電磁偏置各向異性石墨烯界面的傳播矩陣*

王飛 魏兵

1) (西安電子科技大學物理與光電工程學院,西安 710071)

2) (西安電子科技大學,信息感知技術協同創新中心,西安 710071)

基于電磁場邊界條件和相位匹配,推導出電、磁偏置下呈各向異性的石墨烯導電界面的傳播矩陣,并進一步給出各向異性石墨烯界面的反透射系數解析解； 該傳播矩陣耦合了基本的橫電波和橫磁波極化,并包括偏置電、磁場的影響.將跨石墨烯界面傳播矩陣嵌入各向同性分層介質傳播矩陣,獲得的新傳播矩陣可用于解析分析平面電磁波以任意角度入射含各向異性石墨烯界面層狀介質時的傳播和反透射特性,并且為分層介質與各向異性導電界面復合結構的相關分析和設計提供了一種非常簡單的工具.

1 引 言

石墨烯是由一層碳原子構成的二維蜂窩狀晶體結構,其厚度只有一個原子大小,約為 0.34 nm,是世界上最薄的半導體材料.石墨烯出色的力學特性和承載超大電流的能力,使其成為未來微納米技術中最有前途的材料之一[1-7],并且在2004年通過微機械剝離法制備成功[8-11].

相對于其他單原子金屬薄膜,石墨烯在熱力學上很穩定,并且在載流子濃度消失的情況下仍具有最小的導電性[9]； 同時,石墨烯是一種零帶隙半導體,利用靜電和/或靜磁偏置的電場和霍爾效應可以調節其導電性[8,10].討論分析石墨烯與電磁波相互作用問題時,可以將其看成具有導電性的“無限薄”表面[12],其導電性由表面導電率σ描述[13]； 微觀量子動力學方法推導出了σ的數學模型,其中還包括靜電和/或靜磁偏置情況下的重要影響—在存在偏壓和偏磁的情況下,石墨烯呈各向異性,其表面導電率為張量σ[14].此外應注意的是,即使沒有偏置場,在太赫茲(terahertz,THz)頻率以上,石墨烯也具有空間色散效應,這時亦呈現各向異性特性[15].

本文主要研究在太赫茲頻率以下,存在偏置外靜電和靜磁場時,各向異性的“無限薄”石墨烯與平面電磁波的相互作用： 利用電磁場邊界條件和相位匹配條件[16],推導出平面電磁波在各向異性石墨烯平面兩側的跨界面傳播矩陣(propagation matrix,PM),其中耦合了基本的橫電 (transverse electric,TE)波和橫磁 (transverse magnetic,TM)波極化,同時包括偏置電、磁場的影響； 基于該傳播矩陣,進一步給出石墨烯界面的反透射系數解析解； 將跨石墨烯界面傳播矩陣嵌入各向同性分層介質傳播矩陣[17](TE和TM波合并),獲得的新傳播矩陣可用于解析分析平面電磁波以任意角度入射含各向異性石墨烯界面層狀介質時的傳播和反透射特性.本文中時諧因子取 e xp(-jωt) .

2 電、磁偏置各向異性石墨烯界面的傳播矩陣

2.1 各向異性石墨烯薄層的表面電導率張量

設一“無限薄”石墨烯層(各向異性)平行于xoy平面,如圖1所示,該石墨烯層將全空間分開為上、下兩部分,設其分別為均勻各向同性介質εl,μl和εl+1,μl+1(介電系數ε和磁導系數μ可以是復數,代表有耗介質).

在不考慮太赫茲情形下石墨烯的空間色散效應[15],石墨烯層的空間電磁特性可以通過垂直方向的外置偏置電、磁場Ebiasz?,Bbiasz? 調節,一般地,石墨烯層表面電導率可表示為如下張量形式[14,18-21]：

其中

及

其中e,? 是電子電量絕對值、約化普朗克常量,vF～=106m/s 為石墨烯中的費米速率,Γ=1/(2τ)是散射率(τ為電子弛豫時間),Δ表示激子能隙(室溫下近似為0),而費米-狄拉克分布nF可表示為

其中ε表示能量；kB是玻爾茲曼常數；μc是依賴于偏置電場Ebias的化學勢,關系為[15]

將(5)式代入(6)式,并通過數值求解可獲得化學勢與偏置電場關系μc(Ebias) ,如圖2所示.

