偏振雙向反射分布函數模型研究進展

王 凱，劉 宏，郭奉奇

(1.渭南師范學院 物理與電氣工程學院，陜西 渭南 714099；2.宇航動力學國家重點實驗室，西安 710043；3.西安交通大學 電子與信息學部，西安 710049；4.陜西信息光子技術重點實驗室，西安 710049)

20世紀60年代前，已經存在各種名目的反射率，這些反射率在定義、術語和符號等方面都存在很大差異。因此，許多學者呼吁對眾多的反射率進行統一。1977年，NICODEMUS F E[1-2]首次提出了雙向性反射特性的表達——雙向反射率分布函數，同年美國國家標準局以此為參考定義了標準的雙向反射分布函數(Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF)并將它作為物體表面雙向性反射特性的基本表達，從而使反射率定義的研究達到頂峰。

BRDF用于描述目標物體表面的空間光反射特性。其用來描述物體表面的光反射特性具有唯一性的特點，它所確定的反射特性只取決于物體表面本身的特性，表示不同入射條件下物體表面在任意觀測角的反射特性。它主要由表面粗糙度、介電常數、輻射波長、偏振等因素決定[3-5]。BRDF能夠很好地將材料表面的反射和散射統一于同一概念中，可以描述表面的方向散射和輻射特性。BRDF理論經過發展，已廣泛應用于可見光、紅外波段和微波波段的散射、輻射方面，在地物遙感[6-8]等領域得到了廣泛應用，并已經擴展到計算機視覺等新興的研究領域。另外，通過BRDF的測量數據獲得物體材料的紅外反射率也是取得許多不透明材料(尤其在800 K以下)的發射率和吸收率的重要方法。

不同材料光學散射特征的差異在光學特性建模中體現為不同的BRDF表達形式，也就是說事實上，BRDF的確定是描述目標光學散射特性和目標光學散射特性建模過程的關鍵和核心所在。如果在光與目標表面發生作用的過程中加入入射光和反射光的偏振態信息，將傳統的標量形式BRDF擴展為穆勒矩陣形式的偏振雙向反射分布函數(polarimetric Bidirectional Reflectance Distribution Function,pBRDF)，就可以將反映入射光和反射光偏振信息的Stokes矢量對應聯系起來，反映目標表面的全偏振特性，完整地描述和表示目標表面的偏振特性，從而獲取我們感興趣的材料特征信息。

1 偏振BRDF模型的研究現狀

1.1 國外偏振BRDF模型研究情況

國外關于pBRDF模型的研究雖然開展得比較早，但發展較為緩慢。20世紀90年代末，一些學者的相關研究表明，還沒有一個合適的pBRDF模型能夠以滿足我們要求的精度來描述pBRDF特性。但是先前的一些標量BRDF，實際上已經提出了建立pBRDF模型的思想。

1995年，美國尼科爾斯研究中心和佛羅里達埃格林空軍基地的FLYNN D S和ALEXANDER C[9]針對以前BRDF與光的偏振狀態之間關系描述的不足，首次將全偏振的表達方式引入BRDF之中，提出了全偏振BRDF思想。作者將BRDF中的入射光和反射光定義為矢量，并定義了偏振BRDF矩陣，研究了BRDF矩陣和散射振幅矩陣之間的關系，對偏振和非偏振的BRDF表達式之間的關系進行了討論。該研究雖然沒有與具體的BRDF模型結合起來，但它為全偏振形式的BRDF模型研究提供了全新思路和理論基礎，對于偏振BRDF的發展具有里程碑式的意義。

Torrance-Sparrow模型(T-S模型)和Beard-Maxwell模型(B-M模型)等許多已提出的BRDF模型均考慮多次散射并假設體散射偏振態是完全隨機的，這些模型認為首次表面反射光中包含所有偏振信息。美國密歇根環境研究所的ELLIS K K提出了光滑涂層模型(Glossy Coating模型)[10]，光滑涂層模型的分析型表達式表明體散射部分對偏振是有貢獻的，而且發現在一些簡單的模型中首次表面反射光與體散射光間是有耦合作用的，并且該耦合作用會對體散射光部分的偏振效應產生影響。

密歇根環境研究所開發了一個基于第一原理的油漆反射模型(F-BEAM)。這種模型能夠預測多層涂層的偏振BRDF。[11]與光滑涂層模型相比，F-BEAM在一定領域能解決更復雜的問題。但在其他領域，ELLIS K K發現F-BEAM模型所利用的簡化的設想并不總是有效的。因此，在大角度時將會偏離測量數據。

