多尺度函數的平衡性與Armlet的研究

陳韞智,王 剛

(新疆師范大學 數學科學學院,烏魯木齊 830017)

近年來,小波變換成了重要的分析工具。小波處理技術被廣泛應用,小波理論得到良好發展。然而單小波在應用上存在先天不足,對稱性、正交性等性質不能共存。人們不斷探索希望可以擺脫單小波開發的局限性,多小波得到了良好的發展。[1]但在多小波的應用中需要進行預濾波,這個操作往往會損壞多小波結構。[2]平衡多尺度函數得到推廣[3]，在處理多小波應用中發揮了巨大優勢,特別是處理多項式信號,效果顯著。[4]C-L提出了Armlet多小波,解決了預濾波問題。本文從多尺度函數[5-6]的角度出發,結合多小波Armlet的存在條件,對特定算法[7]構造出的正交多小波進行PTST(仿酉兩尺度相似變換),給出平衡多尺度數對應多小波函數是Armlet，并討論了正交對稱的情況,最后給出一種算例。

令Φ(x)=[φ1(x),φ2(x),…，φr(x)]T是r重多尺度函數,滿足

(1)

且Ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…，ψr(x)]T是對應的正交多小波,滿足

(2)

整理式(1)和式(2)得

(3)

(4)

(5)

(6)

其中：P(z)存在的基礎條件是：(a)矩陣P(1)滿足條件E,即1是P(1)的簡單特征值,其他的特征值的模都小于1；(b)存在向量γ0,γ0P(e-ikπ)=δk,0γ0,k=0,1。

定義2 設Φ(x)=[φ1(x),φ2(x),…,φr(x)]T是多尺度函數,P(z)是其對應的兩尺度矩陣符號，且Ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…，ψr(x)]T是對應的多小波,Q(z)是它的兩尺度矩陣符號。若

〈φi(x),φj(x-k)〉=δi,jδ0,k,〈φi(x),ψj(x-k)〉=0,〈ψi(x),ψj(x-k)〉=δ0,kδi,j,

其中：i,j=0,1,…,r-1,則稱Φ(x)是正交的多尺度函數,Ψ(x)是對應的正交多小波。它們的兩尺度矩陣符號滿足

(7)

根據兩尺度矩陣序列{Pk}定義Band-Toeplitz矩陣L

定義3 稱正交多尺度函數Φ(x)是平衡的,如果LTμ0=μ0(低通合成算子LT能保持μ0信號不變),其中：μ0=[…,1,1,1,1,1,…]T。

引理1[1]假設正交多尺度Φ(x)是平衡的,則B1,B2,B3是等價的：

定義4 設Q(z)是正交多小波Ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…，ψr(x)]T的兩尺度矩陣符號,稱Ψ(x)是n階Armlet多小波,(1-z)n|Hi(z),i=1,2,…,r,其中相位矩陣

[H1(z),H2(z),…,Hr(z)]T=Q(zr)[1,z,…,zr-1]T。

1 特殊多尺度函數和Armlet多小波

根據引理3知,若Φ(x)是m逼近階的正交非平衡,則通過PTST可以平衡Φ(x)。

[1,1,…,1]M=kα或MT[1,1,…,1]T=kαT,

(8)

(9)

引理5[1]設Φ(x)=[φ1(x),φ2(x),…，φr(x)]T是多尺度函數,P(z)是兩尺度矩陣符號。Ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…，ψr(x)]T是對應的多小波,Q(z)是兩尺度矩陣符號。假設0是Q(1)的一個特征值,相應的特征向量是γ=[γ1,γ2,…,γr]T,數字矩陣M是r×r的正交矩陣,且MT[1,1,…,1]T=λγ,構造PTST(仿酉兩尺度相似變換)：

(10)

相應的兩尺度符號是

(11)

從引理5中知道構造Armlet多小波PTST時需要正交矩陣M,而由引理3知道通過PTST平衡Φ(x)需要變換矩陣M0?，F在需要得到對應的Armlet多小波,就要滿足引理3與引理5中的變換矩陣是相同的。

引理6 設φ1(x)是正交單尺度,而ψ1(x)是對應的單小波,則有p1(ω),q1(ω),p2(ω),q2(ω)：

(1)s(ω)h(ω)≠0,(2)s(ω),h(ω) 是以π為周期的函數,(3)|s(ω)|2+|h(ω)|2=1,定義

那么P(ω),Q(ω)分別生成了正交的2重多尺度函數與多小波。

對重數r=2n為偶數的情形,分別是

根據引理4的條件討論。設S=diag(1,…,1,-1,…,-1),1與-1個數都是n的情形,

(12)

(13)

2 構造算例

例1 基于文獻[11]的例子。

設Φ(x)=[φ1(x),φ2(x)]T,Ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x)]T,構造

由于

則Φ(x)不是平衡的,且Ψ(x)也不是Armlet。取

則