圖1 “無限薄”石墨烯層Fig.1.“Infinitely thin” graphene sheet.

圖2 石墨烯化學勢 μ c(Ebias) 與偏置電場 E bias 的關系Fig.2.Graphical representation of the relation between the chemical potential μ c(Ebias) and the electrostatic bias field Ebias.

應注意,石墨烯在偏置電場和磁場同時存在時為各向異性,當偏置電場或/和磁場為0時,石墨烯為各向同性,即σO=0 ,而σ=σD,其表達式可參考文獻[1].

2.2 各向異性石墨烯界面上的電磁場邊界條件

根據電磁場邊界條件[16],在石墨烯層兩側區域的電、磁場有如下關系[22]：

又因為

即

代入(8)式得到

而根據邊界條件(7)式的第一式可知分界面(石墨烯層)上的電場切向分量是連續的,即

所以(11)式中等號右邊的Ex,Ey可以取介質l或l+1區域中電場的x,y分量.

2.3 各向異性石墨烯界面的前向傳播矩陣

下來我們考慮平面電磁波入射石墨烯界面時,界面兩側場分量間的關系.根據電磁波理論,平面電磁波斜入射界面垂直于z軸的層狀各向同性介質時,在介質的任意l層區域中,波可按z軸分為TE和TM平面波,波方程分別為[16]

和

設石墨烯層位于l和l+1 區域分界面,由邊界條件(11)式和(12)式可解得

其中

稱為各向異性石墨烯分界面的前向傳播矩陣,式中

由于各向異性,石墨烯層分界面兩側的TE和TM平面波出現耦合,單純TE/TM波入射會產生同時含TE和TM波分量的反射和透射波.

當σO=0 時,石墨烯為各向同性,(15)式可分解為 TE,TM 波對應的方程

其中VTE,VTM即為文獻[17]中所給出的各向同性石墨烯分界面的前向傳播矩陣.

2.4 各向異性石墨烯界面的反透射系數

設石墨烯薄層位于z=0 處,平面波自上往下斜入射,下來分別討論TE和TM入射波情形,此時設入射區為介質 1,即l=1 ,則透射區l+1 為介質 2.

此時在1區沒有下行的TM波,=0 ,將下行即入射的TE波看做已知參量,是入射波電場幅值； 而 2 區為透射區,所以沒有上行波由 (15)式可得

其中

定義TE波入射石墨烯單層時的反透射系數為

其分別為反射TE波、TM波,透射TE波、TM波與入射TE波的電場幅值比.由于表示的是TM波的磁場幅值,所以(22)式中利用各自區域介質的波阻抗將其轉換為電場幅值.求解(20)式可得TE波入射石墨烯單層時的反透射系數

2.4.2 TM 波入射

其中

分別是反射TM波、TE波,透射TM波、TE波與入射TM波的磁場幅值比,由于表示的是TE波的電場幅值,所以(25)式中利用各自區域介質的波阻抗將其轉換為磁場幅值.

(23)式和(24)式即為平面波入射石墨烯單層時的反透射系數公式(含同極化和交叉極化).另,由二式可知,石墨烯單層的交叉反射系數相同,RTM-TE=RTE-TM.

當石墨烯界面兩側為同種介質,在均勻平面波入射時,有

代入(23)式和(24)式得到

可見,均勻各向同性介質中石墨烯薄層對入射TE和TM波的交叉極化反射系數以及入射TM波的交叉極化透射系數是相等的,且與入射TE波的交叉極化透射系數模值相等、相位相差 π .令上式中η=η0,即得真空中石墨烯薄層的反透射系數.

3 含各向異性石墨烯界面的層狀介質傳播矩陣

考慮如圖3所示各向同性分層介質,假設其中某一個或多個界面被嵌入“無限薄”石墨烯,這時由于各向異性石墨烯的交叉極化效應,使得該層狀結構對入射平面波產生交叉極化方向的反射和透射,所以我們把透射區t和入射區0的場值關系表示為

上式等號左邊和右邊的 4×1 矩陣各行依次分別表示透射區t和入射區0中的上行TE波電場、下行TE波電場、上行TM波電場、下行TM波電場.矩陣Vt0 為從入射點M0 到透射點Nt的前向傳播矩陣.

圖3 層狀介質Fig.3.Stratified medium.