從2000年開始，許多研究者開始對T-S模型這種最典型和常見的BRDF模型進行擴展，將其擴展成為具有全偏振形式的pBRDF模型，并基于全偏振形式的pBRDF開展了相關的應用研究。

2000年，美國海軍研究實驗室的PRIEST R G和國家標準技術局的GERMER T A[12]將T-S模型與穆勒矩陣結合起來，對一個微面元進行研究，實現了T-S BRDF模型的偏振化，提出了Priest-Germer pBRDF模型(簡稱P-G模型)。圖1為偏振雙向反射過程的幾何關系圖。在圖1中：(θi,φi)和(θr,φr)分別代表入射光和反射光的方向；θ和φ分別代表天頂角和方位角；α為宏觀面法線方向Z與微面元法線方向n之間的夾角；β為入射方向與微面元法線之間的夾角。并有

圖1 偏振雙向反射幾何關系

(1)

cos2β=cosθicosθr+sinθisinθrcos(φi-φr)。

(2)

P-G模型使用微面元理論，認為它們在二維平面上是高斯分布的，在這樣的假設下進行偏振輻射的計算，對其中的角度關系進行了詳細描述，并推導出角度關系間的變換矩陣，建立了入射方向、反射方向、微面元法線方向、目標宏觀表面法線方向之間關系的四個坐標系：(1)由ri和z構成的坐標系；(2)由ri和n構成的坐標系；(3)由rr和n構成的坐標系；(4)由rr和z構成的坐標系。

給出了坐標系轉換矩陣，規定坐標系(1)旋轉γi角度至坐標系(2)，坐標系(3)旋轉γr角度至坐標系(4)，則有以下關系：

(3)

(4)

坐標的旋轉角γi,γr可由下面的關系得到：

(5)

(6)

并由此推導出描述入射與反射偏振光之間關系的瓊斯矩陣，給出了穆勒矩陣元素與瓊斯矩陣元素之間的關系，得出了包含全偏振信息的T-S pBRDF模型。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

通過以上關系可以得到表面反射過程的16個穆勒矩陣元素Mi,j(θi,θr,φr-φi)，將標量T-S BRDF表達式中的菲涅爾反射率F換成穆勒矩陣元素Mij，就可以得到全偏振形式的矢量pBRDF表達式，標量形式的BRDF就變成了含有16個元素的矩陣形式的矢量pBRDF表達式。對有綠色涂層的金屬樣品分別在可見和紅外波段進行偏振光主動照明，該模型與實驗測量數據能夠較好地吻合。

P-G模型表達式：

(23)

其中：σ為表面粗糙度參數；M為微面元的穆勒矩陣；i，r分別代表微面參考系中的入射和反射方向。

P-G模型僅僅修正了T-S BDRF中的鏡面反射部分，而且該模型比較明顯的一個缺點是當入射光掠入射到目標表面時，在大反射角度處的pBRDF值會趨于無窮大，這是不符合物理規律的。WELLEMS D等人[13]提出了漫射消偏作用。對一個給定粗糙度的全反射微面元，在整個半球上對BRDF積分。積分值與1之差可以歸因于光的多次反彈和表面相互作用造成的漫反射。這種消偏是表面粗糙度的函數，而與材料復雜的折射率無關。這種消偏已經加入到DIRSIG中的T-S BRDF模型中。

2002年，PRIEST R G等人[14]又研究了紅外波段下高吸收率和高反射率粗糙表面的偏振散射特性，通過分別對帶有黑色涂層的陽極化鋁以及有等離子體噴銅和鍍金的鋁襯底的兩種粗糙表面進行實驗測量，獲取了目標表面的穆勒矩陣并與菲涅爾定律進行了比較，發現具有高吸收率的粗糙表面比高反射率的粗糙表面具有更高的偏振度。羅徹斯特理工學院的MEYERS J P[15]在其博士論文中將P-G模型引入了DIRSIG軟件。基于復雜環境下的紅外散射和輻射的偏振測量，FETROW M P給出了T-S BRDF模型的偏振修正模型[16]，研究了確定材料復折射率和粗糙度的方法，在美國科特蘭空軍基地和埃格林空軍基地對空中目標進行了實驗測量并對結果進行了比較。與T-S模型的pBRDF類似，B-M模型也可以通過菲涅爾反射公式經過修正成為偏振形式的BRDF，來預測初次表面反射中的偏振信息。CONANT J A和IANNARILLI F J[17]在其研究中給出了Sandford-Robertson BRDF模型的偏振形式，通過對菲涅爾公式的擴展，加入了對偏振態的描述。根據物理推導，模型將鏡面反射分量看作是有偏振的(由于微面元的菲涅爾反射)，將漫反射看作是消偏的(由于多次體散射)，也就是說，材料的偏振性質只存在于表面部分，或者說只依賴表面反射作用。

