基于形狀標記和雙譜分析的圖像形狀特征提取①

郭恒光,李 偉,張 偉,魯華杰

1(海軍航空大學 岸防兵學院,煙臺 264001)

2(海軍航空大學 職業教育中心,煙臺 264001)

不同類型的磨粒,由于磨損類型和形成機理不同,會表現出不同的形態特征,這些形態特征是判斷磨粒所屬類型的重要依據.正常磨粒、球狀磨粒和切削磨粒等類型的磨粒一般在尺寸上和輪廓形態特征上具有鮮明的特點,與其他類型的磨粒區別比較明顯,根據磨粒圖像的形狀特征對這些類型的磨粒進行分類時,識別準確率一般都比較高；而嚴重滑動磨粒、疲勞剝塊和層狀磨粒等類型磨粒的輪廓非常不規則,并且表現出一定的相似性,采用圖像處理技術對這些類型的磨粒進行分類時,對磨粒圖像形狀特征的要求就比較高.因此研究磨粒圖像形狀特征提取方法,對于提高磨粒類型識別的準確率具有重要的意義.

高階統計量是描述隨機過程高階統計特性的一種數學工具,包括高階矩、高階累計量以及它們的傅里葉變換——高階矩譜和高階累計譜,高階累計譜簡稱高階譜.最常用的高階譜是三階譜和四階譜,通常稱為雙譜和三譜.Chandran 等[1]在1993年根據高階譜,定義了一系列具有旋轉和尺度不變性質的特征參數,用于一維信號模式識別.自1997年,Chandran[2]首次將高階譜分析推廣到二維圖像和物體識別領域,近年來在這些領域得到了成功應用,例如聲納圖像中海礦識別[3],電子顯微鏡圖像中病毒識別[4]和熱成像中乳腺癌檢測[5].文獻[1-5]中都是采用Radon 變換將圖像映射到一組一維投影,對一維信號進行雙譜分析.

圖像識別中的形狀信息一般更多的包含在圖像的相位而不是幅度之中.普通的傅里葉變換,其幅度特征丟失了圖像的全部相位,與之相比,雙譜保留了除線性相位之外的全部信號信息.雙譜分析通過對含高斯噪聲序列的雙譜估計,重構頻域的幅度與相位,理論上可以完全去除獨立的高斯噪聲.在此基礎上本文提出了基于形狀標記和雙譜分析的形狀特征提取方法,采用形狀標記得到圖像的一維信號表示,然后對形狀標記進行雙譜分析,在雙譜域提取雙譜不變量特征作為圖像的形狀特征.

1 雙譜的定義

高于二階的累積量,通常稱為高階統計量,它們的多維傅里葉變換稱為多譜.假設累積量ckx(τ1,τ2,···,τk?1)是絕對可求和的[6],即：

則k階譜定義為k階累積量的(k?1)維離散時間傅里葉變換,即：

式中,ω=[ω1,ω2,···,ωk?1]T,τ=[τ1,τ2,···,τk?1]T.

雙譜即三階譜,定義為：

對于一個離散時間能量有限的隨機信號x(t),將雙譜定義為：

式中,X(ω)為 信號x(t)的傅里葉變換.

文獻[5]指出提取雙譜不變量時,歸一化的雙譜要比原始的雙譜效果好,本文在提取雙譜不變量特征時,以歸一化雙譜為基礎,歸一化的雙譜如下式所示：

式中,P(ω)為功率譜.

圖1(a)、圖1(b)和圖1(c)分別為文獻[7]中經過圖像分割之后的3 種典型的嚴重滑動磨粒、疲勞剝塊和層狀磨粒,圖1(d)、圖1(e)和圖1(f)分別為3 種類型磨粒的歸一化雙譜的對數幅值圖.此處計算磨粒圖像的雙譜時,采用Radon 變換的方法將圖像變為一維信號,Radon 變換投影角度為30°.

對比圖1(d)、圖1(e)和圖1(f)可以發現,3 種磨粒圖像的歸一化雙譜幅值峰在雙譜空間中出現的數量、位置以及峰值大小差異明顯,這也說明了根據磨粒圖像的雙譜,提取磨粒的形狀特征,對磨粒進行識別是可行的.

