液驅并聯機構多維力加載系統滑模解耦控制

趙勁松，孫鑫宇，董杰，王春發，徐嘉祥，王志鵬

（1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室，河北秦皇島，066004；2.浙江大學流體動力與機電系統國家重點實驗室，浙江杭州，310027；3.燕山大學機械工程學院，河北秦皇島，066004）

基于Stewart 平臺的液驅并聯機構多維力加載系 統 （electro-hydraulic multi-dimensional force loading system with parallel mechanism， EHMDLPM）具有自由度多、結構緊湊、剛度大和承載能力強的優點[1-2]，因此，它被廣泛應用在機器人、數控機床、醫療器械以及航空航天機械等多個領域[3-4]。EH-MDLPM 各通道間存在耦合力干擾，傳統控制方法難以滿足其動態性能和加載精度要求[5-6]，因此，針對上述問題，研究相應的控制方法具有重要意義。

針對飛行模擬器操縱負荷力加載控制系統不穩定現象，王輝等[7]采用前饋補償和PID 反饋調節相結合的復合控制算法提高系統穩定性，但力加載跟蹤仍存在約8%的相對誤差；王博等[8]采用PID控制及動壓反饋控制將正交并聯六自由度力控系統加載誤差降低到1%，然而，該系統存在嚴重輸出力耦合現象；UKIDVE等[9]假設雅可比矩陣恒定不變，利用此性質設計出具有容錯能力的并聯機構，提高其運動精度且實現工作范圍局部解耦；YANG 等[10]利用3 個RPRS 支腿支撐運動平臺，其他支腿關節軸垂直基面且相互平行，實現并聯機構工作范圍全域解耦，但該機構結構復雜且搭建困難；趙春紅等[11]提出二階滑模控制器，抑制外界波形干擾，提高驅動液壓缸活塞運動軌跡的輸出精度與控制系統的穩定性；張達等[12]提出自適應滑?？刂破鳎行Ч烙嫴⒖朔?-UPS/PU 并聯機構關節摩擦干擾，消除驅動的抖振現象，提高系統控制精度與動態品質；劉希等[13]提出自適應反演滑?？刂破鳎瑢崿F并聯運動平臺支鏈電液伺服運動快速、穩定和高精度位置控制，且對系統的外加干擾具有很強的魯棒性；黃道敏等[14]提出分數階積分滑?？刂破?，提高六自由度水下機械手系統收斂的快速性與抗干擾能力?？紤]到并聯機構的結構固有屬性、柔性負載引起的耦合影響和力控系統解耦的復雜性，將滑?？刂朴糜贓H-MDLPM中進一步研究。

本研究以降低EH-MDLPM 耦合力為目的，建立其模型，分析其耦合機理，并采用改進的滑?？刂破魈岣呦到y控制性能?；贚yapunov 定理分析該控制方法的穩定性。通過實驗，驗證改進滑模控制方法在參數時變系統中的有效性，為EHMDLPM解耦提供了一種有效控制方法。

1 系統建模

圖1 所示為Stewart 平臺結構簡圖。由圖1 可見：多維力加載系統采用Stewart平臺為基礎結構，上平臺通過胡克鉸，活塞桿以及液壓缸筒連接下平臺。以上平臺中心為坐標原點，建立與上平臺固連的動坐標系OP- XPYPZP，當上平臺至運動中心位置時，動坐標系重合于慣性坐標系O-XYZ，Ai為第i 個上鉸點在動坐標系中的坐標矢量，Bi為第i個下鉸點在慣性坐標系中的坐標矢量。工作時，活塞桿伸縮，輸出力和位移，通過胡克鉸將力和位移傳遞到上平臺，實現上平臺廣義空間六自由度力加載。

1.1 動力學建模

EH-MDLPM動力學建模如下[15]。

Stewart平臺的運動學反解矩陣方程為

式中：l 為6 個液壓缸的位置矩陣；A 為上平臺各鉸點在動坐標系下的位置矩陣；B為下平臺各鉸點在慣性坐標系下的位置矩陣；C為上平臺中心在慣性坐標系下的位置矩陣；R為動坐標系與慣性坐標系之間旋轉變換矩陣。

工作空間中EH-MDLPM動力學模型為

式中：Mq（q）為自由度空間廣義質量矩陣；Gq（q）為自由度空間重力項矩陣；Kq為彈性負載在工作空間的剛度矩陣；q 為上平臺的廣義位移；為上平臺的廣義加速度；J為廣義速度與缸伸縮速度的雅可比矩陣；Fa為各支腿輸出的力矢量。

