二維函數光子晶體波導帶隙和電場分布的調制

劉曉靜，張曉茹，任明麗，潘 慶，楊涪銓，劉 晗，孟祥東，郭義慶

(1. 吉林師范大學 物理學院，吉林 四平 136000； 2. 北京師范大學 物理學院，北京 100875;3. 中國科學院 高能物理研究所，北京 100049)

光子晶體由兩種及兩種以上不同材料周期排列構成[1-2]，具有光子帶隙、 光局域化和缺陷態等特性[3-7]，可制作半導體激光器、 波導、 光學濾波器、 發光二極管、 光學放大器和光學衰減器[8-11]等光學器件. 波導[12]具有靈敏度高、 集成度高、 非破壞性等特點，可用于傳感器等光學器件中[13-16]. 文獻[17-19]研究了光子晶體波導定向耦合及多模干涉效應的光分束器; 文獻[20-29]研究了二維函數光子晶體的帶隙結構、 Dirac點分布及含點缺陷的光場分布. 二維函數光子晶體異于常規光子晶體，其介質柱的介電常數可表示為空間坐標函數. 由于二維函數光子晶體介質柱的介電常數具有可調節性，因此可不更換介質柱，通過調節介質柱介電常數的參數，實現二維函數光子晶體的帶隙結構和電場分布可調，得到具有異于常規光子晶體獨特性質的晶體.

本文研究二維函數光子晶體波導的帶隙結構和電場分布. 當二維函數光子晶體波導中不含點缺陷時，通過改變波導中介質柱介電常數的參數k和b值，可調節波導的禁帶數目、 禁帶位置及缺陷模的數目和位置. 當二維函數光子晶體波導中所含介電常數為函數的點缺陷時，通過改變點缺陷介質柱介電常數的參數k和b值，調節光在波導中的傳播方向和電場分布.

1 理論分析

文獻[20-21]給出了二維函數光子晶體介電常數的Fourier變換，介質柱的介電常數為

(1)

或

(2)

方程(2)可寫為

(3)

其中

(4)

1/εa(r)的Fourier變換可寫為

(5)

在二維倒易空間中為

(6)

將方程(3)代入方程(6)可得

(7)

其中

I1-I2,

(8)

(9)

從而有

|r∥|=r∥=r， |G∥|=G∥, dr∥=ds=rdrdθ，

θ為r∥和G∥的夾角. 通過計算可得

(10)

當G∥→0(m→0，n→0)時，

(11)

在方程(12)中，考慮εa(r，θ)=εa(r)，當G∥=0時，

(13)

將I1，I2和I代入方程(7)可得

(14)

其中εa(r)=εa. 若εa為常數，則方程(14)可寫為

(15)

方程(15)是二維常規光子晶體介電常數的Fourier變換, 即二維常規光子晶體是二維函數光子晶體的一種特殊情況. 通過平面波展開法，給出橫電(TE)波的特征方程為

(16)

將方程(14)代入(16)，可得二維函數光子晶體的帶隙結構.

在二維函數光子晶體中，引入一條線缺陷形成二維函數光子晶體波導. 在一階電光效應中，介質柱介電常數函數形式為

(17)

當外加電場為沿介質柱半徑r線性分布的函數

E=E0r+d

(18)

時，通過Faraday電磁感應定律可得該電場分布形式[24]. 介電常數可寫為

(19)

2 數值分析

根據式(14)～(19)以及COMSOL 仿真軟件，通過計算和模擬可得二維函數光晶體波導的電場分布和帶隙結構.

本文以空氣為背景，研究正方形結構的二維函數光子晶體波導，結果如圖1所示，其中白色圓圈為波導介質柱，黑色圓圈為波導中引入的點缺陷介質柱，介質柱均位于空氣背景中，柱子的軸心沿z軸方向. 介質柱介電常數的函數形式為εr=kr+b(0≤r≤ra)，其中，函數系數k=7.8×107m-1，參數b=15，介質柱半徑ra=0.28a，晶格常數a=10-7m，波導間距d=2a.

選擇圖1虛線框內的1×8超元胞，在TE波偏振下，得到二維函數光子晶體波導的帶隙結構，如圖2(A)所示，其中橫坐標表示波矢K(2π/a)，縱坐標為歸一化頻率(ωa/(2πc)). 由圖2(A)可見，當ω=0～0.6時，出現兩條禁帶，禁帶的頻率分別為 0.38～0.52 和 0.22～0.298. 在第一條禁帶中出現一條缺陷模，即圖中黑色實線. 在缺陷模上選擇一點A(用圓圈圈出)，其歸一化頻率為ω=0.460 6. 圖2(B)為本征場分布. 由圖2(B)可見，在波導中間的線缺陷處，存在一個局域電場，且強度較強.

圖1 二維函數光子晶體波導的結構Fig.1 Structure of two-dimensional functional photonic crystal waveguide

圖2 二維函數光子晶體波導的帶隙結構(A)和A點對應的本征場(B) Fig.2 Band gap structure of two-dimensional functional optical crystal waveguide (A) and corresponding eigenfield of point A (B)

下面研究在二維函數光子晶體波導中不加點缺陷時，周圍介質柱介電常數的函數系數k和參數b對帶隙結構的影響. 首先研究函數系數k對帶隙結構的影響. 設參數b=15，函數系數k=7.8×107，30.8×107，50.8×107m-1，對應的帶隙結構分別如圖3(A)～(C)所示. 由圖3(A)可見，帶隙中出現兩條禁帶，其頻率分別為 0.385～0.49 和 0.21～0.27，其中在 0.385～0.49 內出現一條缺陷模； 由圖3(B)可見，帶隙中出現3條禁帶，頻率分別為 0.54～0.6，0.348～0.451 和 0.19～0.25，其中在 0.54～0.6 和0.348～0.451 內分別出現一條缺陷模； 由圖3(C)可見，帶隙中出現3條禁帶，其頻率分別為0.49～0.585，0.306～0.421 和 0.17～0.23，其中在 0.49～0.585 和 0.306～0.421 內分別出現一條缺陷模. 因此，當k值增加時，二維函數光子晶體波導帶隙結構中禁帶的數目增加，禁帶紅移，缺陷模的數目增加，且缺陷模頻率范圍減小. 所以改變函數系數k，可調節二維函數光子晶體波導的帶隙結構.