2 基于形狀標記的雙譜分析

形狀標記是將二維圖像形狀邊界或區域用一維函數來表示的一種方法,常用的形狀標記方法有：中心距離函數、面積函數、弦長函數、累積角函數、復坐標函數等.近年來學者提出的形狀標記方法有：最遠點距離函數[8]、拱高半徑復函數[9]、周橫截三角形面積函數[10]等.本文提出的基于形狀標記的雙譜分析方法,首先計算磨粒形狀的形狀標記函數,將二維圖像轉換為一維信號表示,然后對得到的一維信號進行雙譜分析,最后得到磨粒形狀的歸一化雙譜.采用的形狀標記方法有中心距離函數、累積角函數、最遠點距離函數和三角形區域表示,并且計算各形狀標記時進行了歸一化處理.

圖1 磨粒圖像及其歸一化雙譜幅值圖

2.1 中心距離函數

中心距離函數(centroid distance)定義為形狀輪廓點(x(u),y(u))和 形狀質心(xc,yc)之 間的距離CD(u)：

由中心距離函數的定義可以看出,中心距離函數反映了形狀的整體特征,但是對形狀的局部特征描述不足.圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)分別為圖1所示3 種磨粒的中心距離函數曲線,圖2(d)、圖2(e)、圖2(f)分別為3 種磨粒中心距離函數曲線的歸一化雙譜幅值圖.

2.2 累積角函數

形狀輪廓曲線的描述可以通過角函數 φ (s)參數化來實現,定義的是正切線的角度方向.但是角函數不具有連續性,這是因為角度方向被限定在[0,2π]之間,當角度方向大于或小于0 時,角函數具有不連續性.這一問題通過Zahn 和Roskie[11]提出的累積角函數(cumulative angular function)的正規化形式得到了解決.

曲線上一點的累積角定義為從起始點開始的角度的變化量,表示每個點角度變化的總和,因此稱為累積.角度的變化由角函數 φ(s)的導數給出,該導數與曲率k(s)對應.點的累積角函數定義為：

式中,參數s的取值范圍為[0,L],L為曲線的長度.

因此,累積角函數的初始值和終點值分別為CA(0)=0和CA(L)=?2π.累積角函數雖然解決了角函數不連續的問題,但是仍然存在兩個問題,它在終點不連續并且它的值取決于所分析曲線的長度.這些問題通過定義正規函數CA?(t) 來 解決,CA?(t)的定義為：

式中,t的取值范圍為[0,2π],系數L/2π使得角函數正規化.

圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)分別為圖1所示3 種磨粒的累積角函數曲線,圖3(d)、圖3(e)、圖3(f)分別為3 種磨粒的累積角函數曲線的歸一化雙譜幅值圖.

2.3 最遠點距離函數

EL-ghazal 等[8]提出的最遠距離函數方法(farthest point distance),是指對于形狀輪廓上的一點a,在輪廓上找到與其距離最大的點b,則a處的最遠點距離函數值為點a與形狀質心c的距離,加上點a對應的最遠點b與形狀質心c的距離.因此對于形狀輪廓(x(u,y(u)),u=0,1,···,N?1,最遠點距離函數FPD定義為式(10).

圖2 磨粒中心距離函數曲線及其歸一化雙譜幅值圖

圖3 磨粒累積角函數曲線形狀標記及其歸一化雙譜幅值圖

式中,(xfp(u),yfp(u)) 為輪廓點(x(u,y(u))對應的最遠點,(xc,yc)為形狀質心.

最遠點距離函數旨在將輪廓的角點信息和輪廓細節信息加入到中心距離函數中,用于克服中心距離函數對輪廓細節描述不足的缺點.

圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)分別為圖1所示3 種磨粒的最遠點距離函數曲線,圖4(d)、圖4(e)、圖4(f)分別為3 種磨粒最遠點距離函數曲線的歸一化雙譜幅值圖.