關節空間中EH-MDLPM動力學方程為

根據上述建模可建立多維力加載系統并聯機構的動力學框圖，如圖2所示，表示各支腿液壓缸輸出力克服重力、彈性力及其慣性力從而產生位移。

圖2 多維力加載系統并聯機構的動力學框圖Fig.2 Dynamic diagram of parallel mechanism of multi-dimensional loading system

1.2 液壓動力元件建模

EH-MDLPM 采用非對稱液壓缸作為執行機構進行力加載，閥控非對稱液壓缸原理圖如圖3 所示，圖3中p1為活塞桿無桿腔壓力；A1為活塞桿無桿腔面積；q1為活塞桿無桿腔流量；p2為活塞桿有桿腔壓力；A2為活塞桿有桿腔面積；q2為活塞桿有桿腔流量；ps為進油壓力；p0為出油壓力。

圖3 閥控非對稱液壓缸原理圖Fig.3 Schematic diagram of valve controlled asymmetric cylinder

液壓動力元件建模分為閥的流量方程、液壓缸流量方程以及力平衡方程[16]。

伺服閥流量方程為

式中：qL為負載流量；xv為伺服閥閥芯位移；pL為負載壓力；Kq為伺服閥的流量增益；Kc為伺服閥的流量-壓力系數。

非對稱液壓缸流量方程為

式中：Cta為系統泄漏系數；Ctc為油缸總泄漏系數；Vt為液壓缸有效容積；βe為液壓油體積彈性模量；p˙L為負載壓力變化率；xp為活塞桿位移；x˙p為活塞桿速度。

非對稱液壓缸負載力平衡方程為

式中：m 為負載與活塞桿折算到活塞上的總質量；Bp為負載與活塞桿的黏性阻尼系數；FL為活塞桿上的外負載力；x¨p為活塞桿加速度。

對式（4）~（6）進行拉氏變換，得

根據式（7）建立單通道伺服閥控非對稱液壓缸的方框圖，如圖4 所示，圖4中，Kce為總流量-壓力系數，其中，Kce=Ctc+Kc。由圖4可見：空載流量部分用于活塞運動消耗，剩余的流量在壓縮和泄漏的作用下產生負載壓力，進而作用于活塞面積上，驅動外部負載。

圖4 閥控非對稱液壓缸方框圖Fig.4 Block scheme of valve control asymmetric hydraulic cylinder

1.3 系統整體建模

EH-MDLPM 上平臺與伺服閥控非對稱液壓缸活塞桿可視為剛性連接，并且Ml和Gl中分別包括上平臺與活塞桿映射至關節空間中的質量項與重力項，因此，力平衡方程可重新寫為

高頻響伺服閥在0.5 Hz 以內的低頻段工作時，控制信號與伺服閥閥芯位移的傳遞關系可視為比例環節，表示為

式中：u 為伺服閥驅動電信號；Ka為伺服閥放大系數。

由式（8）可知：6套閥控非對稱液壓缸的輸出力組成的力矢量即為EH-MDLPM動力學模型的輸入力矢量。因此，結合圖2 和圖4，即可得到EHMDLPM在關節空間中的整體力控模型，如圖5所示，其中6個通道采用規格型號相同的伺服閥與非對稱液壓缸，具有相等的性能參數，被視為常數項的CtaPs與干擾項的Gl（l）沒有加入方框圖中。

2 系統耦合分析

根據式（7）可以得到閥控非對稱液壓缸輸出力為

式中：I為單位矩陣。

結合式（8）~（10）可得，在各位姿下閥控非對稱液壓缸輸出力Fa為

式中：G1（s）為驅動信號到閥控非對稱液壓缸輸出力的傳遞函數。

由式（11）可知：映射至關節空間的質量矩陣和剛度矩陣為非對角陣，在進行多維力加載過程中第i 通道的控制信號會影響第j（ j ≠i）通道的輸出力，因此，EH-MDLPM存在動力學耦合。

結合關節空間單通道力閉環P控制，系統的閉環傳遞函數可表示為

式中：Kp為控制器矩陣；Fd為各支腿指令的力矢量。

圖5 液驅并聯機構多維力加載系統模型Fig.5 Model of electro-hydraulic multi-dimensional force loading system with parallel mechanism

