一種新型異形橢圓隧道橫斷面的性質及優化設計

武 周 虎

(青島理工大學 環境與市政工程學院，山東 青島 266033)

0 引 言

隨著國內外交通基礎設施的快速發展，各種隧道工程建設的規模和數量日益增大。由于缺乏合適的已知曲線方程，現行隧道橫斷面的內輪廓線除采用單心圓(含橢圓)外，主要由三心圓[1]、四心圓[2]、五心圓[3]等多圓弧拼接而成，還有直壁邊墻，既有尖拱，也有坦拱，隧道內輪廓線形狀及尺寸可謂種類繁多[4-6]。對于不同的圍巖穩定性和山巖壓力條件，要使結構支撐的作用力最小，隧道橫斷面的最佳寬高比應等于地應力比值的平方根[7]；對于公路隧道，還需要根據道路等級、車道數、車型、車速、單/雙向行駛等條件確定建筑限界范圍，進行隧道橫斷面形狀、開挖、結構和襯砌施工等設計[8,9]。

由于圍巖的介質材料和初始地應力場等邊界條件是不能改變的客觀存在，所以在設計過程中，可通過改變施工步序、支護手段、襯砌參數，及調整洞室斷面的幾何形狀及尺寸等措施，來改善圍巖應力分布，確保圍巖穩定。隧道橫斷面形狀設計方案不是唯一的，有許多方案可供選擇，這就有個優化問題[10]。要科學合理確定各個圓心的位置、半徑和圓心角，將建筑限界完全包容在內輪廓線內，使幾段圓弧畫出來的閉合誤差最小，且繪圖與優化設計快捷、方便，目前尚缺乏設計與建造的統一標準。僅以四心圓隧道橫斷面的內輪廓線為例，就有半徑r1、r2、r3和圓心角φ1、φ2或切點高度h1、h2共5個獨立變量[11]；各種類型隧道橫斷面幾何形狀和尺寸的優化設計方法更是繁多復雜[12,13]。由多圓弧或直線段拼接而成的隧道橫斷面內輪廓線，連接點(切點)處雖然能滿足曲線的連續光滑，但其1階導數不光滑，2階導數不連續，出現曲率突變現象，受力條件變差[14]。尋求一種科學合理的隧道內輪廓線方程是解決這個問題的根本途徑。

筆者基于寬闊河流中心穩定點源條件下的保守物質等濃度線方程，以隧道橫斷面內輪廓線的最大高度和最大寬度為參數，定義了一種新型Wu’s曲線——異形橢圓，給出了異形橢圓的標準方程；分析了異形橢圓橫斷面的幾何性質及分類，提出了異形橢圓隧道橫斷面的優化設計方法。研究結果可為異形橢圓隧道橫斷面設計提供理論支持。

1 異形橢圓方程的由來與標準化

1.1 異形橢圓方程由來

在寬闊河流中心穩定點源條件下，保守物質平面二維對流擴散簡化方程的濃度C(x,y)分布如式(1)[15]：

(1)

式中：x為自排放口沿河流流向的縱向坐標；y為垂直于x軸的橫向坐標，坐標原點取在河流中心排放點；d為河流的平均水深；U為河流的平均流速；m為單位時間保守物質的排放質量；Ey為橫向擴散系數。

武周虎等[16]在保守物質濃度C(x,y)=Ca(常數)條件下，對式(1)進行了數學推演，給出了等濃度線所包圍圖形的最大長度Ls、最大半寬度bs和最大半寬度對應的縱向坐標Lc分別為：

(2)

(3)

(4)

式中：e為數學常數，e≈2.718；其它符號同前。

令式(1)中濃度C(x,y)=Ca，將分母根號下的縱向坐標x除以Ls，得到歸一化縱向坐標(x/Ls)，再乘以式(2)等號右邊的縱向最大長度表達式；對式(1)中exp()的橫向坐標y除以bs得到歸一化橫向坐標(y/bs)，再乘以式(3)右邊的橫向最大半寬度表達式。整理得到保守物質歸一化等濃度線(Wu’s曲線)方程[17,18]：

(5)

式(5)反映的是一種由最大長度和最大半寬度所表示的二參數曲線，近似于橢圓形狀，但只有單對稱軸x。筆者將其定義為“異形橢圓”。該曲線來源于保守物質平面二維對流擴散簡化方程求解出來的濃度分布等值線，根據動量、熱量和質量傳遞的相似性原理，可以推斷應力與質量擴散之間也存在相似性關系。因此，該曲線極具研究價值。

