基于故障時間數據下數控機床的故障模型研究

楊新坤，趙寧寧，楊 嘉，李文振，李富康

（長安大學工程機械學院，西安 710064）

0 引言

隨著“中國制造2025”的提出，制造業邁向高端已提到國家戰略層面。而數控機床作為制造業重要的組成部位，其重要性不言而喻。分析數控機床的可靠性，確定故障時間數據的模型可促進機床業的良性發展。國內外也對此進行了大量研究。英國學者Keller等[1]對35臺數控機床的3年的故障數據進行建模分析，發現故障間隔時間符合對數正態分布。Ansell[2]考慮到數據收集及來源不嚴謹問題，提出了先用繪圖方法進行初步擬合，再采用統計的方法進行可靠性分析。Merrick[3]提出用于分析機床故障數據的半參數模型。國內賈亞洲、申桂香等[4]根據數控機床的故障時間數據對數控機床可靠性建模技術進行了深入研究。楊建國[5]通過對時間數據的分析提出了基于似然比檢驗理論的威布爾分布模型。程皖民[6]在原收集機床信息量不足的情況下融合了相似機床的故障信息，提出了MMLE-Bayes 可靠性評價方法。本文將提出一種故障數據的處理方法，并利用圖示法和統計法確定最后的模型。

1 故障時間數據的分布模型

目前工程上使用最普遍的數控機床可靠性評估方法就是基于數控機床的故障數據先確定分布模型，再計算相應的MTBF值。其方法首先要對收集到的故障數據進行預處理，然后對故障數據進行回歸分析，并運用數理統計的方法確定故障數據的分布模型。常見的數控機床的故障數據的分布模型有對數正態分布、指數分布、伽瑪分布、威布爾分布[7]。

1.1 對數正態分布

在故障時間統計模型中，對數正態分布由于其右偏的性質，常用于特定種類的機械零件的疲勞壽命評估和某些半導體器件的可靠性分析。設T為一連續的隨機變量，且取值為正。若ln(T)～N(μ,δ2)，則故障時間t的概率密度函數為：

累積分布函數為：

故障率與可靠度函數分別為：

式中：Φ(·)為標準正態分布的累積分布函數。

在對數正態分布中，故障數據趨勢有更大向上波動的可能，在計算故障率時應當從分利用此特點。

1.2 指數分布

指數分布是研究故障時間數據模型中最常見的一種分布?？煽啃栽u估中，此方法通常用于描述對發生的失效數或系統故障數的評定結果。

設一隨機變量T符合指數分布，故障時間t的概率密度函數和累積分布函數分別為：

式中：λ為指數分布的均值、方差以及尺度參數，且λ＞0。

指數分布的故障率函數與可靠度函數可用下式表示：

指數分布的失效率是與時間t無關的常數，所以計算方便，分布函數也相應簡單。機械零部件一般伴隨著疲勞損傷，腐蝕。老化等特性，而指數分布有明顯的無記憶特性，所以用指數分布描述故障時間分布模型時應當充分注意此特點。指數分布盡管不能作為機械零件性能參數的分布失效規律，但在復雜零部件和機械系統的失效分析中可近似的代替其失效分布。

1.3 Gamma 分布

Gamma 分布在特定場合下也可用來統計故障時間數據，設一隨機變量T符合指數分布，故障時間t的概率密度函數和累積分布函數分別為：

故障率函數與可靠度函數可用下式表示：

式中：α為Gamma 分布的尺度參數；β為形狀參數；Γ(·)為Gamma 函數； Γ(a,b) 為不完全Gamma 函數；當α＜1 時，F(t|α,β)為遞減函數；當α＝1 時，F(t|α,β)為遞減函數；當α＞1時，F(t|α,β)為單峰函數。

由于Gamma 分布的故障率函數與可靠度函數用常規的方法很難求解，所以在可靠性領域使用此分布來描述時間故障模型有一定的局限性。

1.4 威布爾分布

威布爾分布被廣泛地應用于可靠性工程的評價中，其本身很好地彌補了指數分布的無記憶特性，所以很好地適用在伴隨有疲勞磨損、老化的機電類產品上。再加上其參數可以由概率值推斷，在各種壽命試驗的數據處理上威布爾分布都有著廣泛的作用。

設一隨機變量T符合威布爾分布，故障時間t的概率密度函數為：

累積分布函數為：

威布爾分布的故障率與可靠度函數分別為：

式中：α為威布爾分布尺度參數，β為其形狀參數，且有t＞0，α＞0，β＞0。當形狀參數β＜1 時，故障率逐漸遞減，一般用于描繪初期的故障數據時間分布；當β＞1 時，故障率逐漸遞增，此種情況出現在零部件和系統的損耗階段；當形狀參數β＝1 時，威布爾分布轉變為指數分布，此時故障率與時間無關。