由式（12）可知，Ml與Kl均不是對角陣，在自由度空間中，由輸出力Fa到輸入指令Fd的傳遞函數矩陣中系數項不是對角陣。因此，在進行多維力加載時，各通道之間存在嚴重的輸出力耦合現象[17]。

3 滑?？刂聘倪M及其穩定性分析

3.1 名義模型計算

為了進行多維力加載系統的滑?？刂破髟O計，首先需知其名義模型，名義模型所需的有關參數如表1所示。

EH-MDLPM 上平臺和閥控非對稱液壓缸映射至關節空間中的實際質量矩陣與彈性負載映射至關節空間中的實際剛度矩陣不能準確獲得，但EHMDLPM 各部分的方程形式是相同的。式（3）所表達的機理模型中實際質量陣M1和實際剛度陣Kl與二者各自對應的名義質量陣M*l和名義剛度陣K*l并不相同，但其相應的各元素數值大致接近，用M*l和K*l對系統傳遞函數分子項補償，并作為滑?？刂破髟O計的名義模型，從而降低設計難度，并起到濾波作用。因此，把系統Fa與v的傳遞函數簡化為

表1 多維力加載系統名義模型參數Table 1 Nominal model of multi-dimensional force loading system

式中：v 為整體模型（分子項補償前和補償后）驅動信號。式（13）可進一步簡化為

其中：M*l為上平臺和活塞桿映射至關節空間中的名義質量矩陣；K*l為彈性負載映射至關節空間的名義剛度矩陣；K*ce為名義總流量-壓力系數；K*q為伺服閥的名義流量增益；Δ（Ml）為關節空間的實際質量矩陣與名義質量矩陣的誤差；Δ（Kl）為關節空間的實際剛度矩陣與名義剛度矩陣的誤差；Δδ 為實際矩陣取逆與矩陣誤差的乘積。

Δδ有界，假設Δδ ≤α，式中：α為常數矩陣。

定義

將式（16）代入式（14），式（14）可以重新寫為

根據式（17）進行滑?？刂破髟O計。與式（17）方程形式相似，加入分子項補償的理論模型為

其中，A3，A2，A1和A0分別為通過實驗得到的實際值。

EH-MDLPM 是三階單輸入單輸出的非線性系統，結合文獻[18-19]設計滑?？刂破?。第i個通道的滑模控制器設計過程如下所示。結合式（18），定義

式中：Anii（i = 0，1，2，3）為An的各對角元素。

3.2 控制器設計

第i個通道力跟蹤誤差ei為

式中：Fai為第i通道的輸出力矢量；Fdi為第i通道的指令力矢量。

定義第i個通道滑模面為

根據線性化反饋技術，結合所設計的名義模型和滑模面，第i個通道滑?？刂坡煽稍O計為

其中，

結合式（18），（20）和（26），第i 個通道滑模控制律為

式中：sgn（s0i）為第i個通道滑模面的符號函數。

由式（29）可知，增大切換增益ρi導致伺服閥電信號的抖振增大。

3.3 穩定性分析

根據式（21）可得

當名義模型與實際模型的輸出力相等時，將式（29）和（30）代入式（17）可得到如下關系式：

將式（32）代入式（31），可得

其中：

令

由式（34）可知，ΔA3ii，ΔA2ii，ΔA1ii和ΔA0ii均為有界的建模誤差；Δvi為第i個通道滑?？刂坡傻慕Ｕ`差，可得建模誤差Δχi（t）有界。由于輸出力的導數與輸出力頻率有關，因此，增大輸出力的頻率會導致Δχi（t）數值增大。

設Lyapunov函數為

結合式（36）和式（37）可得，Lyapunov 函數的一階導數為成立。

從改進的滑?？刂品€定性條件可知，當切換增益ρi大于不確定邊界時，滑?？刂破鞯目刂坡蓈i可接近滑模面。當vi沿滑模面移動時，si趨于0。此時，c1和c2越大，e越小，從而保證了動態力跟蹤精度。

EH-MDLPM 各力加載通道間存在耦合力，耦合力可以被視為是一種干擾[20]，由式（38）可以看出，滑模控制減輕控制信號的抖動現象，降低干擾的影響，提高動態跟蹤性能。

