帶有反周期邊值條件的分?jǐn)?shù)階Langevin微分包含解的存在性

楊丹丹

(淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 淮安 223300)

2018年，文獻(xiàn)[1]研究了如下帶有反周期邊值條件的分?jǐn)?shù)階Langevin微分方程：

(1)

(2)

利用偏序度量空間中的混合單調(diào)映射的不動(dòng)點(diǎn)定理，作者給出了解的存在和唯一性結(jié)果．

受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，本文研究如下帶有反周期邊值條件的Langevin分?jǐn)?shù)階微分包含：

(3)

其中，Dα是α-階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，F(xiàn):[0,1]×X→P(X)是一個(gè)多值映射，λ是一個(gè)實(shí)數(shù).D2α是持續(xù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在文獻(xiàn)[2]里的定義．

分?jǐn)?shù)階微分方程和微分包含，比整數(shù)階微分方程和微分包含更能確切地描述現(xiàn)實(shí)世界中模型的狀態(tài)，尤其是其更具有良好的記憶性和遺傳性，近年來(lái)備受研究者關(guān)注[3-6].近期，關(guān)于Langevin分?jǐn)?shù)階微分方程和微分包含的研究結(jié)果，見(jiàn)文獻(xiàn)[7-11].本文目的是將文獻(xiàn)[1]中的單值結(jié)果，推廣到多值情形.據(jù)筆者所知，問(wèn)題(3)尚未被研究過(guò).

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)讀者熟知分?jǐn)?shù)階微積分[4，12]和多值映射理論[13-14]．

定義1[12]函數(shù)u:(0，∞)→R，α-分?jǐn)?shù)階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

n=[α]+1，假設(shè)等式右側(cè)在(0，∞)上逐點(diǎn)有定義．

對(duì)于賦范空間(X，‖·‖)，引進(jìn)如下記號(hào)：

Ρcp(X)={Y∈Ρ(X):Y是緊的}，

Ρcp，c(X)={Y∈Ρ(X):Y是緊凸的}.

定義2對(duì)于每個(gè)y∈C([0，T]，R)y∈C([0，1]，R)，定義F的選擇集合為SF，y∶={v∈L1([0，T]，·):v(t)∈F(t，y(t))a.e.t∈[0，T]}.

定義3令(X，d)是由賦范空間(X，‖·‖)引進(jìn)的度量空間.考慮Hd:Ρ(X)×Ρ(X)→R∪{∞}定義如下：

引理1[1]x(t)是問(wèn)題(1)的一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)它是非線性混合Fredholm-Volterra積分方程的一個(gè)解：

引理2[13]令(X，d)是完備的度量空間.若N：→Pcl(X)是一個(gè)壓縮映射，則FixN≠Φ.

(ii)存在u∈?U，λ∈(0，1)，使得u∈λF(u).

引理4[3]令X是一個(gè)Banach空間 ，F(xiàn):[0，1]×X→P(X)是L1-Carathedory集值映射，SF是非空的，令Θ:L1([0，1]，X)→C([0，1]，X)是一個(gè)線性連續(xù)映射，則集值映射

Θ°SF(x):C([0，1]×X)→Pcp，c(C[0，1]，X)

是一個(gè)閉圖算子．

2 主要結(jié)論

首先，列出兩個(gè)假設(shè)條件：

(H1)F:[0，1]×R→P(R)，對(duì)于每個(gè)x∈R，F(xiàn)(?，x)可測(cè)．

(H2) 存在一個(gè)函數(shù)l∈L1([0，1]，R+)，對(duì)于幾乎處處的t∈[0，1]，有

dH(F(t，x)，F(xiàn)(t，y))≤l(t)|x-y|，?x，y∈R，

其中，dH(0，F(xiàn)(t，0))≤l(t)，對(duì)于幾乎處處的t∈[0，1]成立．

定理1假設(shè)(H1)-(H2)成立，若存在一個(gè)正數(shù)M>0，使得

(4)

則問(wèn)題(3)在[0，1]上至少存在一個(gè)解．

證明定義算子T：C([0，1]，R)→P(C[0，1]，R)如下：

(5)