圖4 磨粒最遠點距離函數曲線及其歸一化雙譜幅值圖

2.4 三角形區域表示

三角形區域表示(triangle area representation)[12]根據形狀輪廓上的點形成的三角形區域來進行計算,可以用來度量輪廓點處的曲率.對于輪廓上3 個點(x(u?1),y(u?1)),(x(u),y(u)) 和(x(u+1),y(u+1))所構成的三角形區域,其面積TAR(u,k)由下式計算得到：

TAR取正值、負值和零值分別對應凸點、凹點和直線點,表示每一個輪廓點的凹凸性,圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)分別為圖1所示3 種磨粒的三角形區域表示曲線,圖5(d)、圖5(e)、圖5(f)分別為3 種磨粒的三角形區域表示曲線的歸一化雙譜幅值圖.

與根據Radon 變換得到的歸一化幅值圖對比可以發現,根據3 種類型的磨粒形狀標記得到的雙譜幅值圖,雙譜空間中峰出現的數量、位置以及峰值大小表現出的差異更加明顯,因此結合形狀標記和雙譜分析得到的形狀特征區分能力更加有效.

3 基于形狀標記的雙譜分析

3.1 雙譜不變量

雙譜一般為復數,具有幅值和相位,即：

式中,|Bx(ω1,ω2)|和 φB(ω1,ω2)分別為雙譜的幅值和相位.

雙譜具有如下對稱性：

雙譜Bx(ω1,ω2) 的對稱線如圖6所示,有ω1=ω2,2ω1=?ω2,2 ω2=?ω1,ω1=?ω2,ω1=0 和ω2=0.雙譜的定義域根據上述的對稱線被劃分成12 個扇形區域.圖6中的陰影部分表示的三角形區域ω2≥0,ω1≥ω2,ω1+ω2≤π 為雙譜Bx(ω1,ω2) 在 (ω1,ω2)平面內的主域,由式(13)所示的雙譜的對稱性可知,所有扇形區域的雙譜能夠根據主域內的雙譜進行完全的描述.

圖5 磨粒三角形區域表示曲線及其歸一化雙譜幅值圖

圖6 雙譜的對稱區域

根據雙譜的上述性質,如圖7所示在雙譜主域內,計算雙譜不變量,并以雙譜不變量作為磨粒的形狀特征.本文在計算雙譜不變量時,采用兩種方法：一是根據雙譜積分；二是根據雙譜矩.

圖7 雙譜不變量計算區域

根據雙譜積分計算雙譜不變量時,在雙譜主域內,沿特定斜率a的直線,對雙譜值進行積分得到I(a),以雙譜值積分I(a) 的相位φ (a)作為雙譜不變量：

根據雙譜矩計算雙譜不變量時,在雙譜主域內計算歸一化雙譜的(p,q)階矩M(pq),以雙譜矩M(pq)的相位φ (pq)作為雙譜不變量：

3.2 形狀特征提取

本文采用雙譜積分提取磨粒形狀特征時,斜率a的取值為1 /10,2/10,···,1,則根據中心距離函數、累積角函數、最遠點距離函數和三角形區域表示可分別得到10 維形狀特征,分別為：

采用雙譜矩提取磨粒形狀特征時,(p,q)的階數取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)和(2,2).則根據中心距離函數、累積角函數、最遠點距離函數和三角形區域表示可分別得到9 維形狀特征,分別為：

根據以上分析,結合中心距離函數、累積角函數、最遠點距離函數、三角形區域表示和雙譜分析,通過雙譜積分和雙譜矩計算雙譜不變量,以雙譜不變量作為磨粒的形狀特征,共可以得到76 維形狀特征F：

圖8為以直方圖表示的,采用本文方法得到的圖1所示的3 種類型磨粒的形狀特征,直方圖的前40 個分量為結合中心距離函數、累積角函數、最遠點距離函數、三角形區域表示和雙譜分析,通過雙譜積分得到的形狀特征,后36 個分量為通過雙譜矩得到的形狀特征.觀察圖8可以發現,3 種類型的磨粒采用本文方法得到的形狀特征區別明顯,在采用每種形狀標記和雙譜分析得到的形狀特征分量上都表現出了差別.