圖3 當參數b相同時，函數系數k對二維函數光子晶體波導帶隙結構的影響Fig.3 Effects of functional coefficients k on band gap structure of two-dimensional functional photonic crystal waveguide when parameters b are same

其次研究參數b對帶隙結構的影響. 設函數系數k=7.8×107m-1，參數b=9，15，21，對應的帶隙結構分別如圖4(A)～(C)所示. 由圖4(A)可見，帶隙中出現兩條禁帶，頻率分別為 0.475～0.575 和 0.26～0.30，其中在 0.475～0.575 內出現一條缺陷模； 由圖4(B)可見，帶隙中出現兩條禁帶，頻率分別為 0.38～0.48 和 0.2～0.27，其中在 0.38～0.48 內出現一條缺陷模； 由圖4(C)可見，帶隙中出現3條禁帶，頻率分別為 0.51～0.60，0.34～0.51和 0.175～0.24，其中在 0.51～0.60 和 0.34～0.51 內分別出現一條缺陷模. 因此，當b增大時，二維函數光子晶體波導帶隙結構中禁帶的數目增加，禁帶紅移，缺陷模的數目增加，且缺陷模頻率范圍減小. 所以改變參數b也可調節二維函數光子晶體波導的帶隙結構.

圖4 當函數系數k相同時，參數b對二維函數光子晶體波導帶隙結構的影Fig.4 Effects of parameters b on band gap structure of two-dimensional functional photonic crystal waveguide when functional coefficients k are same

當歸一化頻率ω=0.460 6時，將一個點缺陷加入二維函數光子晶體波導中，研究其介質柱介電常數參數對電場分布的影響. 首先，研究點缺陷介質柱介電常數中參數b對二維函數光子晶體波導電場分布的影響. 設周圍介質柱介電常數函數形式為εr=7.8×107r+15，半徑ra=0.28a； 點缺陷函數系數k=7.8×107m-1，點缺陷介質柱半徑為ra=0.25a，參數b=6，8，10，20，對應的電場分布分別如圖5(A)～(D)所示，其中白色五角星表示線源，其位于波導左側，點缺陷介質柱位于波導中心處. 由圖5(A)可見，當參數b=6時，水平和豎直方向均有電場分布，此時光沿水平和豎直兩個方向傳播； 由圖5(B)可見，當參數b=8時，豎直方向電場消失，水平方向有明顯的電場分布，此時光主要沿水平方向傳播； 由圖5(C)可見，當參數b=10時，水平和豎直方向的電場被截止，此時在水平和豎直方向僅通過較微弱的光； 由圖5(D)可見，當參數b=20時，水平方向電場消失，豎直方向有明顯的電場分布，此時光主要沿豎直方向傳播.

圖5 當加入點缺陷且函數系數 k相同時，參數b對二維函數光子晶體波導中電場分布的影響Fig.5 Effects of parameters b on electric field distribution of two-dimensional functional photonic crystal waveguide when point defect is added and functional coefficients k are same

其次，研究點缺陷介質柱介電常數中函數系數k對二維函數光子晶體波導電場分布的影響. 設參數b=10，半徑為ra=0.25a，函數系數k=2.8×107，7.8×107，-18.8×107，35.8×107m-1，對應的電場分布分別如圖6(A)～(D)所示. 由圖6(A)可見，當函數系數k=2.8×107m-1時，僅水平方向的電場分布較明顯，即光沿水平方向傳播； 由圖6(B)可見，當函數系數k=7.8×107m-1時，水平和豎直方向均無電場分布，此時在兩個方向僅通過微弱的光； 由圖6(C)可見，當函數系數k=-18.8×107m-1時，水平和豎直方向均存在電場，即光沿豎直和水平方向傳播； 由圖6(D)可見，當函數系數k=35.8×107m-1時，水平方向電場消失，豎直方向有明顯的電場分布，此時光主要沿豎直方向傳播. 因此改變點缺陷介質柱函數系數k也可控制光在波導中的傳播方向和電場分布.

圖6 當加入點缺陷且參數b相同時，函數系數k對二維函數光子晶體波導中電場分布的影響Fig.6 Effects of functional coefficients k on electric field distribution of two-dimensional functional photonic crystal waveguide when point defect is added and parameters b are same

綜上，本文給出了二維函數光子晶體波導的Fourier形式，并用COMSOL仿真軟件計算和模擬了其電場分布和帶隙結構. 結果表明： 當二維函數光子晶體波導中不含點缺陷，波導中介質柱介電常數參數b和k的值分別增加時，二維函數光子晶體波導帶隙結構中禁帶的數目增加，禁帶紅移，缺陷模的數目增加，且缺陷模頻率范圍減小； 當二維函數光子晶體波導中含介電常數為函數的點缺陷時，改變點缺陷介質柱參數k和b的值，可改變二維函數光子晶體波導中的電場分布，并控制光的傳播方向，具有光學開關的作用. 因此，通過改變外加電場即可調節其帶隙結構、 光的傳播方向和光場分布，即二維函數光子晶體波導具有調制功能.