2003年，美國約翰霍普金斯大學的DUNCAN D D等人[18]提出了一個新的基于物理原理的分析BRDF模型，它能夠反映任意粗糙表面散射光的偏振態差異，體現目標的偏振信息。該模型含波長參數，既包含目標表面的固有屬性(如折射率)，又包含目標的外在特征(如表面高度變化的統計矩)。該模型的成果之一是它能夠預測隨光波長變化的輻射偏振態，但其包含的偏振態也僅限于正交的兩個方向，即p光和s光。

2009年，懷特—帕特森空軍基地的HYDE M W等人[19]對基于T-S模型的偏振BRDF模型進行了擴展，其認為表面微面元的法向分布滿足以下關系：

(24)

式(24)中的α即為微面元法向與宏觀法向的夾角，ι為表面自相關長度。文章使用由Blinn提出的簡化形式的陰影與遮蔽衰減因子G的表達式：

(25)

偏振BRDF的表達式如下：

(26)

(27)

式(27)與P-G模型的一個重要區別就是該模型增加了陰影/遮蔽函數G，G所起的一個關鍵作用就是保持pBRDF有界。

HYDE M W通過推導得出了解析的漫反射分量的表達式，減少了經驗參量漫反射系數：

(28)

(29)

(30)

ρDHR(θi;σh,ι)為方向性半球反射率，經材料表面反射到整個半球上的總能量與沿某一特定方向入射的總能量的比值。該模型中的漫反射分量有兩個特點：一是其僅取決于入射角和粗糙表面的統計特性；二是不需要模擬漫反射pBRDF的擬合系數。這個系數普遍應用于其他BRDF中，而其值通常需要通過測量數據與BRDF擬合確定。

考慮鏡面反射和漫反射部分：

(31)

Fjk(θi,θr,φ;σh,ι;η)=Fjks(θi,θr,φ;σh,ι;η)，j,k≠0。

(32)

因為漫反射是消偏的，所以漫反射部分只對pBRDF穆勒矩陣中的F00部分有貢獻。

Hyde模型有兩個特點：一是增加了陰影/遮蔽函數，使得pBRDF有界；二是發展了漫反射pBRDF部分，這部分僅僅依賴于物理參數，不需要與測量值擬合。Hyde模型雖然在鏡面反射部分加入了陰影/遮蔽函數，使得P-G模型在近掠射角條件下大反射角度處的pBRDF值得到明顯下降，但是在下降過程中有一個突變的拐點也是不符合物理規律的。針對這一問題，西安交通大學的研究人員提出了積分型陰影/遮蔽函數[20]，結果表明加入積分型陰影/遮蔽函數后，大反射角度處的pBRDF曲線平滑緩慢地下降，該方法很好地解決了這一問題。

1.2 國內偏振BRDF模型研究情況

國內在pBRDF模型建立方面雖然較國外發達國家而言還有較大的差距，但是也取得了一定的成果。合肥工業大學的研究人員在一階矢量擾動理論的基礎上，對多層涂層建立了pBRDF模型，并在該模型基礎上研究多層高反射和單反射涂層的偏振反射特性[21]。北京理工大學的王霞等人[22]在Hyde pBRDF模型的基礎上提出了紅外pBRDF模型，并對綠色和黑色油漆表面的偏振反射特性進行了實驗測量。

