第一個重要極限的為什么重要

陸軍步兵學院基礎部數學教研室 江西 南昌 330100

一、引言

將高等數學[1]與文獻[5]進行比較,不難發現兩者關于此內容首先在編輯上不一樣,前者關于此極限出現于第一章第六節,置于無窮小的比較之前,而文獻[5]則將該內容編輯于第三章連續函數章節的附錄之中,位于無窮小的比較之后.此外,高等數學中僅有兩種形式的重要極限,而文獻[5]中將其他幾種極限統稱為“幾個重要極限”.根據現有掌握的資料來看,“重要極限”的概念出現于我國出版較早的一些數學教材中,而國外相關數學教材則鮮有此概念,由此可以推測“重要極限”的概念應該是基于教學的需要而被提出.

二、證明過程的思考

如果考慮學生的高中數學學習,我們可以通過構造新函數,再應用導數判斷新函數的單調性,進而實現對該不等式的證明.該證明方法初看之下的確存在一定的合理性,相對已有證明也較為簡單,但是此種方法依然忽視了教材的知識體系問題,出現了應用未知概念進行證明的情況.如果離開幾何的幫助僅僅憑借代數領域的初等方法,很難完成對不等式sinx≤x≤tanx的證明.證明的困難不僅僅是技術方法的問題,更多是源于函數f(x)=x與函數g(x)=sinx,h(x)=tanx之間線性函數與非線性函數本質的不同.由于g(x)=sinx,h(x)=tanx的非線性性給三者間大小的比較帶來了極大的困難.這也導致在現有相關證明中三角函數采用的是弧度制而不是角度制,否則會帶來較為繁雜的結果.如果聯系后續微分學知識,其實該極限也體現了在自變量較小變化情況下,用線性函數對非線性函數進行線性表示,從而實現形式和計算的簡化.這也是高等數學為什么要采用幾何證明而非代數證明的原因,當然,從某個角度來看,現有證明不僅較好地體現了數形結合的思想,更重要的是證明過程體現了數學內部不同領域之間的聯系性,體現的數學的整體性.

三、重要極限的重要性

數學,尤其是高等數學不應該僅僅是數學計算的學習,更應該是數學思想以及數學方法的學習和欣賞.對于教材中的編排、概念都需要教師深入思考把握背后的深層次的東西.

致謝

作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見。