4 實驗結果與分析

4.1 實驗設計

為了有效評價所提出的形狀特征提取算法的有效性,本文將所提出的算法在形狀識別領域應用廣泛的MPEG-7 CE Shape-1 Part B[13]數據集和Swedish leaf[14]數據集上進行實驗與分析,并與其它方法進行對比.

本文實驗中主要與幾種形狀標記的方法進行比較,參與比較的形狀特征提取方法包括：文獻[5]的方法、文獻[15]的方法和文獻[16]的方法.其中文獻[5]的方法是通過Radon 變換將圖像映射到一組一維投影,然后對一維信號進行雙譜分析得到形狀特征；文獻[15]的方法是根據輪廓的多尺度拱高作為形狀特征；文獻[16]的方法是根據輪廓的多尺度彈性度作為形狀特征.以上3 種方法中,第一種為采用Radon 變換和雙譜分析相結合的方法,后兩種都是多尺度形狀標記的方法.

圖8 基于形狀標記和雙譜分析的磨粒形狀特征

4.2 實驗過程

為了綜合評價各形狀特征提取算法的性能,本文中進行兩組實驗,實驗1 是在原始數據集上進行的,實驗2 是在添加高斯噪聲的數據集上進行的.在實驗2中,為了評價各形狀特征提取算法的抗噪聲干擾能力,在MPEG-7 數據集和Swedish leaf 數據集的每幅圖片上添加均值為0,標準差為σ的高斯噪聲,其中σ的取值由0.1 變化到1.由于文獻[15]的方法、文獻[16]的方法和本文方法都是根據形狀輪廓提取形狀特征,因此對圖像添加噪聲時,是在形狀輪廓的像素上添加高斯噪聲,而文獻[5]的方法是根據形狀區域提取形狀特征,因此對圖像添加高斯噪聲時,是在整幅圖像上添加的.為了便于對各種方法進行比較,根據本文方法和文獻中的方法進行形狀識別時,分類器采用k 近鄰法,用留一法交叉驗證各形狀特征提取方法的性能,以識別準確率作為評價指標.

4.3 實驗結果

實驗1 的結果如表1所示,由表1所示的實驗結果可以看出,在MPEG-7 數據集和Swedish leaf 數據集上,本文方法和兩種多尺度形狀標記的方法識別準確率都比較高,其中文獻[16]方法的識別準確率最高,文獻[5]方法得到識別率最低.

表1 實驗1 的實驗結果

實驗2 所得實驗結果如圖9所示.由圖9(a)和圖9(b)的對比可以看出,隨噪聲水平的增加,各算法識別準確率在MPEG-7 數據集和Swedish leaf 數據集上的變化趨勢大致相同,與文獻[15]的方法和文獻[16]的方法相比,本文方法和文獻[5]的方法隨噪聲水平的增加,識別準確率的變化相對較小.

圖9 實驗2 的實驗結果

4.4 結果分析

由以上兩個實驗看出,在文獻[5]方法的基礎上,本文利用形狀標記方法將二維圖像轉換成一維信號,然后對其進行雙譜分析,以雙譜不變量作為形狀特征,可以提高雙譜分析用于形狀識別時的識別準確率,同時與基于形狀標記的形狀特征提取算法相比,可以顯著提高對噪聲的抗干擾能力.

5 總結

本文結合形狀標記和雙譜分析用于提取圖像的形狀特征.首先采用4 種形狀標記方法：中心距離函數、累積角函數、最遠點距離函數和三角形區域表示,將二維圖像轉換為一維信號表示；然后對得到的一維信號進行雙譜分析,得到形狀的歸一化雙譜；最后在歸一化雙譜域內,根據雙譜積分和雙譜矩計算雙譜不變量,作為圖像的形狀特征,共計76 維.為了有效評價所提方法的有效性,在MPEG-7 CE Shape-1 Part B 數據集和Swedish leaf 數據集上進行形狀識別能力實驗與抗噪聲能力實驗.實驗結果表明：本文所提方法能夠有效提高雙譜分析用于形狀識別時的識別準確率,同時與基于形狀標記的形狀提取方法相比,能夠顯著提高抗噪聲干擾能力.