因人而異 在分層作業中提升學生素養——“勾股定理”作業設計

哈爾濱市實驗學校 曲坤 趙忠寶

教材分析：

本節課是九年義務教育課程人教版教科書八年級第二十四章第一節勾股定理第一課時。勾股定理是初中幾何中重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數量關系。它在數學的發展中起著重要的作用，在生產實際中有著廣泛的應用。勾股定理是我們繼學過等腰三角形之后，對三角形的基本知識的再探索和認識，同時也為我們今后學習四邊形當中有關矩形和正方形知識打下堅實的基礎。

教學目標：

1.能準確說出勾股定理的內容。

2.會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用。

3.在探索勾股定理的過程中，讓學生經歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數學思想，并體會數形結合和由特殊到一般的思想方法。

4.通過講學科故事，介紹勾股定理在中國古代的研究和發展歷程，激發學生熱愛祖國的優良傳統，激勵學生發奮學習，積極參與社會公共生活的核心素養。

學情分析：

學生在學習了等腰三角形之后，了解了等腰三角形的有關性質、判定，接下來學習直角三角形的相關知識。學生在掌握了一元二次方程，二次根式之后，掌握勾股定理的證明方法及實際應用，更加深刻地認識代數和幾何相結合的有關知識。提升學生的思維探索能力，加強學生對知識的認知，并將所學知識運用到實際生產生活中，讓學生體會到數學知識來源于生活，并為生產生活服務。

作業全文：

一、請查閱與勾股定理有關的數學故事，在課上進行小組分享，并派代表簡述本小組典型有趣的數學故事。

二、熟悉1到20的平方數。

三、請在導學案上完成下列習題。

作業A：

1.在數軸上作出表示的點.

2.等邊三角形的邊長是6：

（1）求高的長（2）求這個三角形的面積.

作業B：

3.在ΔABC中，∠C=90°，AB=10.（1）∠A=30°，求BC，AC；（2）∠A=45°，求BC，AC.

4.在ΔABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm.（1）求ΔABC的面積；（2）求斜邊AB；（3）求高CD.

5.在直角ΔABC中AC=3cm，BC=4cm.求AB的長.作業C：

6.請用其他的方法證明勾股定理。

注意：作業A要求全體學生都做，在快速完成作業A的基礎上可以完成作業B，對于學有余力并愿意與老師共同交流的學生可以完成作業C。

作業設計意圖：

第一項作業，請學生查閱與勾股定理有關的數學知識，并分享所查找的數學故事。講好學科故事，能夠提升學生對于所學知識的認識，通過學科故事的學習，使學生感受到數學來源于生活，并服務于生活這一基本數學理念。提升學生發現知識，理解知識，并獲得知識的能力。

第二項作業，熟悉1到20的平方數。勾股定理在以后的計算過程中，經常會出現有關整數的平方運算。通過第二項作業使學生了解熟識并能夠熟練運用1到20平方數，提高學生的計算能力，提升學生們的數感。

第三項作業是鞏固學生的基本知識和基本技能的作業。本學期國家開始下達了五項要求，尤其是對于作業這一項。通過嚴格控制作業，更好地讓學生抓緊時間，并能夠按時完成作業，對作業要精講精練。作業A是本堂課的最基本的知識點。通過作業A的書寫，學生了解和認識勾股定理的應用，并通過構造直角三角形來解決問題。預計作業A，對于所有學生來說完成時間大約十分鐘左右。對于學習有困難的學生來說，完成作業A可能時間在15分鐘左右。作業B是在作業A的基礎上進行了強化，給出了含有特殊角度的勾股定理的應用。尤其是30度角和45度角的等腰直角三角形，求邊長的應用。作業B中的第四項作業。給出了一組非常重要的勾股數，5、12、13，與作業中的第二項相對應，分別求出三角形ABC的面積、斜邊的長，以及這個三角形的高。作業B中的第五項作業是一道雙解問題，開放性問題在數學當中是很重要的知識點，所包含的主要的數學思想是分類討論的數學思想。通過分類討論的數學思想，使學生深刻地體會數學知識的嚴謹性。作業A與作業B相結合，可以更好地讓學生控制自己在家里完成作業的時間，使得學困生能更好地在較短的時間內完成相應的作業，也能使得學優生在學有余力的情況下“吃得飽”。作業C能夠提升學生對于知識的探索，增強學生發現所學知識的內涵和外延，更好地調動學生的主觀能動性，提升學生對于數學的興趣。

作業完成標準：

作業一：教師與學生共同參與小組活動，課堂上要對進行展示的學生給予表揚和肯定。同時鼓勵學生，學會這種學習知識的方法。知其然并知其所以然，使自己處于知識的源頭。作業二：在課堂上隨便出兩到三個10以上的完全平方數，以搶答的形式讓學生在課堂上進行回答，并繼續要求學生回家熟悉1到20的平方數，提升學生的數字感。作業三：作業本交上來后要全批全改。尤其對于只完成作業三中的作業A部分的學生，要逐一進行分析，查看作業完成的格式是否準確，兩道題是否完成的全部正確。如果個別學生有問題，一定要面談并解決問題。并將改錯在作業本中有所體現，老師復批，將基本知識和基本技能夯實。如果出現共性錯誤，在第二堂上課前，利用課前的一分鐘到兩分鐘講解問題。對于作業三中的作業B項第5題，運用數學的分類思想來解決問題。題目中并沒有給出哪一個角是直角，我們可以通過假設∠C是直角，或∠A是直角來解決問題。也可以發現，題目當中并沒給出哪一條是斜邊，可以設BC為斜邊或AB為斜邊來解決問題，培養學生嚴密的邏輯思維能力。作業三中的第6項作業，也就是作業C，會在課下與學生共同交流。

通過分層作業，每一名學生都能按時完成自學能力下的作業，學生了解知識，體會知識，并會運用知識解決實際問題。要根據學生的實際，采用靈活多樣的方法，因人而異；要有梯度和區分度，分開層次，不拿同樣的作業去對待所有的學生，讓不同情況、不同程度的學生都得到提高，都感到滿意；根據學生特點，將每個學習小組的學生分為兩個層次：a層的學生緊扣教材側重完成a檔“基礎性作業”；b層學生側重完成b檔“提高性作業”或適當“拓展性作業”。當然在不同檔次的學生可以按照自身的情況相互調整完成相應的作業。

第一項作業當中的數學知識的分享，學生提出了美國總統加菲爾德也證明過勾股定理，運用面積法也很好地證明了勾股定理，學生對于勾股定理的證明產生了濃厚的興趣。對于勾股定理的逆定理的證明，以及勾股定理在以后的學習中的應用做了很好的鋪墊。學生對1到20平方數的熟悉，在數感上提升了對于勾股數的認識，一些簡單的勾股數計算能夠很快地得出答案，提升了他們完成作業解答試卷的速度。通過作業三對于基本知識和基本技能的練習，學生對于本節課勾股定理第一節內容有了更好的掌握，為第二節勾股定理逆定理的學習打下了堅實的基礎。在完成作業C的學生中同樣運用了“加菲爾德”證明方法，學生們驕傲地說我也能當美國總統了。

作業是課堂學習的延續，好的作業，有效的作業既可以達到鞏固所學知識的目的，又可以拓展學生的視野。將每一次作業留得適當，留得完美是教師的職責與使命，我們將努力做好每一次的作業預留與批改，使教育教學質量得到更好的提升，為光榮的教育事業增光添彩。