含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程全局吸引子的維數估計

劉文婧，姜金平，熊坤翠

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

在全局吸引子的幾何拓撲結構中，維數是一個非常重要的性質，因為如果全局吸引子分形維數有限，就能將無窮維動力系統在全局吸引子上約化為一個有限維常微分方程系統。此外，維數估計也是證明指數吸引子存在的一個關鍵步驟。在無窮維動力系統中，被廣泛研究和探討的包括Hausdorff維數和Fractal維數，近年來已有一些研究成果[1-6]。本文討論無界域上含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes(g-N-S)[7]方程全局吸引子的維數估計問題，方程如下：

(1)

這里u(x,t)∈R2,p(x,t)∈R表示速度與壓力，μ>0且f=f(x)∈(L2(Ω))2，0

1 預備知識

對常數m0和M0，假設Poincare不等式在Ω上成立：即存在λ1>0使得

(2)

它們的范數為

定義g-Laplacian算子：

(3)

則可將(1)改寫為：

(u·▽)u+▽p=f。

(4)

u∈L∞(0,T；H)∩L2(0,T;V),T>0，

(5)

使得

(6)

定義映射bg：Vv×Vg×Vg→R為：bg(u,v,w)=

(7)

(8)

A：V→V′是g-Stokes算子，定義為：

〈Au,v〉=((u,v)),?u,v∈V。

(9)

雙線性算子B(u)=B(u,u)=P(u,▽)u定義為B:V×V→V′，

〈B(u,v),w〉=bg(u,v,w)，?u,v,w∈V。

g-Stokes算子A是從空間V到V′的同構，這里B、R滿足下列不等式[8，9]

?u∈V,B(u)v′≤|u|u，

(10)

命題1[7]設f∈L2(g)，u0(x)∈H，存在一個唯一的u(x,t)，滿足條件

u(x,t)∈L∞(R+;H)∩L2(0,T;V)∩C(R+;H)(?T>0)，使得(6)成立。

證明設u=u(t)，t>0是由命題1給定的解，因為u∈L2(0,T;V)，u′∈L2(0,T;V′)故

〈f-μAu-c|u|βu-Bu-μRu,u〉=

〈f,u〉-μ‖u‖2+c|u|β+2+bg(u,u,u)-

則bg(u,u,u)=0，?u,v∈V，于是

(11)

由(3)得

(12)

對充分小的|▽g|∞，由Gronwall不等式

|u(t)|2≤

因此，可得

(13)

由命題1，可在H上定義連續半群{S(t)}為

S(t)u0=u(t)，t>0，u(t)是(6)的解且u(0)=u0∈H。由(13)有吸收集B：

(14)

B在H中對于半群是吸收的。

引理1[6]設函數g滿足|△g|∞

2 全局吸引子的維數估計

下面估計含非線性阻尼的二維g-Navier-Stokes方程在無界區域上的全局吸引子的維數。

設u0∈A，u(t)=S(t)u0，對t≥0，由(8)得線性流動u可由(15)給出：

(15)

?Ψ∈H，存在唯一的U∈L2(0,T;V)∩C(0,T;H),(?T>0)滿足(15)。

我們定義線性映射L(t;u0):H→H為L(t;u0)ξ=U(t)，可以證明L(t;u0)是有界的且{S(t)}t≥0在A上一致可微，即

(16)

設F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

B(v,u)-μRu，記(15)為

U′=F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

B(v,u)-μRu。

(17)

定義qm，(m∈N)：

(18)

這里Qm(τ)=Qm(τ:u0,Ψ1,…,Ψm)是H上的正交投影，L(t;u0)Ψ1，…，L(t;u0)Ψm，在H中?Ψ1，…，Ψm線性無關。

引理3[10]設A是(1)的全局吸引子，若對n∈N，有qn<0。那么A分別具有有限的Hausdorff和Fractal維數估計如下：

dimH(A)≤m，

證明為估計qm，設u0∈A且u(t)=S(t)u0，Uj(t)=L(t;u0)Ψj，t≥0，設φi(t)(i=1，…，m)是H中的正交基。則我們有

(19)

由文獻[1]得

Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))≤

所以

由(13)得

于是

k1m+k2，

這里