2008年，中國科學院環境光學重點實驗室的馮巍巍等人[23]采用基于T-S模型的pBRDF模型，對涂層材料的空間光散射理論進行了數值模擬，采用遺傳算法對偏振雙向反射分布函數模型的參量進行了反演，分析了模型參量對偏振雙向反射分布函數的影響。數值模擬的結果和實驗結果的對比說明，該模型算法具有較高的模擬精度，為后續涂層目標偏振特征提取與識別工作提供了一定的參考。西北工業大學的陳超等人[24]通過分析偏振BRDF與實驗探測角、波長間的關系，提出用多項式模型來定量描述偏振度分量，在可見光范圍內實現偏振光譜BRDF建模，對于土壤等各向性質較為均勻的背景能較好地達到精度要求。2010年，陳超等人[25]從獲得的戶外試驗測量數據入手，分析與探測角、波長之間的關系，通過比較測量的方法得到綠漆涂層木板的可見光譜pBRDF。

2009年，北京理工大學的馬帥等人[26]將含有雙參數的柯西分布替代常規高斯分布引入微面元BRDF模型，同時考慮了目標自身輻射強度的方向依賴性，在此基礎上推導了長波紅外偏振的數學模型，并在合理范圍內對模型做簡化與修正使之適用于仿真研究，并對數學模型雙參數σ和q(σ為材質粗糙度參數,q為與材質特性有關的常量,q的引入增強了微面元模型的靈活性)的選擇進行理論分析并驗證了該模型的靈活性以及優勢所在。偏振場景仿真結果較為理想，得到的目標紅外偏振特性與實際圖像基本吻合。

2010年，北京師范大學的謝東輝等人[27]利用長春光機所研制的多角度觀測裝置測量了玉米嫩葉、玉米成熟葉和一品紅葉表面的雙向偏振反射率分布，發現葉片表面反射具有明顯的非朗伯性。通過借鑒Cook-Torrance光照模型的形式，將不同偏振態的菲涅爾因子耦合到模型中，推導得到用于葉片表面偏振的雙向性反射分布函數模型。將建立的pBRDF模型與實測數據擬合，利用遺傳算法進行參數反演，獲得葉片漫反射率、等效折射率和表面粗糙度的大小。

2011年，哈爾濱工業大學的陳加偉[28]研究并建立了偏振反射率模型，采用植被和土壤的物理模型進行仿真，也對半經驗模型進行了深入分析和進一步拓展，實現了偏振高光譜的場景仿真。

2017年，西安交通大學的朱京平課題組先后提出了適用于金屬材料[29]和空間目標材料[30]的pBRDF模型。該模型通過研究光與目標材料的相互作用過程，首次提出將目標反射光分成鏡面反射光、方向性漫反射光和理想漫反射光三部分(三分量假設)，如圖2所示。

圖2 光與目標材料的相互作用過程

鏡面反射光是由入射光與金屬材料表面發生作用后的單次反射光形成，該部分遵循微面元理論和菲涅爾定理，如圖3所示。假設材料表面是由很多高低起伏的表面微元組成，每一個小微元可以看作一個小鏡面，所以每一個微面元滿足Snell反射定律。所有小微面元都是隨機分布的，并且微面元斜率的概率統計分布服從高斯分布函數。入射光照射到不規則的表面上，在每一個小微面元都會發生鏡面反射。鏡面反射部分的BRDF表達式可以通過微面元理論推導得到。

圖3 鏡面反射分布情況

方向性漫反射部分是入射光經凹凸不平的表面多次反射后形成，如圖4所示。由于多次反射的計算非常復雜，所以方向性漫反射部分在現存的模型中都是被認為在整個半球空間均勻分布的。然而多次反射的反射角是與入射微面元的傾斜角相關的，根據微面元理論，微面元分布服從高斯分布，因此多次反射也應該服從特定的分布。

圖4 方向性漫反射分布情況

理想漫反射是由入射光進入材料下表面與材料內部粒子發生多次相互作用后，由上表面透射出來形成，如圖5所示。入射光子與材料內部的粒子發生相互碰撞，每一次相互作用都會使入射光的方向和偏振態發生改變，所以方向性漫反射的偏振態也是隨機分布的。但是相互碰撞后光子沿每一個方向移動是等概率的，所以認為理想漫反射光沿每一個方向都有相同的強度，也就是該部分在整個半球空間是均勻分布的。