1.2 標準方程及幾何特征分析

將式(5)中的對稱軸縱向坐標x改用對稱軸縱向坐標z表示，坐標原點設在隧道橫斷面內輪廓線底部中點處。定義異形橢圓對稱軸縱向坐標z向上的最大高度為H=Ls，表示隧道橫斷面高度；非對稱軸橫向坐標y方向的最大寬度為W=2bs，表示隧道橫斷面寬度。則，有異形橢圓隧道橫斷面內輪廓線的標準方程：

(6)

表1及圖1分別為異形橢圓式(6)與青島膠州灣海底隧道(單向3車道)橫斷面[2]及某高速公路隧道(單向2車道)橫斷面[5]的參數及內輪廓線對比。

表1 異形橢圓與隧道內輪廓線特性參數Table 1 Characteristic parameters of heteromorphic ellipse and tunnel inner outline

圖1 異形橢圓與隧道橫斷面內輪廓線(單位：cm)Fig. 1 Heteromorphic ellipse and inner outline of tunnel cross-section

由表1及圖1可以看出：

1)異形橢圓與青島膠州灣海底隧道四心圓橫斷面內輪廓線吻合較好，主要差別出現在隧道橫斷面的仰拱部位。異形橢圓的仰拱更加平坦，橫斷面最大寬度相應的縱向位置坐標zw下移，有利于建筑限界的整體布置下移，可以減少路基底下的回填工程量。

2)異形橢圓與某高速公路隧道三心圓橫斷面內輪廓線吻合較好，主要差別出現在隧道橫斷面的拱腳部位。

鑒于異形橢圓與三心圓、四心圓隧道橫斷面內輪廓線吻合較好，筆者創造性提出異形橢圓(即Wu’s曲線)隧道橫斷面內輪廓線形狀。

2 異形橢圓的幾何性質

2.1 面 積

將式(6)等號兩邊開平方根，再同乘以W。由于異形橢圓的單軸對稱性，在z∈[0，H]區間上對2y(z)求定積分，則，異形橢圓面積S按式(7)計算：

(7)

進行變量替換，令z/H=ζ，積分上限變為1，則有

(8)

可見，異形橢圓面積等于異形橢圓面積系數、高度和寬度的乘積。

(9)

(10)

2.2 形心坐標

形心即異形橢圓的幾何中心。對于密度均勻的實物體，形心與質心重合。對于只有單對稱軸的異形橢圓，形心一定在其對稱軸上，但需要通過對非對稱軸面積矩的計算來確定具體位置。根據總面積矩等于各分面積矩之和的原理，有：

(11)

(12)

(13)

因此，異形橢圓的形心位于對稱軸上相對高度坐標z′c=zc/H≈0.465處，該處的高度低于中位線(即異形橢圓半高度)的7.05%。

2.3 壓縮系數θ及形狀分類

圖2 不同壓縮系數θ的異形橢圓Fig. 2 Heteromorphic ellipse with different compression coefficient θ

由圖2可以看出，當壓縮系數θ由小到大變化時，異形橢圓的形狀由高瘦向寬胖變化，更像一個自然圖形，如：圖2(a)形似玉米棒，圖2(d)形似面包形狀，而圖2(b)、(c)形似梨、桃、蘋果等形狀。由此得到，壓縮系數θ可以反映異形橢圓的形狀變化特征。因此，可按壓縮系數θ對異形橢圓形狀進行分類，如表2。

表2 基于壓縮系數θ的異形橢圓形狀分類Table 2 Shape classification of heteromorphic ellipse based on compression coefficient θ

2.4 周 長

根據高等數學平面曲線弧長的積分定義，異形橢圓的周長L積分式為：

(14)

對式(6)兩邊求導，整理得到：

(15)

令ζ=z/H，且θ=W/H，將式(15)代入式(14)，得：

(16)

式中：Th為異形橢圓系數。

參照橢圓的周長定理，由式(16)定義異形橢圓的周長定理：異形橢圓的周長L等于異形橢圓系數Th與異形橢圓半寬度W/2和半高度H/2之和的乘積。

由異形橢圓系數的表達式可以看出，異形橢圓系數Th只是壓縮系數θ的函數。在[0.01，100]區間上給定一系列θ值，采用數值積分方法，對異形橢圓系數進行數值積分運算，得到一系列相應的Th或θ值，從而可得異形橢圓系數與壓縮系數的關系曲線。圖3為在相同條件下異形橢圓系數及橢圓系數(摘自數學手冊)與壓縮系數θ的關系曲線。

