Liouville方程與其約化變換方程的精確解及ψ(ξ)展式法

林府標(biāo), 張千宏

(貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院, 貴陽 550025)

0 引 言

Liouville方程

uxt=eu

(1)

是流體力學(xué)中的一個經(jīng)典非線性偏微分方程, 其精確解的動力學(xué)行為已得到廣泛關(guān)注. 文獻(xiàn)[1]給出了方程(1)可接受的無窮小李對稱； 文獻(xiàn)[2-3]給出了方程(1)的一些精確解. 目前, 顯式解析波解及其特征在海洋工程、 光纖通信、 材料科學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[4]. 雖然人們已經(jīng)構(gòu)造了一系列解析求解非線性偏微分方程的有效方法, 如齊次平衡法[5-7]、 tanh函數(shù)法和廣義tanh函數(shù)法[3,8-10]等, 但因非線性偏微分方程的多樣性和復(fù)雜性, 至今仍有一些重要的方程無法采用現(xiàn)有的方法和技巧得到精確解. 本文用Liouville方程(1)的約化變換方程及其精確解構(gòu)造一種精確求解非線性偏微分方程的有效ψ(ξ)展式法, 并用該方法尋找Kawahara方程和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程的顯式新行波解.

1 Liouville方程的群不變解和精確解

1.1 Liouville方程的群不變解

Lie[1]給出了Liouville方程(1)可接受的李對稱, 并由下列一組基生成：

其中ξ(x),η(t)為任意函數(shù),X∞為無窮李對稱. 根據(jù)文獻(xiàn)[11]中算法, 可寫出三維李代數(shù)L3=span{X1,X2,X3}的換位子交換運算, 結(jié)果列于表1.

表1 三維李代數(shù)L3的換位子交換運算表Table 1 Commutator exchange table of three-dimensional Lie algebra L3

由表1可得相應(yīng)的內(nèi)自同構(gòu)為

求其對應(yīng)的李方程可得群變換

其中σi(i=1,2,3)分別為內(nèi)自同構(gòu)Ai(i=1,2,3)的群參數(shù). 因此, 對任意的實數(shù)c, 李代數(shù)L3的最優(yōu)化三維、 二維和一維子李代數(shù)分類結(jié)果分別為span{X1,X2,X3},span{X1,X2},span{X1,X3},span{X2,X3},span{X1},span{X2+cX1},span{X3}. 用L3的一維最優(yōu)化子李代數(shù)可得方程(1)的群不變解, 結(jié)果列于表2, 其中一維子李代數(shù)span{X1}對應(yīng)的群不變解未找到.

表2 方程(1)的群不變解和約化方程Table 2 Group invariant solutions and reduced equations of equation (1)

1.2 Liouville方程的新行波解

若令變換u(t,x)=ln(v(t,x)), 則有uxt=v-2(vxtv-vxvt), 因此把uxt和u代入方程(1)可得

vvxt-vxvt-v3=0.

(2)

做行波變換ξ=x-ct, 其中c為常數(shù), 表示波速. 若假設(shè)v(t,x)=V(ξ)為方程(2)的解, 則方程(2)可約化為常微分方程

cVV″-cV′2+V3=0.

(3)

用廣義tanh函數(shù)法[3,8-10]并結(jié)合齊次平衡原理[5-7], 再注意到平衡項VV″與V3, 可假設(shè)方程(3)解析解的表達(dá)式為

V(ξ)=b0+b1φ(ξ)+b2(φ(ξ))2,

(4)

其中:bi(i=0,1,2)為待定常數(shù);φ=φ(ξ)滿足方程φ′=b+φ2,b為任意實常數(shù). 將式(4)代入方程(3), 反復(fù)利用方程φ′=b+φ2并結(jié)合軟件Reduce計算整理可得關(guān)于φ的多項式, 于是可分別令φj(j=0,1,…,6)的系數(shù)為零, 可得關(guān)于bi(i=0,1,2),b,c的代數(shù)方程組為

用吳消元法[12]并結(jié)合Reduce計算可得一組解b0=-2bc,b1=0,b2=-2c. 因此, 方程(1)的行波解為

u(t,x)=ln(-2bc-2c(φ(ξ))2),ξ=x-ct,

(5)

其中函數(shù)φ=φ(ξ)可根據(jù)b的符號由文獻(xiàn)[13]的表1～表3中分別選取, 從而可寫出式(5)的具體解析表達(dá)式, 為簡潔, 本文省略其列舉過程. 此外, 文獻(xiàn)[2-3]中未給出行波解(5).