2 故障數據的引入及處理

2.1 故障數據的引入

收集某型號數控機床一年內故障間隔數據如表1 所示，其中“+”代表截尾數據。

表1 故障時間間隔數據

由于上述數據收集來源于數控機床的使用廠家，在實際生產過程中各機床投入時間都不盡相同，再加上加工零件，加工時長，操作人員水平都有很大差異，還有部分機床在使用過程中會因某種原因產品轉移它處，這都形成了現場數據隨機截尾的特性。表中收集了12臺數控機床一年內的24個故障數據，其中就包含了10個截尾數據，若不剔除截尾數據的影響，將大大降低數據模型的精確性，也不利于研究和掌握數控機床的失效規律。

針對故障數據包含截尾數據且為小樣本的情況下，王秉剛[8]提出了故障總時間法，其使用場景是將5臺汽車的故障數據排序后整理到一臺汽車上，此方法不僅剔除了截尾數據的影響，使得模型準確度相應提高，也使得數據的處理量大大減少。

故障總時間法則的原理及計算方法如圖1 所示，以收集的3 臺數控機床故障數據為例，其中t11，t21，t22，…分 別 表 示第一臺數控機床的故障時間，第二臺數控機床的第一個故障時間，第二臺數控機床的第二個故障時間。tjs＝(t1s，t2s，t3s)表示第j號機床試驗截止時間?！啊ぁ北硎竟收宵c。

圖1 故障總時間法計算方法

圖1中各故障點的故障總時間的計算方法如下：

在不考慮故障數據屬于哪臺機床的情況下，按照圖1 所示方法可以得到發生故障時所有試驗機床運行的總時間t′，進而計算出受試機床平均發生故障的時間ti和累計平均故障總數N(ti)，計算公式如下：

2.2 故障數據的處理

將上述表中的故障間隔時間換算成機床具體發生的故障時間點，計算結果如表2所示。

表2 機床的具體故障時間點

將上述換算完成的故障時間按故障總時間法則計算每個故障點所對應的故障總時間，計算過程及結果如表3所示。

表3 各故障點對應的故障總時間

對表中的12臺型數控機床的故障總時間按式17計算可得到處理后的時間故障數據，這里不難發現，運用故障總時間法可以剔除相應的截尾數據。在小樣本（n＜20）時直接用式（19）計算累積故障時會相應的損失精度，這里使用如下的近似中位秩公式代替：

整理后的故障累積頻率結果如表4所示。

表4 故障累積頻率

3 模型的確立

以故障時間為橫坐標，經驗累積頻率為縱坐標作故障數據的累積頻率分布圖，如圖2所示。分析圖中頻率散點圖的趨勢，可以看出基于故障時間的經驗分布函數的擬合曲線有外凸趨勢，且無明顯拐點?？沙醪脚袛嘣摂悼貦C床故障數據具有單調趨勢[9]?；谠摂祿€無明顯拐點且為外凸，可以排除該分布為對數正態分布、Gamma 分布和逆高斯分布。進而可以判定該模型大致符合威布爾分布或者指數分布。

圖2 故障數據的累積頻率分布圖

使用統計圖分析法雖然對故障數據的單調性進行了初步的判斷，但圖示法并不能完全確立故障數據模型，這里還需要選用合適的統計法對故障數據的趨勢做嚴格的檢驗[10]。常用的統計方法有Laplace檢驗法、J檢驗法、V檢驗法等，每一種方法都有其合理適用性。上述統計圖圖分析法中已對故障數據的趨勢做出了初步的判斷，即指數分布或威布爾分布。這里選擇使用Laplace檢驗法確定該模型的最終分布。

設原假設H0：該分布為齊次泊松過程；備擇假設H1：具有單調趨勢。

檢驗統計量選擇如下：

且U～N(0,1)，給定顯著性水平α，當 |U|＜U1-α/2時，接受H0，否則接受H1。將表中的故障總時間t′i按Ti代入公式（21）所示的檢驗統計量，式中的T?為截尾數據之和，經計算U＝2.195 84，取α＝0.05，查表U1-α/2＝1.960。那么 |U|＞U1-α/2，即接收H1，拒絕H0，認為故障數據具有單調趨勢。

綜上，由圖示分析法和統計法檢驗結果，數控機床故障時間數據具有單調趨勢，符合威布爾分布模型。

4 結束語

本文在收集的數控機床故障數據的基礎下，運用故障總時間法有效地剔除截尾數據的影響，提高了建立故障數據模型的準確性。并利用圖示法和數理統計的方法確立了數控機床的故障數據符合兩參數威布爾分布模型，為之后的數控機床的可靠性評估打下了基礎。