設(shè)計(jì)在線上教學(xué)中的效果比較明顯。特別是學(xué)生有意識(shí)查閱文獻(xiàn)的意愿和能力有大幅度提升，并且在自主預(yù)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、線上參與度等方面，教學(xué)設(shè)計(jì)也有明顯的效果，同時(shí)對(duì)內(nèi)容的整體把握也更清晰，更容易讓學(xué)生形成知識(shí)體系。這些方面都是現(xiàn)在學(xué)生比較欠缺的。因此，好的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)都大有裨益，從而整體提高線上教學(xué)質(zhì)量。作為教師，做好教學(xué)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)很重要的工作。