圖3 異形橢圓系數Th及橢圓系數T與壓縮系數θ的關系曲線Fig. 3 Relation curves of heteromorphic elliptic coefficient Th,elliptic coefficient T and compression coefficient θ

由圖3可以看出：

1)橢圓系數T關于對數坐標壓縮系數θ=1左右對稱，即在寬高比與高寬比相等條件下，橢圓系數相等。

2)在壓縮系數θ相同的條件下，異形橢圓系數Th與橢圓系數T存在以下3種關系：①Th>T；②當2種橢圓的θ→ 1時，Th與T的相對差值較大；③當2種橢圓的θ< 0.1或θ> 10時，Th與T的相對差值較小。

3)θ=1時，異形橢圓為標準型，異形橢圓系數Th=3.191 244，橢圓系數T=π，Th比T大1.58%；標準型異形橢圓的面積系數μ異形橢圓/Th=0.249 227，該值僅比圓的面積系數μ圓/π小-0.31%，說明標準型異形橢圓具有周長一定條件下面積近似最大的特點。

4)一個有趣的現象是：異形橢圓系數的最小值Th,min=3.190 820出現在壓縮系數θ=1.05處，而不是在θ=1處。當θ< 1.05時，Th隨著θ的增大而單調下降；θ>1.05時，Th隨著θ的增大單調上升。

2.5 曲率半徑ρ

曲率表示曲線在某一點的彎曲程度，曲率越大，曲線的彎曲程度越大。曲率的倒數為曲率半徑，異形橢圓的曲率半徑ρ與其形狀(壓縮系數θ)和尺寸大小密切相關。在θ相同條件下，異形橢圓尺寸越大，曲線上相應點的ρ越大，曲線的彎曲程度越小。

(17)

(18)

(19)

曲率半徑公式如式(20)：

(20)

考慮到異形橢圓的單軸對稱性，繪制出半邊y、y′、y″及ρ曲線進行分析，如圖4。

圖4 單位標準型異形橢圓半邊y、y′、y″和 ρ曲線 Fig. 4 Half curves of unit standard-type heteromorphic ellipse y, y′, y″ and ρ

由圖4可以看出：

1)在(0，1)區間上，單位標準型異形橢圓y=f(z)存在1階、2階連續導數，表明異形橢圓和1階導數曲線均為光滑曲線。

2)在[0，1]區間上，單位標準型異形橢圓的ρ是連續變化的，ρ隨著z變化的函數曲線呈“2”字形變化，即：當z→0時，ρ→∞；隨著z的逐漸增大，ρ迅速減小，當z=0.0427時，ρ達到極小值ρmin=0.248 2；隨后，隨著z的增大，ρ逐漸增大，當z=0.677 9時，ρ達到極大值ρmax=1.645 7；之后，隨著z的增大，ρ再次減小，當z=1.000 0時，ρ=0.339 8。

3)需要注意的是，在異形橢圓壓縮系數θ和尺寸大小不同的情況下，曲率半徑ρ隨著z變化的函數曲線仍然具有“2”字形變化規律，只是ρ的數值和極值點位置發生了改變。

3 異形橢圓橫斷面的優化設計方法

3.1 建筑限界控制點幾何關系

在JTG D 70—2004《公路隧道設計規范》的單向公路隧道建筑限界與控制點詳圖中，添加坐標系和各控制點編號，取隧道中線與異形橢圓對稱軸z重合，車道中線上路面點坐標(z0，y0)，如圖5，圖中：H0為建筑限界高度；W0為行車道寬度；H1為檢修道或人行道空間高度；H2為建筑限界頂角下緣高度；LL、LR為左、右側向寬度；C為余寬；J(R)為檢修道(人行道)寬度；h為檢修道或人行道的高度；EL、ER為建筑限界左、右頂角寬度；i為隧道路面橫坡；hw為通風機、內裝設備等安裝所需的隧道中線最小高度。

在圖5中隧道橫斷面建筑限界各控制點編號k=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，n；控制點數n=9。當自然通風量可以滿足隧道通風需要時，可不設Ⅸ號控制點，此時控制點數n=8。