4 實驗驗證

4.1 實驗方案

液驅并聯機構多維力加載系統由機械結構、液壓系統和控制系統3部分組成。機械結構主體采用Stewart 平臺，選取伺服閥控非對稱缸驅動?？刂葡到y采用基于Matlab/xPC Target的快速原型控制技術，其組成如圖6所示，上位機和下位機分別采用PC 機與工控機。在上位機中采用MATLAB/Simulink 軟件搭建模型與編寫程序并編譯為C 語言，通過網線將上位機中編譯的代碼傳輸至下位機中運行。下位機裝有AD 和DA 板卡，位移傳感器、拉壓力傳感器與六維力傳感器采集的信號經調理輸入到AD 板卡，DA 板卡輸出信號經調理至伺服閥，形成閉環系統，且上位機實時監控系統運行狀態。

4.2 實驗結果

4.2.1 PI控制

在PI 控制作用下，當向Fx和Fy自由度力加載通道方向各輸入400 N/0.5 Hz的正弦力信號，向Fz自由度力加載通道方向輸入0 N的力信號，向Rx和Rz自由度力加載通道方向各輸入50 N·m/0.5 Hz 的正弦力矩信號，向Ry自由度力加載通道方向輸入0 N·m的力矩信號時，調整PI控制器參數，使力加載跟蹤性能達到最佳，此時，各自由度方向力加載通道的力加載跟蹤性能曲線如圖7所示。

由圖7可見：在PI控制作用下，其他自由度通道對Fz自由度力加載通道產生范圍為-192~251.8 N的耦合力，其他自由度通道對Ry自由度力加載通道產生范圍為-11.5~14.1 N·m的耦合力矩。Fx自由度力加載通道的力跟蹤曲線存在一定幅值衰減，Rx和Rz自由度力加載通道呈現較大的相位滯后，并且受到其他自由度通道對其產生的耦合力影響，導致Rx自由度力加載通道的力矩跟蹤范圍擴大到-71.8~63.3 N·m，Rz自由度力加載通道的力矩跟蹤范圍值擴大到-48.8~79.7 N·m。因此，EH-MDLPM各自由度存在嚴重的耦合力，并且在動態跟蹤過程中存在幅值衰減和相位滯后現象。

4.2.2 滑?？刂?/p>

在滑模控制作用下，當向Fx和Fy自由度力加載通道方向各輸入400 N/0.5 Hz的正弦力信號，向Fz自由度力加載通道方向輸入0 N的力信號，向Rx和Rz自由度力加載通道方向各輸入50 N·m/0.5 Hz的正弦力矩信號，向Ry自由度力加載通道方向輸入0 N·m的力矩信號時，調整滑模控制器參數，使力加載跟蹤性能達到最佳，此時，各自由度方向力加載通道的力加載跟蹤性能曲線如圖8所示。

由圖8可見：在滑模控制作用下，其他自由度通道對Fz自由度力加載通道產生范圍為-32.3~27.7 N的耦合力，其他自由度通道對Ry自由度力加載通道產生范圍為-3.8~4.9 N·m 的耦合力矩。與PI 控制器相比，Fz自由度力加載通道的耦合力范圍縮小86.5%，Ry自由度力加載通道的耦合力矩范圍縮小66%，Fx自由度力加載通道的力跟蹤曲線幅值衰減得到改善，Fy自由度力加載通道的動態跟蹤性能得到提高，Rx和Rz自由度加載通道的力矩跟蹤曲線相位滯后得到改善，受到其他自由度通道對其產生的耦合力影響減小。

通過以上多維力加載實驗可知，在滑?？刂破飨翬H-MDLPM的耦合力降低，耦合力干擾受到抑制，從而實現解耦，并且動態跟蹤性能得到提高。

圖6 實驗方案Fig.6 Experimental scheme

圖7 PI控制各自由度力加載通道跟蹤曲線Fig.7 Tracking curve of each force loading channel by PI control

圖8 滑?？刂聘髁虞d通道跟蹤曲線Fig.8 Tracking curve of each force loading channel by sliding mode control

5 結論

1）提出了一種改進的滑?？刂扑惴?，該算法有效降低了系統參數時變與模型攝動對EHMDLPM控制精度的影響。

2）建立了機構動力學模型，系統廣義質量和廣義剛度為非對角陣是導致EH-MDLPM各通道間輸出力耦合的主要因素。

3）通過Lyapunov 理論分析了改進的滑?？刂平Y構的穩定性，與切換增益、機構參數、液壓缸參數及伺服閥參數相關的穩定條件，即ρi>|Δχ A3ii|。

4）與PI 控制相比，改進的滑?？刂岂詈狭p小了86.5%，耦合力矩減小了66%，提高了系統動態響應速度與輸出精度。