當不存在石墨烯界面時,各向同性分層介質的前向傳播矩陣有兩組和,分別對應TE和TM兩種線極化波情形[16,17].考慮到石墨烯界面各向異性特性產生的交叉極化效應,我們首先將這兩組傳播矩陣整合為一組,如下

即

假設在區域l和l+1 的分界面z=zl處嵌入石墨烯,則將(30)式中的矩陣Ul替換為(15)式和(16)式中的UG.

如果是純粹的各向同性分層介質,(28)式就退化為TE模和TM模兩組傳播矩陣,此時RTM-TE,TTM-TE,RTE-TM,TTE-TM都是0.

下面我們分別考慮TE和TM線極化波入射時的情形：

3.1 TE波入射

此時入射TE波電場幅值設為1,而入射TM波磁場幅值為 0,即和,則 (28) 式成為

可求得

代入(32)式得到

即為TE波入射一般分層介質反透射計算式[16,17].

3.2 TM波入射

此時入射TM波磁場場幅值設為1,而入射TE波磁場幅值為 0,即和,則 (28) 式成為

可求得

其 中vij是Vt0的 元 素 .當 沒 有 石 墨 烯 界 面 時,將(33)式代入(36)式得到

即為TM波入射一般分層介質反透射計算式[16,17].

此外,還可以證明(32)式中第三式和(36)式中第二式是相等的(限于篇幅,證明略),即含各向異性石墨烯界面的各向同性層狀介質對入射TE波和TM波的交叉極化反射系數相等,RTM-TE=RTE-TM.

4 算 例

以下算例皆考慮室溫條件下T=300K 以及石墨烯電子弛豫時間為τ=3ps .

例1電、磁偏置下石墨烯薄層的表面電導率及其屏蔽效率、透射波極化旋轉

圖4(a)是偏置電場Ebias=0.5 V/nm,頻率f=1GHz 時,石墨烯電導率張量元素σD,σO的實虛部和偏置磁場Bbias(-0.2—+0.2T )的關系.圖4(a)中清楚體現了σD,σO分別為偏置磁場Bbias的偶函數和奇函數.

采用本文給出的傳播矩陣,計算了f=1GHz時石墨烯層的反透射并得到其屏蔽效率[1](shielding effectiveness,SE)如圖4(b)所示.圖4(b)中給出偏置 電 場Ebias分 別 為 0,0.5,2,5V/nm 時,SE 與偏置磁場Bbias(-0.2—+0.2T )的關系.

當偏置電磁場都不為0時,石墨烯呈各向異性,即使入射波為線極化,在反射和透射波中也會產生交叉極化分量,從而導致反射、透射波成為橢圓極化波.圖5給出了f=1GHz 線極化波垂直入射石墨烯層時,透射橢圓極化波的極化狀態參量τ,ε(在龐加萊球上的參數)[23]與偏置電磁場的關系,其中圖5(a)和圖5(b)子圖分別是偏置電場Ebias=1V/nm 、偏置磁場Bbias=0.5T 時極化狀態參量與偏置磁場Bbias(-0.2—+0.2T )、偏置電場Ebias(-4—+4V/nm )的關系.

該算例為驗證算例,采用和文獻[1]相同參數,計算結果也和文獻一致,表明本文推導正確,方法有效.

例2電、磁偏置下單石墨烯層的反射、透射特性

應用本文方法在偏置電、磁場為Ebias=0.5V/nm ,Bbias=0.1T 條件下,計算了入射波頻率f=0-1000GHz頻段內石墨烯的反射、透射系數,如圖6所示.圖6(a)為同極化反、透射系數模值,隨著入射角增大,TE波的同極化反射(黑色線圖例)會增強而透射(灰色線圖例)減弱,而TM波則剛好相反(黑色、灰色散點圖例)； 圖6(b)為交叉極化反、透射系數模值,如前所述((27)式),石墨烯薄層的交叉極化反射系數和交叉極化透射系數的模值都是相等的,并由圖知,它們隨著入射角增大而減小； 圖6(c)給出了TE波入射時交叉極化反、透射系數的相位,和前面的理論一致,它們相差 π ；圖6(d)是將兩種透射系數整合并按照定義計算得到的石墨烯的屏蔽效率SE,可見對TE波的屏蔽效率要高于對TM波的,而且入射角越大,對TE波的屏蔽效率越高,TM波則相反.