1.3 Liouville方程的約化變換方程和精確解

由表2中子李代數(shù)span{X2+cX1}對應(yīng)的約化方程可得

(6)

在方程(6)兩邊同時乘以φ′得

(7)

對方程(7)兩邊同時關(guān)于ξ積分一次, 并記積分常數(shù)為κ, 可得

進(jìn)一步得

令變換φ=lnψ(ξ), 于是該方程可寫為

(8)

用分離變量法可求出方程(8)的精確解, 從而可得方程(1)的行波解, 結(jié)果列于表3. 文獻(xiàn)[2-3]未給出表3中方程(1)的行波解.

表3 方程(1)和方程(8)的顯式精確解Table 3 Explicit exact solutions of equation (1) and equation (8)

2 ψ(ξ)展式法的基本思想和求解步驟

許多非線性偏微分方程不能采用廣義tanh函數(shù)法得到其精確解, 例如, Rosenau方程ut+uxxxxt+ux+uux-αuxx=0(0≤α≤1)很難找到精確解. 因此, 為尋找非線性偏微分方程的更多精確求解方法與技巧, 本文借助Liouville方程的約化變換方程(8)及其精確解給出ψ(ξ)展式法的主要求解步驟. 考慮一般形式的非線性演化偏微分方程

G(u,ut,ux,utt,uxx,uxt,…)=0,

(9)

其中:u=u(t,x)是未知函數(shù);G是關(guān)于u及其各階偏導(dǎo)數(shù)的多項式, 并包含非線性項和最高階導(dǎo)數(shù)項.

ψ(ξ)展式法的主要求解步驟如下：

1) 做行波變換ξ=x-ct, 其中c為常數(shù), 表示波速. 若假設(shè)方程(9)具有形如u(t,x)=V(ξ)的行波解, 則方程(9)可約化變形為常微分方程

G(V,-cV′,V′,c2V″,V″,-cV″,…)=0.

(10)

2) 若可能, 先對方程(10)兩邊同時關(guān)于ξ積分一次或多次, 取積分常數(shù)為零, 再假設(shè)方程(10)的解析解為

V(ξ)=d0+d1ψ(ξ)+…+dn(ψ(ξ))n,

(11)

其中ψ=ψ(ξ)滿足方程(8), 其具體表達(dá)式可根據(jù)κ的符號由表3中分別選取. 一般地, 正整數(shù)n可采用齊次平衡原理[5-7], 并通過平衡方程(10)中的非線性項和最高階導(dǎo)數(shù)項得到, 其中di(i=0,1,…,n)為待定實參數(shù).

4) 用吳消元法[12]并結(jié)合軟件Reduce計算, 將求出的常數(shù)di(i=0,1,…,n),κ,c代入方程(11), 從而可寫出方程(9)的行波解, 其中函數(shù)ψ=ψ(ξ)可根據(jù)κ的符號由表3中分別選取.

3 變換方程(8)的精確解及ψ(ξ)展式法的應(yīng)用

3.1 Kawahara方程的新行波解

考慮Kawahara方程[14]

ut+uux+αuxxx+βuxxxxx=0,

(12)

其中α,β為常數(shù). 文獻(xiàn)[14-15]給出了方程(12)的相關(guān)應(yīng)用; 文獻(xiàn)[3,16-17]給出了方程(12)的sech4-型孤波解. 做行波變換ξ=x-ct, 其中c為常數(shù), 表示波速, 且假設(shè)u(t,x)=V(ξ)為方程(12)的解, 因此方程(12)可約化為常微分方程

βV(5)+αV?+VV′-cV′=0.

(13)

對方程(13)兩邊同時關(guān)于變量ξ積分一次, 并取積分常數(shù)為零, 可得

2βV(4)+2αV″+V2-2cV=0.

