一元二次不等式銜接課的教學實踐兼談對初中和高中銜接的思考

◇ 廣東 邱志權 余鐵青

一元二次不等式是初中和高中階段中較為基本的不等式．在初中主要是考查二次函數,較少涉及不等式的求解,相關知識考查單一,難度不大．通常來說在高中對一元二次不等式的考查不是孤立的,它更多是將多板塊的知識雜糅在一起,從單純考查一元二次方程的求解轉變為以一元二次不等式為工具輔助解決其他問題,成為解題過程中極為重要的紐帶,其重要性進一步提升．

1 緣起

在本學年開學不久,筆者所在學校開展了科組公開課,題目是“數列中的最值問題”,整堂課的講授都是圍繞數列的單調性進行展開,教師引導學生將(n,an)看成(x,f(x)),利用數列的函數屬性解決問題．其中一道例題如下:已知數列{an},an＝n2＋λn (其中λ 為常實數),若數列{an}為單調遞增數列,求實數λ 的取值范圍．學生們的作答情況如下．

解答1:利用數列的單調性可知:an＋1＞an,代入化簡得λ＞－3．

解答2:注意到an＝n2＋λn,而n∈N＋,結合數列單調性與二次函數圖象可知,即λ≥－2．

筆者發現,用解法2的同學數量多于解法1,看了解法1后很多同學認為解法1是對的,但是解法2似乎也沒有問題,礙于答案的唯一性,大家都認為解法2是錯的,但就是不清楚究竟錯在哪里．教師通過信息技術作圖,展示了數列圖象是離散點,而二次函數是連續圖象,通過幾何直觀,大家很順利地理解了解法2存在的問題．這也讓筆者產生思考,一直以為學生會的內容,或許學生并不熟悉．

2 教學內容背景分析與教學目標

舊版教材將一元二次不等式的解法這部分內容安排在函數的學習之后,而很多學者、一線教師普遍反映應將這部分內容調整至集合之前或者集合之后函數之前．人教社最新版(2019年版)教材已經將一元二次不等式調整至繼集合之后,實際上新教材集合的課后參考資料中還是出現了一元二次不等式求解的問題,然而教材又將一元二次不等式放在了后面章節,所以依據實際學情,適時開展一元二次不等式求解銜接課具有極強的實際意義．

通過這節課引導學生思考一元二次方程、二次函數圖象以及一元二次不等式的解與圖象的關系,并能根據圖象處理含參一元二次不等式問題,判定參數范圍,訓練學生學會類比、遷移、歸納總結的數學思維品質,提升數學抽象、邏輯推理、幾何直觀和數學運算等核心素養能力．

3 教學重難點

重點:通過繪制二次函數圖象得到一元二次不等式解的情況,并準確區分它與二次函數圖象的異同．

難點:從數據處理到草圖的準確繪制,求解參數．

4 具體教學設計過程

4.1 復習引入,由代數向幾何過渡

師:請大家求出不等式2x－1＜0的解集．

師:請你說說是怎么算得的．

生1:先把1移到不等式右邊,然后不等式兩邊同時除以2,即得解集．

師:說得很準確! 但這是從代數運算化簡的角度處理的,那大家能不能通過幾何圖象進行理解呢?

生2:我覺得可以這樣理解,對于不等式左邊的2x－1,用一次函數的觀點來看,即y＝2x－1,那么該不等式的解就可以理解為y＜0的自變量x 的集合．該圖象為直線且過點,函數斜率為正數,所以由圖象可得不等式的解集為

4.2 思考討論,畫圖象,展示幾何直觀

師:請同學們看以下問題,并討論兩個問題的關系(白板展示)．

(1)當x 為何值時,二次式x2－x－6的值等于0? 何時大于0? 何時小于0?

(2)當x 為何值時,函數y＝x2－x－6 圖象上的點在x 軸上方? 何時圖象上的點在x 軸上? 何時圖象上的點在x 軸的下方?

設計意圖:從一元一次函數圖象過渡到一元二次函數圖象,形成類比,并能夠準確區分y＝0,y＞0,y＜0在坐標系中的幾何意義．

生3:我覺得這兩個問題的意思是一樣的,只是一個是從幾何角度提出的,一個是從代數角度提出的．解答這道題我覺得畫圖更直觀,該拋物線與x 軸相交于(－2,0)和(3,0),而且開口朝上,只要把圖象畫出來,所要求的解集都能夠很快寫出來．

師:沒錯,你的理解很透徹,說得很好!

那大家想想一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的關系該怎么理解呢?

設問意圖:如圖1,設計這一環節的目的是為了引導學生概括出三個“二次”之間最本質的關系,提煉出一般觀念:函數是核心、運算是基礎、圖象是載體．讓學生經歷從特殊到一般的認知過程,培養學生數學抽象、邏輯推理和直觀想象等核心素養．

圖1

4.3 例題探究

例1若不等式x2－bx ＋c＞0 的解集是{x|x＜1或x＞3},求b 與c 的值．

生4:由題意知1和3是方程x2－bx＋c＝0的兩個根,代入得方程組

生5:由題意知1和3是方程x2－bx＋c＝0的兩個根,根據根與系數的關系可得解得

設計意圖:加深學生對二次函數、一元二次方程以及一元二次不等式關系的理解,強化三者圖象與代數之間的轉化關系,并滲透極限認知．

4.4 變式提升

例2若不等式ax2＋2x－1＝0(a≠0)有一個根大于2,另一個根小于2,求實數a 的范圍．

生6:也可以利用例1的解法,繼續沿用根與系數的關系解題．不妨設兩根分別為x1,x2,于是得(x1－2)(x2－2)＜0,即x1x2－2(x1＋x2)＋4＜0,整理得因 此,a 的 范 圍是

設計意圖:突出圖象的重要性,學會通過圖象提煉代數語言,進而進行嚴謹表述,實現方程與不等式之間的自由轉換．

5 對初高中數學課程銜接的幾點思考

5.1 教師應增強銜接意識

初中和高中教學在看似自然順暢銜接的背后時常有很多容易被忽略的地方,比如在講授數列求和時,很多教師都會直觀認為1＋2＋3＋…＋(n－1)＋學生都已經掌握了,實際上筆者經歷幾輪循環教學,發現至少有五成以上的學生是不知道這個公式的．絕大部分教師沒有這種銜接的意識,只是純粹地認為銜接就是將高中常要用到但初中沒有教的公式或定理給學生補充完善一下,這種想法是較為粗淺的．

5.2 認真研讀教材與考試要求,避免“想當然”

現在較少有完全中學的辦學形式,不僅是校區上完全不在一起,而且就連教育主管部門組織的培訓幾乎也都是分開的．這樣減少了初中和高中教師交流學習的機會,高中教師常年任教高中學段也就造成了很少接觸到初中教材與教參,在教學中遇到一些問題,會直接將責任歸咎于初中教師沒有講透,而本質上可能是學生在初中根本就沒有學過,僅僅是高中教師認為學生應該學過,極容易造成經驗主義錯誤．

5.3 研究生源結構,把控學情,精準銜接

各校在高中招生時,實際上已經進行了分層,那么自己學校的新生數學能力和水平是哪個層次,來自哪些學校,這些學校的教學是重基礎概念認知、素質的培養、還是重應試等是需要教師了解的．不同層次的學生在數學學習中的差異明顯,這些都會影響到教師的授課廣度與深度,那么在對學情進行準確掌握的基礎上可以進行精準銜接,有利于控制課程講授的速度與難度．