圖5 建筑限界與控制點Fig. 5 Construction clearance and control point

3.2 建筑限界控制點坐標表達式

根據圖5中隧道建筑限界控制點的幾何關系，可推算得到各控制點的坐標表達式，見表3。

轉化運作機制還沒有有效形成 目前，學校雖然制定了科技成果轉化、專利的管理辦法，提出科技成果轉化實施中，學校和課題組的股份或收益分配比例基本為30:70，但是就目前來看，對科技成果價值進行評估這方面的辦法確實存在缺陷。對科技成果價值評估本身的難度很大，評估低了會涉及國有資產流失，評估高了會沒有市場。在科技成果轉化過程中，科技成果價值評估可以說是一個非常重要且關鍵的問題，同時是進行有效轉化的必要環節。然而關于科技成果價值評估辦法，不是隨便就可以制定的，而是需要由國有資產管理、計財以及科技等部門來聯合進行制定。

表3 建筑限界控制點坐標表達式Table 3 Coordinate expression of construction clearance control points

由表3可以看出，建筑限界各控制點的縱向坐標z和橫向坐標y表達式為車道中線上路面點坐標(z0，y0)和幾何尺寸的函數。前者路面中線點的坐標由優化計算確定，后者建筑限界的各幾何尺寸由道路等級、車道數、車型、車速、單雙向行駛等設計條件，根據JTG D 70—2004《公路隧道設計規范》的要求確定。

3.3 約束條件與目標函數

由式(6)變形得到異形橢圓的顯函數方程：

(21)

為了達到建筑限界的任何點均在異形橢圓之內的設計要求，異形橢圓至少應將建筑限界完全包容在內，即異形橢圓必須套進隧道橫斷面建筑限界各控制點。圖6為異形橢圓與建筑限界對應控制點示意。

圖6 異形橢圓與建筑限界對應控制點示意Fig. 6 Control points corresponding to heteromorphic ellipse and construction clearance

圖6中，在縱向坐標z相同的條件下，異形橢圓上與建筑限界對應的控制點編號依次為k′=Ⅰ′、Ⅱ′、…、Ⅸ′)。要達到隧道洞室凈空面積最小的目標，就應該使得滿足建筑限界的異形橢圓面積最小。

目標函數是評價設計方案好壞的標準。一般而言，目標函數可以表示為問題變量的解析表達式。目標函數可以是一個，也可以是多個，但應盡量使目標函數的數目少一些。對異形橢圓隧道橫斷面內輪廓線進行優化，可選擇滿足約束條件的單目標函數優化算法，其約束條件和目標函數的確定如下：

設異形橢圓與建筑限界各對應控制點的水平距離為dk，為確保異形橢圓上對應控制點在建筑限界控制點之外或重合，要求dk≥ 0，即

dk=|f(zk)|-|yk|≥0，(k=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…，n)

(22)

以隧道洞室凈空面積最小為目標，根據異形橢圓的面積式(8)，可得到目標函數

S=min(μWH)=μmin(WH)

(23)

3.4 優化計算

異形橢圓隧道橫斷面的優化計算分為3種情形：①控制點數n=9；②控制點數n=8或9，給定隧道橫斷面寬高比W/H，即異形橢圓的壓縮系數θ；③控制點數n=8，給定最大寬度W或最大高度H限定值。針對這3種情形，在對應的給定條件下，同時滿足約束條件式(22)，采用目標函數優化算法——傳統優化算法或智能優化算法進行異形橢圓隧道設計，設計步驟如下：

2)運行單目標函數優化算法程序(如MATLAB數學實驗室)進行優化計算。

3)根據優化計算結果，即目標函數式(23)的最小值，給出異形橢圓隧道橫斷面的寬度W和高度H及車道中線上路面點坐標(z0，y0)。

4 設計實例

某雙向四車道高速公路穿山隧道工程，采用分離式獨立雙洞設計方案，設計時速80 km/h[5]。隧道單洞右幅行車道的建筑限界形狀如圖5，限界尺寸為：H0=500 cm，W0=750 cm，H1=250 cm，H2=400 cm，LL=50 cm，LR=75 cm，C=25cm，J(R)=50 cm，h=35 cm，EL=50 cm，ER=75 cm，i=0.015，hw=200 cm。建筑限界最大范圍為1 025 cm× 500 cm，考慮通風機、內裝設備等安裝所需的隧道中線最小高度，控制點數n=9。

在設計實例中，異形橢圓隧道橫斷面的優化計算屬于3.4優化計算中的情形①，控制點數n=9。

根據表3中控制點坐標表達式進行計算，化簡得到該隧道工程建筑限界控制點坐標和由式(21)計算得出的異形橢圓對應控制點坐標函數，如表4。

表4 建筑限界與異形橢圓對應控制點坐標及優化結果Table 4 Coordinate of control point corresponding to the construction clearance and heteromorphic ellipse and optimization results