(14)

根據(jù)ψ(ξ)展式法式(11)和齊次平衡原理, 以及平衡方程(13)中V(5)與VV′項或方程(14)中V(4)與V2項, 可得n=2, 于是可假設(shè)方程(13)或方程(14)解析解的表達(dá)式為

V(ξ)=d0+d1ψ(ξ)+d2(ψ(ξ))2,

(15)

其中di(i=0,1,2)為待定常數(shù), 函數(shù)ψ=ψ(ξ)滿足方程(8). 將式(15)代入方程(13), 并反復(fù)利用方程(8)再結(jié)合軟件Reduce計算整理, 可得

用吳消元法并結(jié)合軟件Reduce計算可得該方程組的一組解為

同理, 用ψ(ξ)展式法將式(15)代入方程(14)可得

因此, 方程(12)的行波解為

(16)

(17)

3.2 Kadomtsev-Petviashvili方程的新行波解

(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程[19]

utx+6(uux)x+uxxxx+3εuyy+3εuzz=0,ε=±1,

(18)

在描述弱色散介質(zhì)、 流體動力學(xué)和等離子體物理學(xué)中的三維孤子, 弱非線性恢復(fù)力的長波長水波, 鐵磁介質(zhì)中的波等方面應(yīng)用廣泛. 文獻(xiàn)[4,20-22]討論了方程(18)的精確解法及可能的應(yīng)用前景.

做行波變換, 令ξ=x-ct+ky+λz, 其中c,k,λ均為常數(shù), 且假設(shè)u(t,x,y,z)=V(ξ)為方程(18)的解, 則方程(18)可約化為常微分方程

V(4)+(3εk2+3ελ2-c)V″+6V′2+6VV″=0.

(19)

用ψ(ξ)展式法式(11)并結(jié)合齊次平衡原理, 平衡方程(19)中V(4)和VV″項可得n=1, 因此方程(19)解析解的表達(dá)式可假設(shè)為

V(ξ)=q0+q1ψ(ξ),

(20)

其中q0,q1為待定常數(shù), 函數(shù)ψ=ψ(ξ)滿足方程(8). 將式(20)代入方程(19), 并反復(fù)用方程(8)再結(jié)合軟件Reduce計算可得關(guān)于ψ的多項式, 分別令ψi(i=1,2,3)的各項系數(shù)為零, 可得關(guān)于q0,q1,c,k,λ,κ的代數(shù)方程組

(21)

其中函數(shù)ψ=ψ(ξ)可根據(jù)κ的符號由表3中分別選取. 從而可寫出行波解(21)的下列表達(dá)式：

其中ε=±1,c,c1,κ,k,λ為常數(shù). 文獻(xiàn)[4,20-22]中未給出顯式行波解ui(t,x,y,z)(i=1,2,3). 不同類型行波解u3(t,x,y,z)的空間和投影圖像分別如圖1和圖2所示.

圖1 當(dāng)ε=-1, c=5, c1=-0.01, κ=-1, k=-1, λ=0.01, z=0時, u3(t,x,y,z)的空間圖像Fig.1 Spatial graphs of u3(t,x,y,z) when ε=-1, c=5, c1=-0.01, κ=-1, k=-1, λ=0.01, z=0

圖2 當(dāng)ε=-1, c=3, c1=-0.01, κ=-1, t=2, λ=0.01, z=0時, u3(t,x,y,z)的空間圖像Fig.2 Spatial graphs of u3(t,x,y,z) when ε=-1, c=3, c1=-0.01, κ=-1, t=2, λ=0.01, z=0

利用這些圖像可直觀討論自由參數(shù)及其相互間的作用對行波解的動力學(xué)行為、 波的傳播和波的結(jié)構(gòu)特征的影響. 圖1為當(dāng)波速c=5, 參數(shù)z=0,ε=-1,c1=-0.01,κ=-1,k=-1,λ=0.01時, 在3個不同時刻t=3,5,7, 行波解u3(t,x,y,z)在空間呈現(xiàn)的不同沖擊波特征. 圖2為當(dāng)波速c=3, 參數(shù)z=0,ε=-1,c1=-0.01,κ=-1,λ=0.01, 且自由變量y的系數(shù)取不同值k=2,-2,-0.01時, 行波解u3(t,x,y,z)在空間呈現(xiàn)的不同奇異波和沖擊波特征.

綜上, 本文用Liouville方程的約化變換方程及精確解構(gòu)造了一種求解非線性偏微分方程精確解的ψ(ξ)展式法, 并利用該方法討論了Kawahara方程和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程, 得到了一些新的行波解.