圖5 理想漫反射分布情況

通過對不同種類的目標材料和具有不同粗糙度的同種目標材料的實驗測量數據進行擬合得到最優化的表達式，理想漫反射光部分遵循朗伯定律。

根據三分量假設，從入射光的Stokes矢量出發，建立了入射光Stokes矢量、反射光Stokes矢量與pBRDF穆勒矩陣之間的關系，就此反推出新的pBRDF穆勒矩陣，并建立了pBRDF模型，鏡面反射光由表面單次反射光形成，攜帶了光與材料相互作用后獲得的所有偏振信息；方向性漫反射光由光經凹凸不平的表面多次反射后形成，理想漫反射光由入射光子進入材料與內部粒子發生相互作用后的體散射光形成，這兩部分反射光完全消偏。通過對不同的金屬材料以及具有不同表面粗糙度的同種金屬材料的實驗測量數據和模型仿真結果對比可以看出，三分量pBRDF模型能和實驗測量結果較好地吻合。從對比結果可以看出，對具有不同粗糙度的同種材料來說，反射光中3分量的比例不同。對于不同種類的材料，模型中的3個分量系數的比例也是不同的。三分量的比例既隨著材料的不同而變化，也隨著粗糙度的不同而變化，該模型在理論上更加合理。并且通過兩種模型與實驗測量結果對比后的誤差分析驗證了三分量模型在精度上較原來的模型有很大的提高。該課題組還在三分量pBRDF模型的基礎上進一步提出了體現材料表面粗糙度影響的偏振度表達式。[31]

2 需要解決的關鍵問題

(1)雖然人們對pBRDF的研究比較多，建立的模型也有很多種，但是尚未見到有文獻對各種不同pBRDF模型的適用條件(如適當的材料、波段等)進行完整的總結和討論，進而為材料檢測、目標識別提供一個光學散射模型的選擇依據，這樣就造成人們在進行光學散射建模的過程中存在一定的盲目性，并且目前典型的pBRDF模型對于溫度等影響因素沒有加以考慮。

(2)目前所有的全偏振雙向反射模型pBRDF都要依賴基于實驗測量的任意角度下的穆勒矩陣，穆勒矩陣完全由實驗確定，測量過程復雜，導致pBRDF依賴測量和經驗，缺乏按照電磁理論推導的物理來源，使得利用模型對偏振雙向反射特性進行預測時并不能減少實驗測量的工作量，也就是說，這樣“查表”形式的pBRDF模型實際上不是完整意義上的模型。目前，進行完整意義上的全偏振pBRDF模型建立，難點在于對16個穆勒矩陣元素的描述，但是目前國際上對穆勒矩陣元素的研究成果比較少，人們對其物理含義和規律的認識仍需加強。

(3)目前國內外對目標偏振特性機理和規律的研究較少，這使得人們對目標的偏振散射特性深層次的物理機理理解仍然不夠深入，相關研究偏重于通過實驗得出效果進行比對。由于對偏振效應物理機理方面研究成果的缺乏，使得國內外學者在研究目標偏振特性時，只能依靠經驗數據進行分析，缺乏理論指導。

3 總結與展望

偏振探測與傳統的光強探測相比有著明顯的優勢。無論在國外還是國內，偏振技術的研究與應用發展很快。目前各國的研究人員正在更寬的波段對偏振特性進行研究，并且研究對象從目標識別向生物組織特性等熱點方向擴展。隨著相關學科技術的發展和人們對偏振特性在目標識別等場合應用的持續關注，目標偏振雙向反射分布函數建模及偏振散射特性研究必將取得更豐碩的研究成果。目標偏振雙向反射分布函數建模及偏振散射特性研究將有以下幾個方面的發展：(1)穆勒矩陣深層物理含義和變化規律仍有很大的研究價值，明確穆勒矩陣中每一個元素代表的物理含義，研究每一個元素關于空間角度和其他影響因素(內因和外因)的函數表達式，從而獲得準確的pBRDF模型解析表達式，完成對目標表面的全偏振信息建模。(2)總結不同條件下pBRDF的適用范圍，由于不同的材料表面具有不同的偏振雙向反射分布特性，描述不同的材料表面要選擇不同的pBRDF模型，所以對各種不同形式的pBRDF模型的適用條件(材料、波段、表面分布特性等)進行完整的研究和總結，能夠為目標識別、材料檢測、大氣傳輸等不同過程提供pBRDF模型的選擇依據，使得人們進行光學散射建模時選擇pBRDF模型有據可依。(3)從物理本質出發，通過理論推導研究所有影響目標偏振特性的內部本質屬性和外界環境因素，找出他們對偏振特性產生影響的規律，進而揭示產生目標偏振特性的最本質原因，對今后在目標偏振特性方面的研究和應用起到推動作用。