下面證明，算子T滿足引理2的所有條件.將證明分為2個(gè)步驟．

步驟1算子T是閉的.令un∈T(x)，使得un→u(n→∞).那么u∈(C[0，1]，R)，存在vn∈SF，x，對(duì)于每個(gè)t∈[0，1]，

由于F具有緊值，假設(shè)一個(gè)子列vn→v∈L1([0，1]，R).因此，有v∈SF，x，對(duì)于每個(gè)t∈[0，1]，可得

un(t)→u=

因此，u∈T(x).這就證明了算子T是閉的．

步驟2T是一個(gè)壓縮映射.事實(shí)上，令x，y∈C([0，1]，R)，h1∈T(x).存在v1∈F(t，x(t))，使得

由(H2)，有

dH(F(t，x)，F(xiàn)(t，y))≤l(t)|x-y|，?x，y∈R.

因此，存在w∈F(t，y)，使得

|v1(t)-w(t)|≤l(t)|x(t)-y(t)|，t∈[0，1].

定義U：[0，1]→P(R)如下：

U(t)={w∈R:|v1(t)-w(t)|≤

l(t)|x(t)-y(t)|}.

由于多值算子U(t)∩F(t，y(t))是可測(cè)的，存在一個(gè)函數(shù)v2(t)，它是U的可測(cè)選擇.因此，v2∈F(t，y(t))，對(duì)于每個(gè)t∈[0，1]，有

|v1(t)-v2(t)|≤l(t)|x(t)-y(t)|，

定義

(6)

同理，調(diào)換x與y得到

Hd(F(t，y)，F(xiàn)(t，x))≤

(7)

綜上，證明了算子T是壓縮映射，由引理2，至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即是問(wèn)題(3)的一個(gè)解．

(H3)F:[0，1]×R→P(R)是Carathedory，并且具有非空緊凸值；

(H4)存在一個(gè)連續(xù)非減函數(shù)ψ：[0，∞)→[0，∞)，和一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)p，使得

‖F(xiàn)(t，x)‖∶=sup{|v|:v∈F(t，x)}≤

p(t)ψ(‖x‖)，(t，x)∈[0，1]×R.

定理2假設(shè)(H3)-(H4)成立，若存在一個(gè)正數(shù)M>0，使得

(8)

則問(wèn)題(3) 在[0，1]至少存在一個(gè)解．

證明此定理的證明基于引理3，即要證明由(2)式定義的算子T滿足引理3的所有條件.將定理證明分為四個(gè)步驟.

步驟1算子T是將有界集映射為有界集.對(duì)正常數(shù)r>0，令Br={x∈C([0，1]，R):‖x‖≤r}是C([0，1]，R)中的有界球，則對(duì)于h∈T(x)，x∈Br，存在v∈SF，x，使得

類(lèi)似于(4)式的討論，有

即

步驟2T映射有界集到等度連續(xù)集合.t1，t2∈[0，1]，t1

|h(t2)-h(t1)|≤

不等式右端當(dāng)t1→t2時(shí)趨于0.由Ascoli-Arzela定理，T是全連續(xù)算子．

步驟3算子T存在閉圖.令xn→x*，hn→T(xn)，hn→h.只需證明h*∈T(x*).對(duì)于hn∈T(xn)，存在vn∈SF，xn,使得下式成立．

要證存在v*∈SF，y，對(duì)于t∈[0，1]，有

定義一個(gè)線性算子Θ：L1([0，1]，R)→C([0，1]，R)如下：

f

注意到

由引理4，Θ°SF，x存在閉圖算子.這就證明了存在某個(gè)v*∈SF，x*.

步驟4算子T是凸的.由SF，x的凸性，容易得到結(jié)論．

步驟5將證明存在開(kāi)集U?C([0，1]，R)，對(duì)于任意ζ∈(0，1)，x∈?U，x?T(x).

令ζ∈(0，1)，x∈ζT(x)，類(lèi)似于步驟一的討論，有

由(5)式，存在M使得‖x‖≠M(fèi)，令

U={x∈C([0，1]，R):‖x‖

3 例子

考慮如下反周期邊值條件的分?jǐn)?shù)階Langevin微分包含：

(9)

x→F(t，x)∶=

‖F(xiàn)(t，x)‖∶=

sup{|v|:v∈F(t，x)}≤5∶=p(t)ψ(|x|)，x∈R,

其中，p(t)=1，ψ(|x|)=5，顯然，(H3)-(H4)都滿足，令f∈F，則有

存在正實(shí)數(shù)M，使得