具有連續分布時滯的切換分布參數系統反饋控制

鮑樂平,李騰輝

(1.太原工業學院自動化系,太原 030008；2.太原科技大學電子信息工程學院,太原 030024)

切換系統是混雜系統的一種重要類型。它包括一組子系統和描述子系統之間如何切換的切換規則,整個切換系統受控于切換規則[1]。由于在工程實踐中的應用,如機器人控制[2]、電力系統控制[3]等,切換系統在近二十多年得到了廣泛的研究[4-7]。

按照建模方法的不同,切換系統分為集中參數切換系統和分布參數切換系統(或者稱切換分布參數系統)。有關切換分布參數系統的研究一直是國際控制理論研究領域的難點。近十年來,切換分布參數切換系統受到了廣泛關注[8-12]。此外,時滯廣泛存在于工業系統中,是系統產生不穩定的一個重要因素。近些年來,有關時滯系統的研究有大量的報道[13-19]。

文獻[13]研究了時滯切換系統的穩定性問題,但考慮的切換系統不是分布參數系統；文獻[12]研究了切換分布參數系統的H控制問題,但沒有考慮具有分布時滯的情形。文獻[14-15]利用線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)方法研究了時滯分布參數系統穩定性和鎮定性問題；文獻[16]利用LMI方法研究時滯分布參數系統的H控制問題；文獻[17]對具有分布時滯的不確定中立型分布參數系統研究了滑模控制,設計了滑模控制器；文獻[18]對具有變時滯和連續分布時滯的分布參數系統進行了研究,設計了使得閉環系統穩定的狀態反饋控制器，但沒有考慮切換。從已有的相關文獻來看,對于具有連續分布時滯的切換分布參數系統控制問題研究還未見報道。

1 問題描述

考慮具有連續分布時滯的切換分布參數系統為

Ad1iW(x,t-γ1)+

(1)

其狀態反饋控制為

U(x,t)=KiW(x,t)

(2)

由式(1)、式(2)得到閉環系統為

Ad1iW(x,t-γ1)+

(3)

式中：i∈Θ={1,2,…,N},表示該切換系統具有N個子系統；(x,t)∈Ω×(0,+),x表示坐標,t表示時間,表示具有光滑邊界?Ω的有界區域Ω=Ω1∪Ω2∪…∪ΩN,Ωi∩Ωj=?(i,j∈Θ)；W(x,t)∈Rn表示系統的狀態向量；U(x,t)∈Rs表示控制；為Laplace算子；Di為耗散系數,Di>0(?i∈Θ);Di、Ai、Bi、Ad1i,Ad2i(?i∈Θ)為具有適當維數的已知矩陣；Ki為待定矩陣；時滯γ1>0,γ2>0為已知常數,記h=max{γ1,γ2}。

系統邊值條件為

W(x,t)=φ(x,t),(x,t)∈Ω[-h,0]

(4)

W(x,t)=0,(x,t)∈?Ω[-h,0]

(5)

(6)

式中：φ(x,t)為光滑函數；n為邊界?Ω上的單位外法向量。

研究的目的是設計狀態反饋控制器[式(2)]和切換規則,使得閉環切換分布參數系統[式(3)]漸近穩定。

引理Jensen不等式[19]：已知向量函數ω(·):[a,b]→Rn,a0,有

2 主要結果

定理已知具有連續分布時滯的切換分布參數系統[式(1)],其初邊值條件為式(4)、式(5)。如果對于任意給定的矩陣Q1i、Q2i>0,存在矩陣Pi>0,Ki,使以下矩陣不等式成立:

(7)

(8)

切換規則：

(9)

證明構造切換Lyapunov-Krasovskii函數為

(10)

因為Pi、Di為正定矩陣,則PiDi為正定矩陣。類似文獻[12]推導,根據高斯收斂定理、Poincare不等式以及邊界條件[式(4)～式(6)],可得

ΔWT(x,t)DiPiW(x,t)]dx=

(11)

對Vi沿著閉環系統[式(3)]的狀態軌跡關于時間t求導，即

ΔWT(x,t)DiPiW(x,t)]dx+

(12)

將式(11)代入式(12),得

(13)

利用Jensen不等式：

(14)

令

ηT(x,t)=[WT(x,t),WT(x,t-γ1),

那么有

(15)

(16)

式(16)中:

(17)

利用Schur補引理,可以得到與式(8)等價的線性矩陣，即

(18)

定理2 已知具有連續分布時滯的切換分布參數系統[式(1)],其初邊值條件為式(4)、式(5)。如果對于任意給定的矩陣Q1i,Q2i>0,存在矩陣Xi>0,Mi,使以下矩陣不等式成立：

(19)

當i=1時,閉環切換分布參數系統[式(3)]退化為系統：

BU(x,t)

(20)

即為文獻[18]中的系統[式(14)]。由定理2容易得到。

推論1 已知系統[式(20)],其初邊值條件為式(4)、式(5)。如果對于任意給定的矩陣Q1,Q2>0,存在矩陣X>0,M,使得以下線性矩陣不等式成立:

(21)

3 數值例子

利用MATLAB解LMI(21),得到系統狀態反饋增益矩陣為K=[-3.670 4 -1.166 5; -1.234 4 -4.631 5]；利用文獻[18]推論1的結果得到K=[-4.654 6 -1.373 8; -1.435 9 -6.277 3]。

通過數據對比可以發現,通過本文結論獲得的增益比通過文獻[18]結論獲得的增益數值小。說明本文通過較小增益的反饋控制能實現系統的漸進穩定,本文設計的控制器優于文獻[18]。

4 結論

通過構造切換Lyapunov-Krasovskii函數,結合Poincare不等式、Jensen不等式和LMI,設計了具有連續分布時滯的切換分布參數系統狀態反饋控制器和切換規則,給出了該類系統漸近可鎮定的充分條件。比較已有分布參數系統相關結論,考慮了分布參數系統中Laplace算子的系數對系統的影響。所得可以看作是已有分布參數系統相關結論的推廣和改進。最后,通過仿真進行了驗證。