在表4中，取隧道三心圓橫斷面[5]的最大寬度和最大高度作為異形橢圓優化計算的初始寬度和高度W=1 100 cm和H=825 cm，有z0=143.500 cm，取y0=0，使優化計算的收斂過程更快。

在約束條件式(22)條件下，運行單目標函數優化算法程序，求目標函數式(23)的最小值。經過優化計算和設計參數取整，最后得到滿足約束條件的異形橢圓與建筑限界各對應控制點水平距離ds的優化計算結果見表4(右列)，目標函數最小值為S=728 021 cm2，相應的異形橢圓隧道橫斷面優化設計參數為最大寬度W=1 110 cm和最大高度H=825 cm，車道中線上路面點坐標(z0=121 cm，y0=-17 cm)。

據此繪制滿足設計條件的異形橢圓隧道橫斷面內輪廓線，見圖7，同時繪出三心圓內輪廓線，以進行比較。圖中：r1=550 cm，圓心坐標(x1,y1)=(275，0)，圓心角φ1=2×103°45′24″；r2=120 cm，圓心坐標(x2,y2)=(172.7，±417.7)，圓心角為φ2=61°50′53″的兩段圓??；r3=1 800 cm，圓心坐標(x3,y3)=(1 800，0)，圓心角φ3=2×14°23′43″。

圖7 異形橢圓與三心圓隧道橫斷面(單位:cm)Fig. 7 Tunnel cross-section of heteromorphic ellipse and three centered circle

由圖7和表4中的優化結果可知，單洞右幅行車道建筑限界的主要約束為Ⅰ、Ⅳ和Ⅴ號控制點。在設計參數取整后，建筑限界上這3個控制點外側與異形橢圓對應控制點的水平距離均為1 cm；滿足通風機、內裝設備等安裝所需的隧道中線最小高度的Ⅸ號控制點在z軸上zⅨ=821 cm處，即Ⅸ號控制點頂部與異形橢圓最高點的垂直距離為4 cm?？傮w來看，經過優化計算所得到的異形橢圓與建筑限界的符合程度高。

將異形橢圓與三心圓隧道橫斷面進行對比發現：

1)與三心圓相比，異形橢圓橫斷面內輪廓線的寬度增大10 cm，面積減小12 414 cm2(三心圓面積為740 435 cm2)，高度相同。表明，異形橢圓可節省隧道洞室凈空土石方量1.68%。

2)異形橢圓的壓縮系數θ=W/H=1.35，由圖3可得異形橢圓系數Th=3.20，由式(16)可計算得到異形橢圓的周長L=3 096 cm，而三心圓周長為3 156 cm。表明，異形橢圓可節省隧道洞室支護與襯砌施工材料1.90%。

3)異形橢圓的1階、2階連續導數均存在，曲率半徑呈現連續變化規律，而三心圓橫斷面的3個曲率半徑在連接點(切點)出現突變現象，受力條件差。

4)由圖7可以看出，異形橢圓上部與三心圓橫斷面大致吻合，下部克服了三心圓橫斷面的拱腳外凸現象，可節省仰拱開挖和回填工程量。

5)異形橢圓橫斷面只需要2個設計參數，相比三心圓橫斷面需要4個獨立參數，優化設計更加便捷，且易于掌握和誤差控制。

5 結 論

1)基于河流二維對流擴散物質的等濃度線方程，定義了一種新型二參數異形橢圓內輪廓線方程，給出了異形橢圓面積、周長、形心坐標、壓縮系數和曲率半徑的計算公式；對異形橢圓進行了形狀分類：標準型(θ=1)，H型(0<θ<1)，W型(θ>1)。

2)異形橢圓的面積等于異形橢圓面積系數、高度與寬度的乘積；周長等于異形橢圓系數與異形橢圓半高度和半寬度之和的乘積。

3)根據單向公路隧道建筑限界，給出了控制點坐標表達式；按照將建筑限界完全包容在內和隧道洞室凈空面積最小的原則，提出了異形橢圓橫斷面的約束條件、目標函數和優化設計方法。

4)異形橢圓與建筑限界的符合程度高，與三心圓橫斷面相比，異形橢圓具有設計參數少、曲率半徑變化連續、隧道洞室凈空面積小、支護與襯砌周長短、仰拱開挖和回填工程量小等優點。