三維空間向量積與旋度算子的高維推廣

林開亮，吳艷霞

(1.西北農(nóng)林科技大學 理學院，陜西 楊凌 712100；2.山東財經(jīng)大學 數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院，濟南 250014)

1 向量積

眾所周知,在三維歐氏空間中,對兩個向量v,w,除了數(shù)量積(也稱內積或點乘)v·w,還有向量積(也稱叉乘)v×w。而且,數(shù)量積的概念是高維歐氏空間的基礎,在歐氏空間中度量長度、角度 (特別地,垂直關系)都依賴于數(shù)量積。那么,很自然地,我們可以問下述問題：向量積是否可以從三維空間推廣到高維空間呢？對于這個問題,直到 1942 年才由Beno Eckamann(1917—2008)[1]考慮并完全解決。1983年,美國著名代數(shù)拓撲學家William S.Massey(1920—2017)從中提煉出以下代數(shù)定理:

(i) 〈v×w,v〉=〈v×w,w〉=0,

(ii) ‖v×w‖2=‖v‖2‖w‖2-〈v,w〉2。

正如Massey所指出的,定理1是著名的Hurwitz定理的推論。

定理2[3]當且僅當n∈{1,2,4,8}時，存在x1,…,xn與y1,…,yn的實系數(shù)雙線性函數(shù)z1,…,zn使得

(x12,…,xn2)(y12,…,yn2)=(z12,…,zn2)

對一切實數(shù)值變量x1,…,xn與y1,…,yn都成立。

定理2又稱為“1,2,4,8 定理”,它也可以用矩陣來表述,即

定理3[3]設B1,…,Bk是n階實矩陣,且滿足下述 Hurwitz 方程

(1)

定理2與定理3的證明可參見文獻[3]。考慮到從定理2到定理1的推導有益于我們理解后面的論證 (從定理3推導定理4),這里我們給出定理1的證明。

xy=(a,v)(b,w)=(ab-〈v,w〉,aw+bv+v×w)。

‖xy‖2=‖ab-〈v,w〉,aw+bv+v×w‖2

=(ab-〈v,w〉)2+〈aw+bv+v×w,aw+bv+v×w〉

=(ab-〈v,w〉)2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v×w‖2+2ab〈v,w〉+

2a〈w,v×w〉+2b〈v,v×w〉

=a2b2+〈v,w〉2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v×w‖2

=a2b2+〈v,w〉2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v‖2‖w‖2-〈v,w〉2

=a2b2+a2‖w‖2+b2‖v‖2+‖v‖2‖w‖2

=(a2+‖v‖2)(b2+‖w‖2)

=‖x‖2+‖y‖2。

由定理2 知n+1∈{2,4,8},從而n∈{1,3,7}。

充分性的證明是構造性的,n=1的情況平凡,n=3的情況即我們熟知的向量積,n=7的情況可用八元數(shù)的乘法給出。[2]

定理1告訴我們,與數(shù)量積可定義于任意維數(shù)空間不同,滿足適當條件的向量積僅存在于三維與七維空間。

2 旋度算子

在三維空間中,有與向量積密切相關的旋度算子。然而,在一般的高等微積分教材中,對高維空間并沒有關于旋度算子的討論。這就引出一個問題：是否與向量積的情況類似,關于旋度算子存在一個類似于定理1的結果？事實上,7年前有人在 Math.stackexchange 論壇上明確提出過這樣的問題：“can the-curl-operator-be-generalized-to-non-3d?” 針對這一問題,我們得到下述平行于定理1的結論：

(i) 對任意的F∈Vn有

div(curlF)=0,

這里 div 是作用在Vn上的散度算子。

(ii) 對任意的f∈V,有

(iii) 對任意的F∈Vn有

證明 設滿足條件 (i) (ii) (iii) 的旋度算子curl:Vn→Vn具有形式

根據(jù)條件(i),我們有

即

由于各個fl相互獨立,所以對任意給定的l=1,2，…,n,有

在上式中令fl(x)=xixk,有

(2)

再看條件 (ii),對任意的f∈V,有

從而對每個i=1,2，…,n都有

在上式中令f(x)=xlxk有

(3)

現(xiàn)在考慮條件 (iii),為此我們先計算出

而

于是根據(jù)條件 (iii) 可知,對j=1,…,n有

注意到各個fl相互獨立,所以有

令fl(x)=xkxr,則有

根據(jù)式 (3) 與 式(2) 有

從而上式可以改寫為

(4)

對每個j=1,2，…,n,構造n+1階矩陣Bj:

(5)

下面驗證,這n個矩陣B1,…,Bn滿足Hurwitz矩陣方程 (1)。由于

從而

(6)

所以我們的目標是證明

(7)

容易算出

(8)

而根據(jù)式(4) 有

(9)

(8)(9)兩式表明,要想證明式(7),我們只需驗證

Aiej+Ajei=0。

(10)

由于上式對任意的r=1,2，…,n成立,所以Aiej+Ajei=0,即式(10) 成立。

應用定理3可推出n+1∈{2,4,8},從而n∈{1,3,7}。注意n=1時的旋度算子就是求導算子,而n=3時即得到經(jīng)典的旋度算子,所對應的3個矩陣分別為

至于七維空間中的7個反對稱矩陣,我們留給感興趣的讀者來構造。

3 與 Taussky-Stiefel 定理的關系

旋度算子與廣義 Cauchy-Riemann 算子有密切的關系。

1939 年,Taussky 定義n維廣義Cauchy-Riemann算子如下：設

L=(lij(?))，

其中：lij(?)是?1,…,?n的常系數(shù)線性組合,i,j=1,2，…,n，則矩陣L稱為n維廣義Cauchy-Riemann算子,如果存在矩陣

W=(wij(?))，

例如,經(jīng)典的 Cauchy-Riemann 算子是

給出。

Taussky O的主要結果如下：

定理5[4]設n≥2,則n維廣義Cauchy-Riemann 算子存在當且僅當n=2,4,8。

后來 Stiefel E[5]利用 Hurwitz 矩陣方程化簡了 Taussky 的證明。因此定理5被稱作Taussky-Stiefel定理。

事實上,定理 4 是定理 5 的推論。我們證明如下:

設有滿足定理 4 條件的旋度算子 curl，現(xiàn)在構造作用于n+1維向量函數(shù)空間的一階微分算子L,W如下:

因此根據(jù)定理5,我們有n+1=4或8,從而n=3或7。

4 小結與引申

前文我們證明了,僅在三、七維空間中存在向量積和旋度,我們又知道在三維空間,向量積與旋度之間有密切聯(lián)系。于是我們提出這樣的問題,定理1與定理4是否等價？或者它們可否統(tǒng)一？另一方面,我們關于定理1與定理4的證明都依賴于定理2或等價的定理3,它們表明2,4,8是極特殊的數(shù)。事實上,在數(shù)學中,有些數(shù)學對象僅當n=2，4，8時存在,實數(shù)域上的可除代數(shù)(僅有實數(shù)、復數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù))就是一個典型的例子,更多的例子來自拓撲,見文獻[6]中 Ebbinghaus H D的文章。