例3含各向異性石墨烯界面的分層介質的反射與透射

圖4 石墨烯電導率張量元素及屏蔽效率隨偏置磁場變化 (a) 電導率張量元素； (b) 屏蔽效率Fig.4.Diagonal and off-diagonal components of the graphene conductivity tensor and SE as a function of the applied magnetostatic bias： (a) Components of the tensor； (b) SE.

圖5 透射波極化狀態參量 τ ,ε 與偏置磁場、偏置電場關系 (a) 偏置電場 E bias=1V·nm-1 ； (b) 偏置磁場Bbias=0.5TFig.5.Angles τ ,ε describing the polarization state of the transmitted wave as functions of the magnetostatic bias and the electrostatic bias： (a) E bias=1V·nm-1 ； (b) B bias=0.5T .

圖6 各向異性石墨烯界面的反透射及屏蔽效率隨頻率變化關系 (a) 同極化反透射系數模值； (b) 交叉極化反透射系數模值；(c) 交叉極化反透射系數相位； (d) 屏蔽效率Fig.6.Reflection/transmission and the SE of an isotropic graphene sheet as functions of frequency： (a) Modulus of co-polarization reflective and transmittance coefficients； (b) modulus of cross-polarization reflective and transmittance coefficients； (c) phase of cross-polarization reflective and transmittance coefficients； (d) SE.

設有一Si/SiO2周期層狀結構如圖7所示,第一層為厚度ds的SiO2層,第2—10層交替為厚度da和db的Si和SiO2層,它們的相對復介電系數εra和εrb 分別為

圖8中給出當石墨烯(偏置電、磁場為Ebias=0.5V/nm ,Bbias=0.1T )位于該層狀結構表面、正中間(第5和6層界面處)和底層時對垂直入射平面波的反射和透射.由于石墨烯的各向異性,反透射場中出現交叉極化成分,但相對較弱； 作為對比,圖中用灰線給出在沒有石墨烯時該層狀結構的反透射,可以看出,該結構在大約 500—700 GHz 頻段有一禁帶,石墨烯界面的加入會使禁帶向高頻方向偏移,同時會增強非禁帶頻段的反射,削弱非禁帶頻段的透射； 此外,在禁帶頻段,反透射場中的交叉極化成分幾乎為0.

圖9是石墨烯位于該層狀結構表面時對θ=60°斜入射線極化平面波的反射和透射.可以明顯地看到,TE波的同極化反射要強于TM波的,而同極化透射比TM波弱； 同時,兩種交叉極化反射系數相同,和前面理論討論一致.

圖7 Si/SiO2 周期層狀結構Fig.7.Si/SiO2 periodic layered structure.

圖8 各向異性石墨烯界面位于不同位置時層狀結構對垂直入射波的反透射隨頻率變化關系 (a) 反射系數模值； (b) 透射系數模值Fig.8.Reflection/transmission of normally incident waves from a periodic layered structure with an isotropic graphene at different interface as functions of frequency： (a) Modulus of reflective coefficient； (b) modulus of transmittance coefficient.

圖9 各向異性石墨烯界面位于上表面時層狀結構對斜入射波的反透射隨頻率變化關系 (a) 反射系數模值； (b) 透射系數模值Fig.9.Reflection/transmission of oblique incident waves from a periodic layered structure with an isotropic graphene surface as functions of frequency： (a) Modulus of reflective coefficient； (b) modulus of transmittance coefficient.

5 結 論

基于邊界條件和相位匹配推導出在電、磁偏置情形下具有各向異性特征的石墨烯界面的傳播矩陣,并且進一步將其嵌入傳統各向同性層狀介質傳播矩陣序列,使其能夠解析計算含石墨烯界面的分層介質對平面電磁波的反透射.偏置靜電、靜磁場影響調節石墨烯表面電導率張量,從而實現對石墨烯反透射特性及屏蔽性能的控制,并可能使用偏壓的石墨烯作為極化旋轉器.本文方法同樣適用于石墨烯為各向同性時情形(偏置靜電或/和靜磁場為零時),其可看作一種特例.此外,在太赫茲及以上更高頻率,需要考慮空間色散效應引起的各向異性,此時可采用文中相似的處理方法進行理論上的推導及進一步分析討論.